函数的单调性 (2)

1、 引例引例1 1：以下图示是某市一天：以下图示是某市一天24小时内的气温变化图。气温小时内的气温变化图。气温 是关于时间是关于时间 t 的函数，记为的函数，记为 f (t) ，观察这个气温变化，观察这个气温变化 图，说明气温在哪些时间段内是逐渐升高的或下降的？图，说明气温在哪些时间段内是逐渐升高的或下降的？ 引例引例2：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象 （1）y = x x y y = x O1 1 引例引例2：画出下列函数的图象画出下列函数的图象 （1）y = x x y y = x O1 1 引例引例2：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象 （1）y = x 此函数在区间此函数在区

2、间 内内y随随x的增大而增的增大而增 大，在区间大，在区间 y随随x的增大而减小；的增大而减小； x y y = x O1 1 引例引例2：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象 （1）y = x 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增 大，在区间大，在区间 y随随x的增大而减小；的增大而减小； x1 f(x1) x y y = x O1 1 引例引例2：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象 （1）y = x 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增 大，在区间大，在区间 y随随x的增大而减小；的增大而减小； x1 f(x1) x y y = x O1

3、1 引例引例2：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象 （1）y = x 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增 大，在区间大，在区间 y随随x的增大而减小；的增大而减小； x1 f(x1) x y y = x O1 1 引例引例2：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象 （1）y = x 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增 大，在区间大，在区间 y随随x的增大而减小；的增大而减小； x1 f(x1) x y y = x O1 1 引例引例2：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象 （1）y = x 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的

4、增大而增 大，在区间大，在区间 y随随x的增大而减小；的增大而减小； x1 f(x1) （- -, + ） （2）y = x2 引例引例2：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象 Ox yy = x2（2）y = x2 引例引例2：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象 1 1 Ox yy = x2（2）y = x2 引例引例2：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象 1 1 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增 大，在区间大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增大而减小。 Ox yy = x2（2）y = x2 引例引例2：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象 1

5、1 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增 大，在区间大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增大而减小。 x1 f(x1) Ox yy = x2（2）y = x2 引例引例2：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象 1 1 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增 大，在区间大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增大而减小。 f(x1) x1 Ox yy = x2（2）y = x2 引例引例2：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象 1 1 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增 大，在区间大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增

6、大而减小。 f(x1) x1 Ox yy = x2（2）y = x2 引例引例2：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象 1 1 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增 大，在区间大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增大而减小。 f(x1) x1 Ox yy = x2（2）y = x2 引例引例2 2：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象 1 1 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增 大，在区间大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增大而减小。 f(x1) x1 Ox yy = x2（2）y = x2 引例引例2：画出下列函数的图象：画出下列函

7、数的图象 1 1 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增 大，在区间大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增大而减小。 f(x1) x1 Ox yy = x2（2）y = x2 引例引例2：画出下列函数的图象：画出下列函数的图象 1 1 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增 大，在区间大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增大而减小。 f(x1) x1 （- -, 0 0 0, + ) 0 y x1x2 f(x2) f(x1) 0 y x1x2 f(x2) f(x1) x x 在区间在区间I内内在区间在区间I内内 图图 象象 y=f(x) y=f(

8、x) 图象图象 特征特征 数量数量 特征特征 0 y x1x2 f(x2) f(x1) 0 y x1x2 f(x2) f(x1) x x 在区间在区间I内内在区间在区间I内内 图图 象象 y=f(x) y=f(x) 图象图象 特征特征 从左至右，图象上升从左至右，图象上升 数量数量 特征特征 0 y x1x2 f(x2) f(x1) 0 y x1x2 f(x2) f(x1) x x 在区间在区间I内内在区间在区间I内内 图图 象象 y=f(x) y=f(x) 图象图象 特征特征 从左至右，图象上升从左至右，图象上升 数量数量 特征特征 y随随x的增大而增大的增大而增大 0 y x1x2 f(x

9、2) f(x1) 0 y x1x2 f(x2) f(x1) x x 在区间在区间I内内在区间在区间I内内 图图 象象 y=f(x) y=f(x) 图象图象 特征特征 从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降 数量数量 特征特征 y随随x的增大而增大的增大而增大 0 y x1x2 f(x2) f(x1) 0 y x1x2 f(x2) f(x1) x x 在区间在区间I内内在区间在区间I内内 图图 象象 y=f(x) y=f(x) 图象图象 特征特征 从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降 数量数量 特征特征 y随随x的增大而增大的

10、增大而增大y随随x的增大而减小的增大而减小 0 y x1x2 f(x2) f(x1) 0 y x1x2 f(x2) f(x1) x x 在区间在区间I内内在区间在区间I内内 图图 象象 y=f(x) y=f(x) 图象图象 特征特征 从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降 数量数量 特征特征 y随随x的增大而增大的增大而增大 当当x1x2时，时， f(x1) f(x2) y随随x的增大而减小的增大而减小 0 y x1x2 f(x2) f(x1) 0 y x1x2 f(x2) f(x1) x x 在区间在区间I内内在区间在区间I内内 图图 象象 y=f(x) y

