专题28 平面向量综合练习（新高考地区专用）（解析版）

1、专题28 平面向量综合练习一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知平面向量,若存在实数,使得,则实数的值为( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】D【解析】,则,解得或, 又,故选D。2已知向量,且,则向量与的夹角为( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】C【解析】,又,又,故向量与的夹角为,故选C。3已知向量,若,则实数的值为( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】A【解析】,又,解得,故选A。4在平面直角坐标系中,、,点在线段上,若,则( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】B【解析】由题意知,直线的方程为,可设()

2、,则,解得,故选B。5已知,且,则向量在方向上的投影为( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】B【解析】设与的夹角为,向量在方向上的投影为,故选B。6如图所示,线段是圆的直径,、是圆上的点,则( )。A、 B、C、 D、【参考答案】A【解析】如图过作于,是圆的直径,、是圆上的点,为的中点,连结,则,故选A。7可以看成向量在向量上的投影与的乘积。已知点、均在以为直径的圆上,若,则的值为( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】C【解析】,点、在以为直径的圆上,故选C。8在中,过中线的中点任作一直线分别交边、于、两点,设,(、),则的最小值是( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】D【解析】由

3、题意可得,同理可得,由于、共线,且,故,当且仅当时等号成立,故选D。二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分。9设、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则下列命题是真命题的有( )。A、B、C、不与垂直D、【参考答案】BD【解析】A选项,平面向量的数量积不满足结合律,故A假,B选项,由向量的减法运算可知、恰为一个三角形的三条边长,由“两边之差小于第三边”,故B真,C选项,故C假,D选项,成立,故D真,故选BD。10下列命题中是假命题的是( )。A、分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,

4、则这两个向量不是共面向量B、若,则、的长度相等而方向相同或相反C、若向量,满足,且与同向,则D、若两个非零向量与满足,则【参考答案】ABC【解析】A选项,任意两个向量都共面,错误,B选项,模只表示长度,无法表示方向,错误,C选项,向量不能比较大小,错误,D选项,即与共线,正确,故选ABC。11已知、是同一平面内两个单位向量,若平面向量满足,且对于任意,(),则下列说法正确的是( )。A、B、C、D、无法确定、的值【参考答案】AC【解析】问题等价于当且仅当、时取得最小值,两边平方即在、时取得最小值,又,故选AC。12如图,四边形是正方形,延长至,使得。若动点从点出发,沿正方形的边按逆时针方向运动

5、一周回到点,其中,下列判断错误的是( )。A、满足的点有且只有一个B、满足的点必为的中点C、满足的最小值不存在D、满足的最大值为【参考答案】ABC【解析】如图建系,取,动点从点出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点,当时,有且,当时,有且,则,当时,有且,则,当时,有且,则,综上,选项A,当点取或的中点时均满足,此时点不唯一,错,选项B,取,满足,此时,因此点不一定是的中点,错,选项C,当取点时,取得最小值,错,选项D,当点取点时,且,解得,取得最大值为,对,故选ABC。三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分。13已知向量、满足,则向量、的夹角为 。【参考答案】【解析】将和相加得

6、,相减得, 故,则、的夹角为。14已知平面单位向量、互相垂直,且平面向量,若,则实数 。【参考答案】【解析】,即, 即,解得。15已知非零向量、满足,且与的夹角为,则的取值范围是 。【参考答案】【解析】令,则,与的夹角为,又,的取值范围是。16在等腰梯形中,已知,动点和分别在线段和上,且,且,则 。【参考答案】【解析】在等腰梯形中,在等腰梯形中,解得,在线段上,。四、解答题：本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）设、为平面内的四点,且,。(1)若,求点的坐标；(2)设向量,若与平行,求实数的值。【解析】(1)设, 2分化为,解得,； 5分(2), 6分,

7、 8分与平行,解得。 10分18（12分）已知中,为角平分线,在线段上。(1)求的长度；(2)过点作直线交、于不同点、,且,求证：。【解析】(1)根据角平分线定理：, 3分, 5分,即； 9分(2)证明：, 10分、三点共线,。 12分19（12分）已知三个点,。(1)求证：；(2)若四边形为矩形,求点的坐标以及矩形两对角线所夹锐角的余弦值。【解析】(1)证明：, 2分,即； 4分(2)解：,四边形为矩形, 5分设点坐标为,则, 6分,解得,点坐标为, 7分从而,且, 9分设与的夹角为,则, 11分矩形的两条对角线所夹锐角的余弦值为。 12分20(12分)如图所示,在的边、上分别有点、,且,与的交点是,直线与交于点。设,。(1)用、表示；(2)设,求的值。【解析】(1)由、三点共线可设, 1分, 3分、三点共线,即, 5分； 7分(2)由(1)知, 8分、三点共线,即。 12分21(12分)已知向量,其中。(1)若,求的值；(2)函数,若恒成立,求实数的取值范围。【解析】(1), 1分,即,3分,或,即或； 5分(2), 7分, 8分, 10分,由恒成立得。 12分22(12分)中,、分别为角、所对的边,向量,且。(1)求锐角的大小；(2)