第三节动点--二次函数与等腰三角形存在性问题[共12页]

1、不积跬步无以至千里动点问题二次函数中等腰三角形存在性问题方法总结：假设结论成立；当所给条件中没有说明哪条边是等腰三角形的底、哪条是腰时,要对其进行分类讨论,假设某两条边相等,等到三种情况；设未知量,求边长,在每种情况下,直接或间接设出所求点的坐标,并用所设点坐标表示出假设相等的两条边的长或第三边的长；计算求解,根据等腰三角形的性质或利用勾股定理或相似三角形的性质列等量关系式, 根据等量关系式求解即可。典型例题：例 1如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于 A（1,0）,B（4,0）,C（0,4）三点,点 P是直线 BC下方抛物线上一动点（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点

2、 P,使POC是以 OC为底边的等腰三角形？若存在,求出 P点坐标；若不存在,请说明理由；（3）动点 P运动到什么位置时, PBC面积最大,求出此时 P点坐标和 PBC的最大面积1 / 12不积跬步无以至千里12x2例 2. 如图,抛物线 y=+mx n 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,抛物线的对称轴交 x轴于点 D,已知 A（1,0）,C（0,2）（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点 P,使PCD是以 CD为腰的等腰三角形？如果存在,直接写出P点的坐标；如果不存在,请说明理由；（3）点 E时线段 BC上的一个动点,过点 E作 x 轴的垂线与抛物线相交

3、于点 F,当点 E运动到什么位置时,四边形 CDBF的面积最大？求出四边形 CDBF的最大面积及此时 E点的坐标2 / 12不积跬步无以至千里例 3如图,二次函数12y x bx c 的图象经过 A(2,0) ,B(0,6) 两点2（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与 x 轴交于点 C,连接 B A,BC,求ABC的面积（3）在 x 轴上是否存在一点 P,使ABP为等腰三角形,若存在,求出 P的坐标,若不存在,说明理由.3 / 12不积跬步无以至千里例 4. （2014?绵阳）如图,抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的图象过点 M（2, ）,顶点坐标为 N（1, ）,且

4、与 x 轴交于 A、B两点,与 y 轴交于 C点（1）求抛物线的解析式；（2）点 P为抛物线对称轴上的动点,当 PBC为等腰三角形时,求点 P的坐标；（3）在直线 AC上是否存在一点 Q,使QBM的周长最小？若存在,求出 Q点坐标；若不存在,请说明理由4 / 12不积跬步无以至千里例 5. (2014 年四川资阳 ) 如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的一个交点为 A（3,0）,与 y 轴的交点为 B（0,3）,其顶点为 C,对称轴为 x=1（1）求抛物线的解析式；（2）已知点 M为y 轴上的一个动点,当 ABM为等腰三角形时,求点 M的坐标；5 / 12不积跬步无以至千里例

5、6如图,已知二次函数的图象经过点 A（3,3）、B（4,0）和原点 OP为二次函数图象上的一个动点,过点 P作 x 轴的垂线,垂足为 D（m,0）,并与直线 OA交于点 C（1）求出二次函数的解析式；（2）当点 P在直线 OA的上方时,用含 m的代数式表示线段 P C的长,并求线段 PC的最大值；（3）当 m0 时,探索是否存在点 P,使得PCO为等腰三角形,如果存在,请直接写出所有 P的坐标；如果不存在,请说明理由6 / 12不积跬步无以至千里例 7（2014年浙江义乌 12 分）如图, 直角梯形 ABCO的两边 O A,OC在坐标轴的正半轴上, BCx 轴,OA=OC=,4以直线 x=1

6、为对称轴的抛物线过 A,B,C三点.（1）求该抛物线线的函数解析式 .（2）已知直线 l 的解析式为 ,它与 x 轴的交于点 G,在梯形 ABCO的一边上取点 P.当 m=0时,如图 1,点 P是抛物线对称轴与 BC的交点,过点 P作 PH直线 l 于点 H,连结 O P,试求OPH的面积.当 时,过 P点分别作 x 轴、直线 l 的垂线,垂足为点 E,F. 是否存在这样的点 P,使以 P,E,F 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,求出点 P的坐标；若不存在,请说明理由 .7 / 12不积跬步无以至千里例 8如图,抛物线 与 x 轴交于点 A,将线段 OA绕点 O逆时针旋转 120 0 至O

7、B的位置.（1）点 B在抛物线上 ;（2）在此抛物线的对称轴上,是否存在点 P,使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,求点 P的坐标；若不存在,说明理由8 / 12不积跬步无以至千里例 9如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y=ax 2+bx4（a0）的图象与 x 轴交于 A（2,0）、C（8,0）两点,与 y 轴交于点 B,其对称轴与 x 轴交于点 D（1）求该二次函数的解析式；（2）如图 1,连结 BC,在线段 BC上是否存在点 E,使得CDE为等腰三角形？若存在,求出所有符合条件的点 E的坐标；若不存在,请说明理由；（3）如图 2,若点 P（m,n）是该二次函数图象上

8、的一个动点（其中 m0,n0）,连结 PB,PD,BD,求BDP面积的最大值及此时点 P的坐标9 / 12不积跬步无以至千里例 10. 如图,抛物线2 5 4y ax ax 经过ABC 的三个顶点,已知 BCx 轴,点 A 在x轴上,点 C 在 y 轴上,且 AC BC （1）求抛物线的对称轴；（2）求抛物线的解析式；（3）探究：若点 P 是抛物线对称轴上且在 x轴下方的动点,是否存在 PAB 是等腰三角形若存在,求出所有符合条件的点 P 坐标；不存在,请说明理由yC B1 A0 x110 / 12不积跬步无以至千里例 1 1. 如图 11 所示,在梯形 ABCD中,已知 A BC D, A

9、DDB,AD=DC=C,BAB=4以 AB所在直线为 x轴,过 D且垂直于 AB的直线为 y 轴建立平面直角坐标系（1）求DAB的度数及 A、D、C三点的坐标；（2）求过 A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴 L（3）若 P是抛物线的对称轴 L 上的点,那么使 PDB为等腰三角形的点 P 有几个?（不必求点 P的坐标,只需说明理由）11 / 12不积跬步无以至千里例 12. 如图,在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD的三个顶点 B（4,0）、C（8,0）、D（8,8）. 抛 2+bx 过 A、C两点.物线 y=ax(1) 直接写出点 A的坐标,并求出抛物线的解析式； (2) 动点 P从点 A出发沿线段 AB向终点 B运动,同时点 Q从点 C出发,沿线段 CD向终点 D运动速度均为每