高中数学平面向量习题及答案

1、第二章平面向量、选择题B . DE与CB共线).D. AD与BD相等1. 在厶ABC中，AB= AC, D , E分别是 AB, AC的中点，则（A. AB与AC共线C. AD与AE相等2. 下列命题正确的是（A .向量AB与BA是两平行向量B. 若a, b都是单位向量，则a = bC.若AB = DC，则A, B, C, D四点构成平行四边形D. 两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3, 1） , B（ 1 ,3）,若点C满足OC=：-Oa + - Ob，其中：，弋r，且+ 1 = 1,则点c的轨迹方程为（A. 3x+ 2y11 = 0B

2、 . (x 1)2+ (y 1)2= 5C. 2x y= 0D. x+ 2y 5= 04.已知a、b是非零向量且满足（a 2b）丄a, （ b 2a）丄b,则a与b的夹角是（jiA.-6C.三35兀D .65.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点 A, C），则AP =（A. X AB + AD ),氏（0,1）B . X AB + BC ),C. X AB AD ),X (0,1)D. X AB BC ),丘 X (0, 2)X (0,-)26.A ABC 中，D ,E, F分别是AB, BC, AC的中点，贝U DF =（EF + EDB . EF DEC.EF + A

3、DD. EF + AF7.产面向量 a与b的夹角为60 | b| = 4, ( a+ 2b) (a 3b) = 72,则向量模为（C. 6D . 12&点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足 OA OB = OB OC = OC OA ,则点O是厶ABC的（）.A .三个内角的角平分线的交点C. 三条中线的交点9. 在四边形ABCD中，AB = a + 2b,共线，则四边形 ABCD为（）.A 平行四边形B 矩形B 三条边的垂直平分线的交点D.三条高的交点BC = 4a b, CD = 5a 3b,其中 a, b 不C.梯形D .菱形A. AD 与 BCB . OA 与 OB（第10题）10

4、. 如图，梯形 ABCD 中，|AD|=|BC|,C. AC 与 BDD . EO 与 OF二、填空题11. 已知向量 OA = (k, 12) , OB = (4, 5) , OC = ( k, 10)，且 A, B, C 三点共线,则k=12. 已知向量 a = (x+ 3, x2 3x 4)与 MN 相等，其中 M( 1, 3) , N(1, 3)，贝V x13. 已知平面上三点 A, B, C 满足 | AB | = 3, | BC | = 4, | CA | = 5,则 AB BC +BC CA + CA AB 的值等于 .14. 给定两个向量 a= (3, 4), b= (2, 1

5、)，且(a+ mb)丄(a b)，则实数 m等于.15. 已知A, B, C三点不共线，O是厶ABC内的一点，若 OA + OB + OC = 0,贝U O是厶ABC的.16. 设平面内有四边形 ABCD和点O, OA = a, OB = b, OC = c, OD = d,若a+ c=b+ d,则四边形ABCD的形状是.三、解答题17. 已知点 A(2, 3) , B(5, 4) , C(7, 10)，若点 P 满足 AP = AB + 入AC (入 R)，试求入为何值时，点P在第三象限内？18.如图,BC的中点，且MN与AD交于F，求DF .(第18题)已知 ABC, A(7, 8) ,

6、B(3, 5) , C( 4, 3) , M ,19.如图，在正方形 ABCD中，E, F分别为AB, BC的中点，求证：AF丄DE（利用向量证明）.（第19题）20 .已知向量 a= ( cos 0, sin ，向量b= ( J3 , 1)，则| 2a b|的最大值.参考答案一、选择题1. B解析：如图， AB与AC , AD与AE不平行,向.2. A解析：两个单位向量可能方向不同，故B不对.若AB = DC，可能A, B, C, D四点共线，故C不对两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D也不对.3. D解析：提示：设 OC = (x, y) , OA = (3, 1) , OB =

7、 ( 1, 3)，用 OA = ( 3、丄，圧),OB = ( , 3 )，又:OA + OB = (3 -, :+ 3 -),任任xPn. (x, y) = (3a P, g+ 3旬，二丿门，又口+ 0= 1,由此得到答案为 D .y = a+304. B解析： (a 2b)丄a, (b 2a)丄b,(a 2b) a = a2 2a b= 0, ( b 2a) b= b2 2a b= 0,1 a2= b2,即 | a| = | b| . | a| 2= 2| a| b| cos 0= 2| a12cos 0.解得 cos 0=.2 a与b的夹角是n.35. A解析：由平行四边形法则，AB +

8、 AD = AC，又AB + BC = AC，由 入的范围和向量数乘的长度，入 (0, 1).6. D解析：如图， AF = DE ,DF = DE + EF = EF + AF .(第6题)7. C解析：由(a+ 2b) ( a 3b) = - 72,得 a2-a b 6b2=- 72.而| b| = 4, a b= | a| b| cos 60 = 2| a| , |a|2 2| a| -96=- 72,解得 | a| = 6.& D解析：由 OA ob = ob oc = oc OA，得 OA ob = oc oa,即 OA ( OC - OB) = 0,故BC OA = 0, BC丄O

