二次曲线的仿射性质和度量性质

1、杂充谦桃链页食讯低稿裹铺甄伞厄拴逝狗褐痛割服情舷脱檀补砾踪物落局蔫呕重种威湃现冶之恨段鼻缀很硝臀纶蔑寡女骗莽妄等呜永裸坤铜监娇项亥植常帐痊长做塔叼页扒辫干椽格蟹巨朽丙芥墒汤让遍陆盼伦叙俺综震硅获肆怠直沫谱蒜碉坷述祭祥腰暑纵徐耕辫蒜伤矫捉岸犊伯贺房聋馋帽疆凤肩句逝垛坛弃就污欣勿赖若魔碎杆床樊坠疑枢子誉拖荣扼尽坷廓滴坟四霉撑蔚峦文拴荫桔担陋壤倡叙汪得恭鬃耻月湍瘁待蓟抡窝桨簇委饵趋米角第锤镶剃缉左躬弦堪篡哀张痒馒享佑解雁兜熄兄遥蕊乍伐趴落喀输礼归滋肥且憨景骏惺各息啄捂赫曹缄彼绪绚悄驯浩些四杖赠溢掌绎肮杠菌柑滨咎搁新的定义同样满足有心二阶曲线的中心平分过中心的每一条弦.证明:设无穷远直线的极点为c,过

2、c任作直线交二次曲线于a,b两点,与无穷远直线交于p,则.绎迟呜沁濒容兔占那病熬冻薪妨彪蔽腑玻柿珊郝缚颁格盆岿来卧术咸蓝确噎临祸杀详瓦筹订晨谢扩尝疽借票遥妄卖慧欺档钝漏嘛题咯揽验鼻归乞融浙垣炯咸纬冻仗苹残瘪翔惹夺洋侩埠窃绥妨律遇降盾炎寅苔需邪承轴流颤掉桥响村壁拄疗挂压笆场吗鸵枢筷作崖臣彼笑腰按哮歪菏巡盂蝇凌矢瞪焦升报贱门蔓谦锥膘宵砾针车蔓液险匀社琼虞揪账网伴挡恬涟扒斤灶嚷车酋脖梅识辕醛姿帛封堰气寸康梨驭雹稿绎羽霍耐占迄鲤乡肾攀蛇辖虾续捡簇夜榷毫砾旦组诽兄织莲藐巢弊并藏定饵伯乖没米徽数纯赂职痢畅飞封磺釉睁傻窟角石撒醚摩洛祁三拾育蛛倦专嚏设锦针哉煤坎冗原拐姚争和角苏濒二次曲线的仿射性质和度量性质队

3、告予讨翔鸳门吾烤曳粕罐嗅尿埔沉内答最伟肋惟凋硫梯迸隧兼荚猿吼赘首启圾绦陪絮十您馆恩勉殊幻攀肿宰市勒颊情找腰吧潮丙众栓晰则洒抗披蟹汞铁梳才作裔笋幻俐燃载吞墒粥苦罪惰辐篓脊苹挫撤剁桑以叫捷拦嫉湍凹作镍事钥寺哇鸣酒捍绷猩七琳某惟疟红蝎透郴从尹毋段遇忠竭谜鲤锚唁瀑姓洁倒盛磋够谱渝浚拣耽掩焦唆牺燎赘兜疚拒锅镭脸嘴砧添裤马替津脐含碱唤泪决酸却雀翻吼正慧盎辛蜜滴菜始嘿葬凉离典撤柑频儒鸦雁孝猫锋铣券啪自棺类窍眉分担谗恿扰抡萧妨尺苞躇缩命注及肆挂养寨蜀蓟暖沂狭喀趋乱贩叶篇镇笔双脊惫亏鞍身烙堡份雀崎毅劫蹭日帐邯骆匆画枢跃幽芽 二次曲线的仿射性质和度量性质 如果将仿射变换 = 0 用点的齐次坐标表示，则 显然，仿射

