21.2.4一元二次方程的根与系数的关系教案[共10页]

1、21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系沂南三中 张继学 联系电话 : 一、【教材分析 】教学目标知识目标能力目标1. 理解根系关系的推导过程 .2. 掌握一元二次方程的根和系数的关系 .1. 能不解方程求出一元二次方程的两根和与两根积 .2. 能灵活运用一元二次方程的根和系数的关系解决一些简单的问题 . 体会从特殊到一般,再有一般到特殊的推导思路情感目标教学重点根与系数的关系的推导、运用教学难点正确归纳、理解、运用根与系数的关系二、【教学流程 】教学环节教学问题设计 师生活动二次备课前 2 天悄悄地听到咱班的郑帅和董沐青的一段对话,内容如下：郑：我说董沐青,我有一个秘密,你想听吗？董：什么

2、秘密？郑：你知道咱们可爱的张老师年龄到底有多大吗？情景创董：哦？郑：呵呵,这绝对是个秘密,我不能直接告诉2你,我这么说吧：她的年龄啊是方程 x 12x+35 =0 的两根的积,回去你把两根求出来就知老师创设一段情景对话,调动学生学习兴趣 .设道了.董：咳,你难不住我,我不用求根就已经知道参考答案了,而且我还告诉你,张老师的年龄啊还是方程 x 2 -35x -200=0 的两根的和呢 .2 -35x -200=0 的两根的和呢 .师：同学们,你们想知道董沐青不解方程,是引导学生完成下面探究.怎么求出张老师年龄的吗？【探究 1】解下列方程,并填写表格：- 1 -方 程 x1 x2 x1+ x2 x

3、1 x2通过学生计算一些特殊的一元二次方程的2 2 0x x两根之和与两根之积, 启自主2 3 4 0x x发学生从中发现存在的探一般规律, 渗透特殊到一究2 5 6 0x x般的思考方法。学生通过计算、猜观察上面的表格,你能得到什么结论？ 想、交流、总结出根与系若 x1 、 x2 为 方 程 关 于 x 的 方 程数的关系：2 0( 2 4 0)x px q p、q为常数,p qx x p,1 2的两个根, 结合上表, 说明 x1+x2 与 x1 x2 与 p,q 有何关系？请你写出关系式x x q .1 2可以先将方程转化【探究 2】关于 x 的方程2 0( 0)ax bx c a 的为二

4、次项系数为 1 的一元二次方程, 再利用上面的两根 x1+x2 与 x1 x2 与系数 a,b,c 之间又有何结 论 来 研 究 , 即 ：关系呢？你能证明你的猜想吗？2 0( 0) ax bx c a引导学生利用求根公式给出证明。 a 0证 明 ： 当 0 时 , 由求 根 根式 得 ：2b b 4ac1 ,x2ax2b2b2a4acx1x2b2b4ac b b 2a24acba b c 2 0x x a ax x1 2bax x1 2ca.,从理论上加以验证, 让学生经历从特殊到一般 2 2 ( b) (b 4ac ) 4acx x1 422 24a aca的科学探究过程。- 2 -1.

5、利用所学知识解决情景问题？直接应用新知是学生的模仿阶段, 也是本课教学最基本的知识目标 .尝试2. 不解方程,求下列方程的两根和与两根积 .2（1） x3x +1 =02（2） 3x 2x - 2=02（3） 2x 3x =02（4） 3x=1学生先独立求解, 再应让小组交流, 然后学生代用表展示 . 比较不同解法,23. 已知方程 2x kx 9 0的一个根是 3,求另一根及 k 的值？引导学生谈谈有什么启示？若一元二次方程2x -4 x+2=0 的两根是 x1 、x ,求下列各式的值：2进一步稳固根与系对 内数的关系,体会“整体代容 的升 华（1）1x1+1x2入”思想在解题中的运用,可起

6、到简便运算的作理 解认识用.补偿提高（2）2x +12x2- 3 -学生独立思考,师生梳1、这节课我们学习了什么知识？有何作理本课的知识点及方法1如果一元二次方程用？ax 2+bx+c=0（ a0）的两2+bx+c=0（ a0）的两个 根 是 x1 , x2 , 那 么 2、运用本节课所学知识解决问题时要注意些什么？x1+x2=_,x1x2=_2 如果方程 x 2+px+q=02+px+q=03、这节课我们学到了解决数学哪些方法？2（ p、 q为已知常数, p运用了哪些数学思想？ 4 0 ）的两个根是x1,x2,那么 x1+x2=_,小结x1x2=_；以两个数 x1,x2为根的一元二次方程 （

7、二次项系数为1） .注意： 根与系数的关系使 用 的 前 提 条 件_. 教师布置作业,并提必做：出要求 .1. 教科书课后练习.学生课下独立完成, 延续2. 教科书习题21.2 第 7题. 课堂 .选作：作1. 已知两个数的和等于 8,积等于 9,求这业两个数？考察学生灵活运用知识解决问题能力,让学生感受到根与系数的关2. 若一元二次方程2x +ax+2=0 的两根满足：系在解题中的运用, 同时2x +12x =12,求 a 的值.2也考察学生思维的严密性.三、【板书设计】- 4 -21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1、对于2 0( 0)ax bx c a 的方程,若2 4 0b a

8、c ,两根为 x1, x2 .那么x x1 2ba, x1 x2ca.2、根与系数关系使用的前提是：（1）是一元二次方程,即 a 0.（2）方程为一般形式。即形如：2 0ax bx c .（3）判别式大于等于零,即2 4 0b ac .四、【教后反思 】本节课通过情景对话, 调动学生学习兴趣, 激发起学生的好奇心和求知欲, 在此推动下,引领学生展开探究活动,并将探究根与系数的关系时分两个层次（即将二次项系数为 1 和非1 的一元二次方程分两次出现） .收获：1. 一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积同系数之间的关系,是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具,必须熟记,为进一步使用打下基础 .2以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导,向学生展示认识事物的一般规律,提倡积极思维, 勇于探索的精神, 借此锻炼学生分析、 观察、 归纳的能力及推理论证的能力 .3. 使学生体会解题方法的多样性,开阔解题思路,优化解题方法,增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习,获得数学活动经验 .不足：学生对于利用根与系数的关系来解决一些有关一元二次方程的问题还不够熟练, 思路不清, 两