行星运行轨道的推导

1、行星运行轨道的推导 王晓琳，陈海军 （陇东学院 物理与电子工程学院，甘肃 庆阳 745000 ） 摘 要：从力的观点对行星运行轨道推导计算，通过求有心力，然后求出在有心力作用下的质 点运动规律，进而对行星运行轨道形状展开讨论；再从能量的观点出发，得到行星运行轨道的一般 Binet 方程，还可以从质点的运动微方程导出比耐方程，从而了解行星运行轨道的一般规律，即天 体运行轨道的方程。关键词：有心力，比耐公式，轨道方程0 引言天体行星的运行轨道都是椭圆，这一点早已被科学观察所证实。但为什么行星的运动轨迹都会 是椭圆的呢 1609 年，德国著名的天文学家、数学家开普勒在研究古希腊天文学家托勒密的“地心

2、 说”和波兰天文学家哥白尼的“日心说”的基础上，提出了“开普勒定律”，描述了行星绕太阳运 动的规律，其中开普勒第一定律，即轨道定律，认为每一行星沿一个椭圆轨道环绕太阳，而太阳则 处在椭圆的一个焦点中。几个世纪来，牛顿给出了计算椭圆轨道的公式，康德在其宇宙发展史概 论中做出了一个不很明确的解答 “行星的偏心率是自然界因力图使行星作圆周运动时， 由于中间 出现了许多情况，而不能完全达到圆形的结果 ”。而拉普拉斯在其宇宙体系论中是这样解释的“如果行星只受太阳的作用，它们围绕太阳运行的轨道是椭圆的。” 20世纪的爱因斯坦也只告诉我们“空间是弯曲的 ”， 现代天文学研究表明，当今人类所能观察到的离地球最

3、远的距离是 200 亿光年，但这并不是宇宙的边缘，而宇宙的一切天体，一切一切星系的运行，都有着特定的森 严的规律，如月球绕地球旋转，地球绕太阳旋转，太阳系绕银河系旋转，银河系绕室女星系旋转等 等，万物各成其形，各行其道，这是当代一切科学家共同确认的。本文首先从力的角度进行讨论1 用力的观点来推导轨道有心力各大行星的运行轨道都是绕太阳做椭圆运动的，因为万有引力的作用，一般而言，若运动质点 所受的力作用线始终通过某一个定点，则该质点所受的力是有心力。在平面极坐标系中，质点的运动微分方程为：m(r r 2)F(r) |m(r 2r ) F 0(1)对（1）1 d2的第二式进行第一积分，得m12 （r

4、2 ） 0r dt将( 1)的第一式和（2）作为有心力的基本方程。我们知道有心力是保守力，则它一定存在势能V,且FV由于势能差与原点选取无关，故有r2F(r)dr(V2 V1)(3)由于质点的质量 m是常数，故积分得r2hri其中V也是r的函数，由机械能守恒定律得1m(r2r2 2) V(r) E (4)其中E是质点的总能，为常数。比耐公式为了求出在有心力作用下的质点运动规律，由（2）和（4）出发，求出r, B和t的关系，即r r（t）,（t），但很多情况下并不能得出这样的显函数形式，而只能把他们表示为t的隐函数，在力学中想求轨道方程，通常是先求运动规律，然后从运动规律中把参数t消去，因为运动

5、规律就是轨道的参数方程，而在有心力问题中，常采用另一种方法，为了计算方便，常用r的倒数u来代替r,由（1）以u1代替r可得到rhu2drdr dd 1x d1 du又r()dtd dtd u dtu2 d即求出u和B的微分方程drdtdt( hddu)du)d )h2u2 马d 2(5)的表达式代入（1 ）中t就消去了，并得到(d2uu)即轨道微分方程，又称比耐公式，引力时F为负号，斥力时F为正号。轨道形状的讨论:力与质点到力心间的距离 r成平方反比，在行星绕太阳的运动就是在力与距离成平方反比的引力作用下发生的，即为万有引力。另一方面，在物理学中也存在平方反比的斥力问题，例如用粒子（带正电）轰