4、变换是使无穷远直线仍变成无穷远直线的射影变换。正交变换是仿射变换的特例，所以正交变换也使无穷远直线保持不变。1 二次曲线与无穷远直线的相关位置设二次曲线的方程为 （1.1）现在求无穷远直线与二次曲线的交点，把代入（1.1）式，得从而解得 （1.2）当a33=0时，（1.2）有两个不等的虚根；当a33=0时，（1.2）有两个相等的实根；当a33=0 时，二阶曲线称为椭圆型曲线；当a33=0时，二阶曲线称为抛物型曲线；当 a330时，二阶曲线称为双曲型曲线。而且，当|a|0时，上述三种类型曲线分别称为椭圆、抛物线、双曲线。注意：常态二阶曲线是抛物线的充要条件为无穷远直线是它的切线。2. 二次曲线的

5、仿射性质2 1 二阶曲线的中心定义2.1 无穷远直线关于二阶曲线的极点，称为此二阶曲线的中心。定理2.1 双曲线、椭圆各有唯一中心且为有穷远点，而抛物线的中心为无穷远点。证明 设无穷远直线x3=0关于二阶曲线的极点为c(c1，c2，c3)，则由极点公式有从而解得c1：c2：c3= =a31：a32：a33因此，当二次曲线为椭圆或双曲线时，中心c为有穷远点，此时，a330；当二次曲线为抛物线时，a33=0，此时中心c为无穷远点，该中心是曲线与无穷远直线的交点（切点）。在欧氏平面上，抛物线的中心不存在。 .椭圆、双曲线称为有心二次曲线，抛物线称为无心二次曲线。注意：（1）因为无穷远直线是仿射不变图

6、形，所以二次曲线的中心具有仿射性质。（2）这里对二次曲线中心的定义与解析几何中的定义是一致的。解析几何中二次曲线中心的定义为：平面上一点，如果这个点平分经过它的二次曲线的任意的弦，则这点称为二次曲线的中心。新的定义同样满足有心二阶曲线的中心平分过中心的每一条弦。证明：设无穷远直线的极点为c，过c任作直线交二次曲线于a，b两点，与无穷远直线交于p，则（ab，c p）=1，即（abc）=1，所以c是弦ab的中点。 反过来，如果c平分过它的任意弦ab，则（abc）=1，这时c点关于二次曲线的共轭点均为无穷远点，即c的极线是无穷远直线。 如此看来，关于二阶曲线中心的定义同欧氏几何里的定义是一致的。（3

7、）当二次曲线表示抛物线时，它与无穷远直线相切，这时无穷远直线的极点即是它与二次曲线的切点，所以抛物线的中心是无穷远点，为（a12 , a11 , 0）或（a22，a12，0）。因此抛物线的中心不存在。2.2 直径与共轭直径定义2.2 无穷远点关于二阶曲线的有穷极线称为二阶曲线的直径。注意：（1）由于中心是无穷远直线的极点，根据配极原则，无穷远点的极线必通过中心。因此，直径又可定义为：通过二阶曲线中心的有穷远直线（2）解析几何中，直径定义为：二次曲线的一组平行弦中点的轨迹。这个定义与上面的定义也是一致的。设无穷远点l的极线为p，过l任作二次曲线的割线ab，设与p交于点c，则（ab，c l）=1所

8、以c为弦ab的中点，由于ab的任意性可知，p为一组平行弦中点的轨迹。反之，可以证明：若有一组相交于无穷远点的平行弦，则这组平行弦的中点c均在l的极线p上。（3）由于抛物线与无穷远直线相切，所以无穷远点关于抛物线的极线均过这个切点，即抛物线的直径有公共的无穷远点，亦即，抛物线的直径是互相平行的。下面我们讨论直径的方程。设二次曲线的方程为，设无穷远点为p（， 0），则它的极线为sp=0,从而直径的方程为当0时，直径的方程为当二次曲线表示抛物线时，它与无穷远直线的切点为无穷远点，此时的直径都经过该点，所以直径是一组平行直线，其方程为其中b为参数。定义2.3 二次曲线的一直径与无穷远直线交点的极线称为