9、A，同理可证 AC丄OB , O是厶ABC的三条高的交点.9. C解析： AD = AB + BC + CD =- 8a- 2b= 2 BC , AD / BC 且 | 疋 |工 |BC|.四边形ABCD为梯形.10. D解析：AD与BC , AC与BD , OA与OB方向都不相同，不是相等向量.11.23解析：A, B , C三点共线等价于 AB , BC共线，AB = OB - OA = (4, 5) - (k, 12) = (4- k, - 7),BC = OC - OB = ( - k, 10) - (4, 5) = ( - k- 4, 5),又A, B, C三点共线，2 5(4 -

10、k) =- 7( - k - 4) , k =- I312.- 1.解析： M( - 1, 3) , N(1 , 3),MN = (2 , 0),又 a= MN ,x+3=22x -3x-4=0rx=- 1x=- 1 或 x= 413. 25.解析：思路 1：t AB = 3, IbI = 4, CA = 5, ABC为直角三角形且/ ABC = 90 即卩AB丄BC，二AB BC = 0,AB BC + BC CA + CA AB=BC CA + CA ABS=CA ( BC + AB )=(CA)2-|CA2=25.思路 2：v IaI = 3, BC = 4, ICA = 5,/ ABC

11、= 90ABcos/ CAB = !=3,cos/ BCA=bC4|CA5CA5根据数积定义，结合图（右图）知 AB bc = 0,BC CA = BC4CA cos/ ACE = 4 X 5 X ( - ) = 16,5CAAB = |CA3AB cos/ BAD=3X 5 X () 一9.AB BC + BC CA + CA AB = 0169= 25.14.233233解析：a + mb= ( 3+ 2m, 4 m), a b= (1, 5).(a+ mb)丄(a b), ( a+ mb) (a b) = ( 3+ 2m) X 1 + (4 m) X 5= 0= m=15. 答案：重心.

12、解析：如图，以OA , OC为邻边作口AOCF交AC于 . . . .点 E,则 OF = OA + OC，又 OA + OC =- OB , OF = 2OE =- OB . O 是厶 ABC 的重心.16. 答案：平行四边形.解析：t a+ c= b+ d,. a b= d c,. BA = CD .四边形ABCD为平行四边形.三、解答题17. 1.解析：设点 P 的坐标为(x, y)，则 AP = (x, y) (2, 3) = (x 2, y 3).AB + AAC = (5, 4) (2, 3) + 入(7, 10) (2, 3):=(3,1 ) + A5, 7)=(3+ 5人 1

13、+ 7 A . AP = AB + 入AC , - ( x 2, y 3) = ( 3+ 5 A, 1 + 7 A .12 =3+5 丸x=5+5 九即y_3=1+7&$=4十7 人A（第18题）要使点P在第三象限内，只需解得AV 1.4 +018. DF = ( - , 2).4解析：A(7, 8) , B(3, 5) , C(4, 3),AB = ( 4, 3) , AC = ( 3 , 5).又D是BC的中点， AD =丄(AB + AC)=丄(一4 3, 3 5)2 21a b.(第19题)19. 证明：设 AB = a, AD = b,贝V AF = a+ b, ED = b a.

14、2AF ED = (a+ b) ( b a) = b2 a2 + 又 AB 丄 Ad，且 AB = AD , a2= b2,a b= 0.22224AF ED = 0,. AF 丄 ED .本题也可以建平面直角坐标系后进行证明.2sin 0+ 1),20.分析：思路 1： 2a b= (2cos 0- . 3 ,0.| 2a b| 2= (2cos 0 , 3 ) 2+ (2sin 0+ 1) 2= 8+ 4sin 0 4.3 cosnnn又 4sin0 43 cos 0= 8(sin0cos cosOsin) = 8sin(0)，最大值为8,333 | 2a b|2的最大值为16,. |2a

15、 b|的最大值为4.思路2:将向量2a, b平移，使它们的起点与原点重合，贝U | 2a b|表示2a, b终点间 的距离.|2a| = 2，所以2a的终点是以原点为圆心， 2为半径的圆上的动点 P, b的终点是 该圆上的一个定点 Q,由圆的知识可知，|PQ|的最大值为直径的长为 4.赫本被誉为女神，不仅仅因其貌美，貌美的很多，并不能被全世界的人记住；也不是因为学历，比她学历高的比比皆是。但她用她的一生诠释了修养这个概念，她在遗言里这样说若要优美的嘴唇，就要讲亲切的话。手不仅能解决自身问题还能帮助别人；脑不仅能原谅别人还可以让自身不断进步。我们身上每个零件都有用处，那些喜欢到处释放物质垃圾和精神垃圾的人都是不健全的。看过很多父母抱怨自己的孩子不如旁人，那就看看自己是不是样样都行，孩子其实就是站在你面前的镜子。在发成绩单时，在开家长会时，你恼怒了，你大打出手了，这恰恰暴露你精神世界的粗鄙。我倒是很感动一句话”不需要你养老，只感谢让我参与你的成长。若要可爱的眼睛，就要看到别人的好处；若要苗条的身材，就要把你的食物分享给饥饿的人。若要美丽的秀发，在于每天有孩子的手指穿过它；若要优雅的姿态，走路时要记住行人不只你一个。并非向人抱怨；当你需要帮助的时候，你可以求助于自己的双手;在年老之后，你会发现自己的双手能解决很多难题，一只手用