6、击原子核（也带正电），将发生散射现象，这是粒子所受的力虽然也是有心力，但与万有引力不同，是一种与距离平方成反比的排斥力。如果令太阳的质量为现由比耐公式来求质点在与距离平方成反比的引力作用下的轨道方程。ms，行星的质量为 m,则由万有引力定律，知行星和太阳之间的作用力可以写为lGmsmF -s2r.2 k m2rmk2u2(6)1(10)式中G为万有引力常数，k2 Gms是一个与行星无关而只和太阳有关的量，称为太阳的高斯常量，r为行星和太阳之间的距离。把（6）代入（2 2/ d u . 2 25)中得：h u (2 u) k ud 2(7)k2 u 7(8)h2（8）式变为d2(9)这个微分方程

7、的形式与谐振动方程完全一样，所以它的解是Acos(o)Acos(o)j 21 Acos(o)h2k20，则式（10 ）就简化为式中A及0是两个积分常数，如果把极轴转动一个角度，可使(11)h2/k21 A -2 cosk2这就是所要求的轨道方程。将它与标准的圆锥曲线方程edr1 ecos比较，可知在平方反比引力作用下的质1 ecos点的运动轨道是一条以力心为焦点的圆锥曲线。其离心率ea，半正焦弦:2 2h2/k2 。因此,也就知道在万有引力作用之下的质点的运动轨道是圆锥曲线。由解析几何知在万有引力之下，轨道是圆锥曲线。圆锥曲线按e的量值可分为三种类型，因此在力与距离平方成反比的引力场中质点的轨

8、道类型有三种。轨道类型h2AF1质点运动的轨迹是一个 椭圆a1抛物线1双曲线在圆锥曲线中，离力心最近的点叫做近日点.在椭圆中，离力心最远的点叫远日点，抛物线和双曲线没有远日点。对于椭圆来说它的近日点距离r a c（ a为椭圆长半轴，c椭圆中心到焦点 F的距离）。a(1a(a e)，r 2a2ac a(1e)。此外，我们利用圆锥曲线方程1 ecos距日点X的将焦点参数P用a和e来表示。因为在近日点0，所以咒 a(1 e)，所以 p a(1e2)。e,P），但我们还应该要明确它与A， h有关。光从几何的角度来看，圆锥曲线的类型和形状取决于几何参数（的物理意义。从解比耐方程得到的结果可以看到几何参数

9、（ e，p）总之（3）A h和初使条件有关.A、h这两个物理量与有心运动质点的初始状态（条件）有关。A h这些力学参量决定的。显然，在平方反比引力作用之下质点的运动轨道的形状是由F面我们就从能量的观点来讨论在平方反比引力作用之下的质点运动轨道。2用能量的观点来讨论轨道：天体运行轨道的一般性Binet方程形式能量方程的一般解根据介质层壳弯曲方法，目前已给出能量方程及其一特殊条件解为2 r dEmEmEmdr 0，（ 12）Em me2moc2 exo(M0C2r具有相同的形式，故可确定Newt on引力常数式中 为介质层壳常数，r为粒子与物质间的作用距离，Em及Em即分别为基于质速关系的作用物质

10、及质点粒子的Ei nstein 能量。能量方程（12）式的一半解能量方程及势能方程为Em22 /M0C2r），mcm0c exp(（13）Amr2M0C2r），mcm0c exo(（14）式中为待定常量。根据势能方程（14）式，得作用力方程及其二个条件解分别为F MmdAmrdrc2Mexo( rM0C2r），（15）FMmC4 響(1M 0C2rM 0C2F MmM0C2r(16)方程（16）式与Newt on引力方程MmMm2 r 2G C , （17）根据（13 ）、（17）二式得质点粒子在引力作用下的运动速度及其一条件解形式分别为222GM 0Vm2C2(1 eXP( X 2)，(18

11、)2 2GM 02V；-2c222c22GM 00 22厶GM 0 (-),rrGM 0c r1（ 19）由（23）式得行星运动轨道的一般Binet方程形式为式中Vm为粒子的运动速度。显然上面（19）式与Newton引力理论的活力积分公式2 2 1Vm GM（）r a是一致的，式中a为行星轨道半径，得与之相对应的待定常量GM 0珏。（20）天体运行轨道的一般Bint方程形式对于（19）式有Newt on引力方程组2 z dr 2/ dVm(詔叮込ldt込2c2r(21)式中 为行星轨道平面的极坐标角度,L a（1 e2 ）GM 0为行星扫面速度常数的二倍，e为行星轨道的偏心率。行星运行的参量方

