构造法求数列的通项公式 (2)

1、用构造法求数列的通项公式 衡阳市耒阳一中 肖国英 求数列的通项公式是高考重点考查的内容，作为两类特殊数列 等差数列和等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，之后再应用各自的通项公式求解，体现化归思想在数列中的具体应用例1:（06，福建）数列 ( ) A B C D解法1：， 又，是首项为2公比为2的等比数列,所以选C解法2：， 为首项为2公比也为2的等比数列。，（n1）n1时显然n=1时满足上式，归纳总结：法1：若数列满足为常数），则令来构造等比数列，并利用对应项相等求的值，求通项公式。法2：若数列满足为常数），先构造等比数列，再用累加法,等比数

2、列求和求出通项公式，变式：已知数列中，求通项公式。（）例2：数列中，则 。解：， 为首项为2公比也为2的等比数列。，（n1）n1时显然n=1时满足上式，例3：已知数列中求这个数列的通项公式。解：，又形成首项为7，公比为3的等比数列，则又，形成了一个首项为13，公比为1的等比数列 则 归纳总结：本题是两次构造等比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式。已知及，求形如通项时，原递推式可化为的形式，比较系数可求得，数列为等比数列。变式：已知数列满足，求数列的通项公式。 （）例4：设数列的前项和为成立，(1)求证： 是等比数列。(2) 求这个数列的通项公式证明：(1)当 又

3、 ，当时，有又为首项为1，公比为2的等比数列，(2) 例5：已知函数，又数列中，其前项和为，对所有大于1的自然数都有，求数列的通项公式。解：，是首项为，公差为的等差数列。时，且当时， 符合条件通项公式为归纳总结：例4构造非常特殊，要注意恰当的化简和提取公因式，本题集中体现了构造等比数列的价值与魅力，同时也彰显构造思想在高考中的地位和作用。例5构造出为等差数列，并且利用通项与和的关系来确定数列的通项公式.已知的表达式或是与的关系式，一般用阶差法求通项公式。变式：（1）已知数列中，且，求数列的通项公式。（） （2）已知数列满足，求数列的通项公式。（ ）例6：数列满足，则（ ）A B C D解： 构

4、成了一个首项这，公差为3的等差数列， ，故选B。小结：求形如的通项，两边同除以，再构造等比数列，注意形，当时，变为。例7：（06，山东）已知，点（）在函数的图象上，其中求数列的通项公式。解：，又在函数图象上，是首项为公比为2的等比数列，小结：前一个题，后一个题构造为等比数列,再利用对数性质求解。数列与函数的综合运用是当今高考的重点与热点，因此我们在解决数列问题时应充分利用函数有关知识，以它的概念与性质为纽带，架起函数与数列的桥梁,揭示它们之间内在联系，从而有效地解决数列问题。例8：(07，天津)已知数列满足，（）其中，求数列的通项公式方法指导：将已知条件中的递推关系变形，应用转化成等差数列形式，从而为求的通项公式提供方便，一切问题可迎刃而解。解：。所以所以为等差数列，其首项为0，公差为1；例9：数列中，若，则（ ）A B C D解： 又是首项为公差3的等差数列。 所以选A变式：数列中，求（ ）小结:且为一次分式型或构造出倒数成等差数列或构造出倒数加常数成等比数列，发散之后，两种构造思想相互联系,相互渗透，最后融合到一起。总之，构造等差数列或等比数列来求数列的通项公式，是求通项公式的重要方法也是高考重点考查的思想，当然题