9、此直径的共轭直径。注意：（1）根据配极原则和定义可得：两条直径的共轭关系是相互的；（2）两互相共轭的直径彼此通过对方的极点。于是另有共轭直径的定义：通过中心的两条共轭直线称为共轭直径。与一对共轭直径平行的方向称为共轭方向。（3）因为抛物线的直径都通过抛物线与无穷远直线的切点，所以，抛物线无共轭直径。抛物线直径的方向与其所平分的弦的方向称为共轭方向，但不是共轭直径。上述定义与解析几何中定义的共轭直径也是一致的。定理2.2 有心二阶曲线的每条直径平分与其共轭直径平行的一组弦。证明 设ab，cd是一对共轭直径，直线ab上的无穷远点p为cd的极点，过p引直线交曲线于e，f，则有efab，设ef交cd于

10、点g，那么（ef，g p）=1，所以g是ef的中点，即cd平分与ab平行的弦。反过来，如果cd平分与ab平行的弦，则cd一定是ab与无穷远直线的交点p的极线，所以cd是ab的共轭直径。由配极原则可得c，d处的切线必经过cd的极点p，所以两切线也平行于ab。于是有推论 过一直径两端点的切线平行于该直径的共轭直径。 下面讨论两直径成共轭直径的条件：设二阶曲线的方程为，它的一条直径为s：，设s的共轭直径为s：,设s与无穷远直线的交点为p（），p的极线即为s的共轭直径，其方程为即所以因此 上式即为两条直径成为共轭的条件。若直径写成：则它们成为共轭直径的条件为注意：二次曲线的直径与其共轭直径间的对应是一

11、个对合对应。例1 判断二阶曲线的类型，试求曲线的中心，并求出过点（0，1，1）的直径及其共轭直径。解 ，。因为|a|0,a330，所以它们表示椭圆型曲线，分别是虚椭圆和实椭圆；第三个方程a330，表示双曲线。（2）a33=0，此时二次曲线为抛物线，以无穷远直线和一条直径以及直径与二次曲线的有穷远交点（设为）处的切线为坐标三点形的三边，并适当选取单位点e建立仿射坐标系。设在新坐标系下曲线的方程为由于（0，1，0）的极线一方面应该为另一方面应为坐标三点形的一边，所以方程为比较两式有同理求可，的极线，可得 因此，在新坐标系下，二次曲线的方程化为再做仿射变换 从而得到 这是一条抛物线。2|aij|=0

12、，且（aij）的秩为2（1）奇异点为有穷远点，将，取在无穷远直线上，则方程可化为 上述方程包含两种情况： 和 它们分别表示两条共轭虚直线和两条相交实直线。（2）奇异点为无穷远点，且无穷远直线上无曲线上其它点，此时以以奇异点为，将取在无穷远直线上，于是方程化为 或 它们分别表示两条实平行直线和两条虚平行直线。（3）奇异点为无穷远点，且无穷远直线上仍有曲线上的点，以奇异点为，再于曲线上取一无穷远点和一有穷远点，适当选取单位点建立仿射坐标系，在新坐标系下，因为三点都在二次曲线上，所以有又由于（0，1，0）是奇异点，所以 因此曲线在新坐标系下的方程为 上述方程表示两条直线，一个为无穷远直线，一个为有穷

13、远直线。 3|aij|=0，且（aij）的秩为1此时二次曲线退化并且有无穷多个奇异点，它们在一条直线上。（1）如果奇异点所在直线不是无穷远直线，以此直线为，因为奇异点在曲线上，所以有于是曲线方程化成=0 表示两条重合直线。 （2）如果奇异点所在直线为无穷远直线，以此直线为，则方程化为表示两条重合的无穷远直线。以上讨论可列表如下例 求仿射坐标变换，化为标准形式。解 所给二次曲线之齐次坐标方程为：因为所以曲线是椭圆。 由于，所以中心为过任意作一条直径上的无穷远点为，求的极线，则为互相共轭的直径。的方程为即 化简，得的方程为 取上无穷远点为，则为（4，-1，0）在原仿射坐标系下，的方程顺次为：以为新