12、程为V dVm GMdV mmdrL dt 0( 22)相应地对于（18）式有V：(W)2 (rj dtdt2“/ 2GM。c (1 exp( 2 - c r.)2d 1$ 2GM。 cr Lexp( 2 一 2 dtc rd2ud 22 2u u0 (2exp(4c u 4 ) exp(2c u 2 ) ( 24)式中uGM 0r ，u。（芋）2 o将方程(24)式右边2u 以零阶Taylor级数展开，即得Newton引力理论（21）式的Bi net方程形式d2u 厂u2u0 c u0 (25)则由（22） （23）可得角动量方程为mr2ddrLoexp(GM02c r即轨道方程为)2/dr

13、、2 / d()(r dtdtc2(1 exp( 2缪 0 2 ),(26)c r2d |/ 2GM。mrLexp( 2 一 2 )drc r由（26）式得天体运行轨道的一般性Binet方程形式为d2ud22 u u0 (2exo( 4c u2exp( 2c u 2）（27） 2在极弱场时因为4c u0，故将方程（24）式右边c2u 以零阶Taylor级数展开,即得Newt on引力理论（21）式的Binet方程形式d2u22u u0 c ud 20，我们还可以从质点的运动微方程导出比耐方程,再由比耐公式直接求出质点的轨道方程。现在我们从这个一个角度即用动量距守恒和机械能守恒:1 2 2 2

14、m(r2 r2 2) v(r) E2m( 28)r2 h这组方程来解质点的轨道方程。如果已知质点所受的有心力的具体形式，上式中的势能的具体形式也就可以求得，与平方反比的引力相关的势能:mk2mk2“、v(r)F (r)dr dr(29)r以无穷远点为零势能的参考点，那么质点距离力心r处的引力势能从r的ASDF将此弓I力势能代到（1)式。则有1z 2m(r2mr2 h2) mk2 E)T(30)为了由上述两方程推出质点的轨道方程r(),我们得想办法消去t，从式（2）的第二式得:将它们代入第一式则有1 h2 g(ddr 2)h2 r2E所以有dr 2Er2 h r、d . mh2 2k2r分离变量

15、得:hdrd(2E 222r .r h 2k r mk2m 一rdrdr hd dth22 (rdr)2h2(乎)2d(31)(32)1 h22吩(Ldr 22E2E 4 r m对它的两边同时进行积分，在这里要利用积分公式:dxx、a bx cx21. 1 bx 2aLn赢匸(17)h2r2dr .22k22k2h2r2k2r32k2Er其中（a0）。两边积分得到。(18)2 2.1 2k r 2hsin rj4k4 8Eh2/mc sin(c)2 22k r 2hr、4k4 8Eh2/m我们令c3这样就可以将正弦改为余弦cos来表示，即23sin(c) sin(-20)cos(o)所以2k2

16、r 2h2cos(0 )42 “r Y4k 8Eh mr 4k4 8 Eh2 mcos(0)2k2r 2h2(19)r 4k48 Eh2 m cos( 0) 2h2将它与标准圆锥曲线方程P进行比较,1 ecos可见，在平方反比引力作用下的圆锥曲线的离心率1 2E(h2) m k(20)而焦点参数ph2k2，可见，轨道的几何参数（e,p)完全决定于动力力学常数 h和E,有些书上就称这两个动力学常数为动力参量。因此，在平方2 h 2反比引力作用之下质点运动轨道的类型就可以用它的总能量E来判断。因为 兰（-為）2恒为正值。所m k2以，E 0时，则e就小于1： e 1质点的运动轨道是椭圆当 E 0时

17、,等于1: e 1抛物线E 0时，大于1: e 1双曲线Ah2最后还得还一下前面我欠大家的一笔帐，前面我们给出e现在我们由（3）可得k2八h,2Eh oA _2 - 1 （2） （21）k m k这就说明了积分常数 A取决于E和h而E和h又取决于质点初始条件，所以说A与初始条件有3结论本文分别用力的观点和能量的观点两个方面对行星运行轨道展开讨论。首先从有心力这一观点出发，通过对比耐公式的讨论，来推导出轨道微分方程；然后以太阳系为基础，对轨道形状做出细致的讨论，得出轨道微分方程即比耐公式,2 2 , d 2u huGu)-的结论；接着从能量的观点出发,m对天体运行轨道的一般性2Binet方程形式通过能量方程Emme2m0c2e