11、=f(x) 图象图象 特征特征 从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降 数量数量 特征特征 y随随x的增大而增大的增大而增大 当当x1x2时，时， f(x1) f(x2) 那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是单调这个区间上是单调 减减函数函数，I称为称为f(x)的的单调单调 减减 区间区间. O x y x1x2 f(x1) f(x2) 由此得出单调增函数和单调减函数由此得出单调增函数和单调减函数的定义的定义. . x O y x1x2 f(x1) f(x2) 设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为A,区间区间I A. 如果对于属于定义域如果对于属于

12、定义域A内内某个区间某个区间I上上 的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2， 设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为A,区间区间I A. 如果对于属于定义域如果对于属于定义域A内内某个区间某个区间I上上 的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2， 那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是单调这个区间上是单调增增 函数函数，I称为称为f(x)的的单调单调 区间区间.增增 当当x1x2时，时，都有都有f(x1 ) f(x2 )， 当当x1x2时，时，都有都有 f (x1 ) f(x2 )， 单调区间单调区间 ( (3)3)函数单调性是针对函数单调性是针对某个区间某个区间

13、而言的，是一个而言的，是一个局部性质局部性质; ; (4)(4)在定义域内某一点处不讨论单调性在定义域内某一点处不讨论单调性，所以书写单调区间时，所以书写单调区间时， 区间端点的开或闭没有严格的规定。若函数在区间端点处没区间端点的开或闭没有严格的规定。若函数在区间端点处没 有定义，则必须写成开区间。有定义，则必须写成开区间。 (2)(2)如果函数如果函数 y =f(x)在区间在区间I I是单调增函数或单调减函数，那么就是单调增函数或单调减函数，那么就 说函数说函数 y = =f( (x) )在区间在区间I I上具有单调性。上具有单调性。 在单调区间上，增函数的图象是在单调区间上，增函数的图象是

14、上升上升的，减函数的图象是的，减函数的图象是下降下降的。的。 (1)(1) x 1, x 2 取值的取值的任意任意性性 (5) (5) 函数函数y =f(x)在定义域内的两个或两个以上的区间都是增（减）在定义域内的两个或两个以上的区间都是增（减） 函数，两区间函数，两区间不能用并集符号不能用并集符号，用，用逗号逗号隔开。隔开。 例题分析： 例1：图2-10是定义在闭区间 -5，5 上的函 数 的图像，根据图像说出 的单调区间， 以及在每一单调区间上 是增函数还是减函 数？ )x(fy )x(fy )x(fy y (图2-10) -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 O 3 2 1

15、-1 -2 例题分析： 例1：图2-10是定义在闭区间 -5，5 上的函 数 的图像，根据图像说出 的单调区间， 以及在每一单调区间上 是增函数还是减函 数？ )x(fy )x(fy )x(fy y (图2-10) -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 O 3 2 1 -1 -2 解：单调区间有：-5，-2）， -2，1），1，3)，3，5 其中y=f(x)在-5，-2）， 1，3上是减函数; 在-2，1），3，5上是增 函数。 例例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：画出下列函数图像，并写出单调区间： 1) 1 (xy x y 1 )2( 32)3( 2 xxy 例例2.画出下

16、列函数图像，并写出单调区间：画出下列函数图像，并写出单调区间： 变式变式2：讨论的单调性：讨论的单调性 变式变式1：讨论的单调性：讨论的单调性 )(k x k y0 )0( abaxy 1) 1 (xy x y 1 )2( 32)3( 2 xxy 变式变式3：讨论：讨论 的单调性的单调性) 0( 2 acbxaxy 单调增区间单调增区间 单调减区间单调减区间 a0 a0 2 yaxbxc , 2 b a , 2 b a 2 (0)yaxbxc a的对称轴为 2 b x a 返回 , 2 b a , 2 b a 例例3：证明：函数：证明：函数 在在 上是减函数。上是减函数。 x y 1 ), 0

17、( 证明：设 是 上的任意两个实数， 且 则 21 x,x), 0( 21 xx )x(f)x(f 0)x(f)x(f 0 xxxx 0 xx ),0(xx xx x-x x 1 x 1 )x(f)x(f 21 21 1221 21 21 21 12 21 21 即 又由 ， 所以，函数 在 上是减函数。 x 1 )x(f)(0, 任取任取 作差变形作差变形 定号定号 下结论下结论 证明函数单调性的四步骤证明函数单调性的四步骤： （1）设量）设量: （在所给区间上任意设两在所给区间上任意设两 个实数个实数 ） 1212 ,.x xxx且 （2）作差）作差: （ （作差作差 ，然后然后变形变形，常，常 通过通过“因式分解因式分解”、“通分通分”、“配方配方