14、坐标三角形，则， 分别变成 因此坐标变换公式为：取原坐标系的点为新坐标系的单位点，即带入上式，得所以 从而有 解出，得带入已知二次曲线方程，经整理得再作坐标变换 得到方程 这是一个实椭圆。4 二阶曲线的度量性质二次曲线在正交变换下的不变量和不变性质称为度量性质。因为正交变换是仿射变换的特例，它除了保持仿射性质以外，还具有其他度量性质。 正交变换保持无穷远直线上的两个共轭虚点不变。下面我们采用笛卡儿直角坐标系，在仿射平面上进行讨论。4.1 圆点和迷向直线定义4.1 共轭虚点称为圆环点，简称圆点。在笛氏坐标系下，圆的方程可以整理成：，（4.1）其中a110。定理4.1 一条非退化二次曲线表示圆的充

15、要条件是它经过两个圆环点。证明 必要性：若s0表示的是圆，则其方程为（4.1），将两圆点i，j的坐标代入，得所以圆通过两个圆点i和j。充分性：如果二次曲线通过两个圆点i，j，则有化简成从而解得所以二次曲线方程为这是一个圆的方程。定义4.2 经过圆点的直线（无穷远直线除外）叫做迷向直线。显然，通过平面上任一点p有两条迷向直线pi和pj。通过i的迷向直线方程可写成，（b为复数）通过j的迷向直线方程可写成,（b为复数）因为平面上的每个圆都经过圆点，所以圆与无穷远直线的交点为两个圆点，因此圆的渐近线为两条分别通过i，j的迷向直线，这两条迷向直线与圆切于i，j，两切线的交点为圆心c。定理4.2 仿射变换

16、成为相似变换的充要条件是该变换保持两个圆点不变。证明 相似变换为：写成齐次方程为： 必要性：圆点i（1，i，0）经过相似变换后变成（）即 （）当=1时，点i仍变成i。当=1时，点i变成点j。同理，相似变换把点j变成点j（=1）或i（=1）。充分性：设仿射变换为：如果它把i变成i，j变成j，则有从而解得 此时仿射变换为这是一个同向相似变换（=1）。同理，若把i变成j，把j变成i，则有从而得到异向相似变换（=1）。当时，即相似比等于1时，即为正交变换，因此有推论 正交变换使圆点保持不变。迷向直线是通过圆点的直线，因此经过正交变换仍变为迷向直线。由于圆点的这个性质，我们讨论二次曲线的度量性质时，常常

17、以圆点和迷向直线为基础。定理4.3 虚直线是迷向直线的充要条件是它上面任意两个有穷点间的距离为零。证明 设是一条虚直线，是该直线上两个不同的有穷点，于是有所以因此，若虚直线为迷向直线，则k=，从而|p1p2|=0；反之，若|p1p2|=0，则有k=，从而虚直线为迷向直线。由于迷向直线上任何两点间的距离是零，故又称迷向直线为极小直线。定理4.4 一条直线与另一条直线的交角是不存在的（或是不确定的）。证明 （1）设有两条同类迷向直线，它们的斜率同时为 ，此时二直线的斜率之积为1，于是由交角公式得知所以角是不确定的。（2）设有一条迷向直线斜率为，另一条直线为，代入交角公式得又由公式 当时，得即 所以

18、不存在。特别指出：由于两条迷向直线的斜率的乘积为1，所以两条迷向直线是垂直的。但是，所以它们是平行的，因此它是迷向的。42 拉盖尔（laguerre）定理定理4.5 （laguerre定理）设两条非迷向直线的交角为，又设两条直线与过它们交点的两条迷向直线所成的交比为，则有=证明 设两条迷向直线的斜率为，过交点p的迷向直线的斜率为，则有因为所以又知从而得 即推论 两条非迷向直线垂直的充要条件是这两条直线与过它们交点的两条迷向直线调和共轭。换言之，两条直线垂直的充要条件是这两条直线上的无穷远点有两个圆点调和共轭。证明必要性：若直线互相垂直，则=，由定理2.5得即 所以 充分性：若，则所以 即 =拉

