整理三重积分的计算方法小结与例题76202

1、三重积分的计算方法介绍:三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定 积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：如果先做定积分j /（X, y, z）dz ,再做二重积分Jj F（x,，就是投可D影法”，也即“先一后二”。步骤为：找0及在xoy面投影域D。多D 上一点（x,y） “穿线”确定z的积分限，完成了 “先一”这一步（定 积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完 成“后二”这_步。加=nd Zc2如果先做二重积分JJ/（x,y,z）db再做定积分衣，就是截百 法”，也即“先二后一 ”。步骤为：确定O位于平面Z = q = c2之间， 即zeC1,c2,过Z

2、作平行于XOy面的平面截O,截面Q。区域Q的边 界曲面都是Z的函数。计算区域$上的二重积分完成 了 “先二这一步（二重积分）；进而计算定积分衣，完成“后巧一”这一步。JJJ/（X,y,z）dv =Z）dcrdz当被积函数f（z）仅为z的函数（与x,y无关），且Q的面积b 容易求出时，“截面法尤为方便。为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。 可以按以下几点考虑：将积分区域。投影到xoy面，得投影区域D（平 面）（1）D是X型或Y型，可选择直角坐标系计算（当。的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）（2）D是圆域（或其部分），且被积函数形如/（，+）円,/（上）时,X可选

3、择柱面坐标系计算（当Q为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3）c是球体或球顶锥体，且被积函数形如+时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。对o向其它坐标 面投影或G不易作出的情形不赘述。三重积分的计算方法小结：1. 对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域0及被积函数f（x,y,z）的情况选取。一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；截面法（先二后一）：是。在z处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。特殊地，对0积分时，f（x,y,z）与x,y无关，可直接计算S。因而 C中只要Z e a,b,且f （x,y,z）仅含z时，选取截面法”更 佳。2. 对坐

4、标系的选取，当O为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含z或zf（x2+y2）时，可考虑 用柱面坐标计算。三重积分的计算方法例题:补例1：计算三重积分I=xdydz.其中1为平面x+y + z = 与三个坐标面 cx = 0, = 0,z = 0围成的闭区域。解1“投影法” 1画出。及在xoy面投影域D. 2.“穿线” 0Sl xyx+y+z=l0 x 10 yl-x0xl二 Q: 0yl-x0l-x-y3计算1 l-x l-.t-vI l-v II = Jjj Ztdxdydz = j dx j dy j-(1 - x - y)2cfy = -W x)2

5、 y (1 - x)y2 + - y3 lJx dxnoo ooo0解2“截面法T画出Qo 2. z e 04过点z作垂直于z轴的平面截。得Q。2是两直角边为x,y的直角三角形，x = l-乙y = l-乙3. 计算1 1 1I = JJJ zjdxdydz, = | JJ z,dxdydz = J zJj dxdydz, = J zS 血nod,od,o=J Z(- xy)dz. =J Z -(1 _ Z)(l _ Z)dz. = -|(-2z2 +Z3)t/z = o 上o / o补例2：计算JJJ x2 + y2dv T其中。是x2+/=z2和z=l围成的闭区域。Z = a2 +2y2

6、由z = 1消去z,解1 “投影法”1.画出。及在xoy面投影域D.得 x2 + y2 =1 即 D： x2 + y2 12.“穿线” J/+y2 心1,-1 x 1X型D：_-厂-V1-X y V1-1X1/. C: 一 &-x2 y J yjx2 +y2 z3 计算JJJ yjx2 +y2dv = |Q-1注：可用柱坐标计算。V1xdyyjx2 +y2dz =，+ y2（i_J/+）&妙=于O解2 “截面法”1 画出G。 2. ze04过点z作垂直于z轴的平面 截。得 D. ： x2+y2z2f092、0 r z0 2用柱坐标计算 Q : 0 r zOZ13 计算JJW+天/v=Ji Jf

7、 7?Q0 Dz 12疗Z1J21rr+ y2dxdydz = J Jd0r2drdz = J2-r3=-龙JZ dz = oo o（）3o 6补例3：化三重积分I =fy,z)dxdydz为三次积分，其中G： Qz = X2 +2y2及z = 2-x2所围成的闭区域。解：1画出。及在xoy面上的投影域D.h = x2+2y2由 z = 2-x2 消去 z,得x2 +y2 =1即 D： x2 +y2 12“穿线x2+2y2z2-x2-1 X 1X型D： ( /-vl-x2 y 一 jc-1 x 1Q :_ /1 -x2 y Vl -x2x2 + 2y2 z 2-x211x2t23.计算 / =

8、 jjj/(x,y,z)dxdydz =dx J dy 打(忑”乙)衣C-I -、f XW注：当f(x.y9z)为已知的解析式时可用柱坐标计算。补例4：计算JJJ加，其中G为2 = 6-十-于及乙=厶，+所围成的闭区域。解1 投影法”1.画岀。及在xoy面投影域D,用柱坐标计算2解x = rcosO由y = /sin& 化C的边界曲面方程为：z-6-r,Z = Zr 2“穿线” rz6-r202AQ Jor2r z6- r26-r-3.计算 J|jzdv = JJ J zdzrdrdo = dOrdr | nD r00r6-广2 鈕=2巧 dr22=兀jr(6-r2)2 -r2 dr = /r

9、j(36r-13r200解2 “截面法”1画出G。如图：1由z = 6-r2及z = r围成。2. z v0,6 = 0,2U2,6 Q = Qt+Q2Oj 由 z=r 与 z二2 围成；z e0,2, D. : rz0 2Qj: 0 r z0z2。2 由 z=2 与 z=6-r2 围成；z e2,6, D. : r 76-z0 2Q,: 0 r J6_ z2z62 63 计算皿+ j|J zdv = J z JJ rdr(10dz + J z JJ rdrdOdznn,n,o 耳2 oi22 6 26 26=jdz + J.dz. = j)k + JZ龙(j6-z) dz =町zsdz +

10、町(60 2 0202注：被积函数z是柱坐标中的第三个变量，不能用第二个坐标r代换。补例 5：计算 jjj (x2 +y2)dv ,其中。由不等式 OSaS J/ +z，SA , z0 所确定。x = pcos&sin。解：用球坐标计算。由2y = Qsin&sin0得G的边界曲面的球坐标方程：a p A Z, = QCOS0PuG,连结OP二,其与z轴正向的夹角为0, OP二。P在xoy面的投影为P,连结OP,其与x轴正向的 夹角为&。 Q： apA, OS0S 彳,0 2-m 2* A2ijjj(x2 + y2)dv = jdO j(p2 sin2 )p2 sin/p=2jsin3 认-p ；d0 no o o2/r(A、-t/5)Jsin 0/0 =-t/5)x x 1 = -(A5