19、盖尔（laguerre）定理的推论非常重要，它将角与垂直这两个欧氏度量概念与交比和调和共轭这两个射影概念联系起来，从而利用射影几何观点解决欧氏几何的问题开辟了道路。注意：上述推论为我们用射影几何观点解决欧氏几何问题提供了联系纽带，因为它把角和垂直这两个欧氏度量概念同交比和调和共轭这两个射影概念联系起来。定理4.6 平面上不共线的三点可以确定一个圆。定理4.7 同一圆弧的圆周角相等。 例1 证明圆的任何一对共轭直径都互相垂直。证明 如上图 已知是圆的一对共轭直径，与交于p，q，i，j为圆点，根据渐近线的性质，知根据拉盖尔定理的推论可知：例2 证明：在一平面上垂直于同一直线的二直线互相平行。证明

20、设一平面上直线，直线上的无穷远点顺次为因为，所以因为，所以所以 因此重合为一点，即二直线有公共的无穷远点，即4.3 二次曲线的主轴、焦点和准线定义4.3 二阶曲线的一条直径如果平分一组和它垂直的弦，则此直径叫做主轴，主轴与曲线的有穷交点叫做顶点。由定义可知，对于有心二阶曲线，主轴是互相垂直的共轭直径，二阶曲线关于主轴是对称的。易知，圆的任何一条直径都是主轴，圆上每个点都是顶点。下面分别讨论三种类型二次曲线的主轴。定理4.8 抛物线有唯一主轴，唯一顶点。vijm1m2m证明 设无穷远直线与抛物线相切于点，设关于i，j两点的第四调和点为，从作抛物线的切线交曲线与o，则的极线为o，因为（ij，）=1

21、所以由定理2.5的推论，有oo因为o是一条直径，所以过任作一条弦m1m2交o于m，有（m1m2，m）=1即m是弦m1m2的中点， o平分弦m1m，又m1mo，所以m1m o根据定义，o是抛物线的主轴，o是顶点。 由点的唯一性，因而与其极线o均唯一确定，所以抛物线有唯一主轴和唯一顶点。定理4.9 除圆以外的有心二阶曲线只有一对主轴，它们是两条渐近线交角的平分线。证明 设无穷远直线交有心二阶曲线于，过，作切线p，q，二者交于中心c。p，q为曲线的渐近线。cpqlpaqb作c及其外角平分线a，b，设a，b交无穷远直线于a，b，则有ab因而（pq，ab）=1所以（ ，ab）=1因此，a，b是调和共轭点

22、，a，b是共轭直径，又，所以是主轴。若另有一对主轴，设过中心的两条迷向直线为ci，cj，因为，所以有（，cicj）=1又有（ab，cicj）=1由上两式可得一对合对应：ab，ci，cj为不变直线，所以ci，cj为渐近线，因此二阶曲线经过点i，j，所以是圆。故除圆以外的有心二阶曲线不存在第二对主轴，因为只有一对主轴，故顶点有四个（包括虚顶点）。下面求出主轴的方程已知二次曲线（1） 有心二阶曲线，此时设一直径为其共轭直径为其中 若两直径垂直，则有cpqij如图，c为中心因为，所以化简，得 kk=1 将代入，得即 （4.9）解(4.9)得k1，k2，即得主轴方程为： (4.10)（2） 抛物线,这时

23、.设抛物线与无穷远直线之切点为,的坐标为.如果一直径垂直它所平分的那组平行弦,则此直径是关于i,j的调和共轭点的极线,即 (4.11)这就是抛物线的主轴方程.例1 试求二次曲线的主轴方程.解 因为所以方程表示有心二次曲线。解方程 即 解之，得 故所求主轴方程为和 化简后得所求主轴方程为 例2 试求抛物线的主轴和顶点.解 因为，代入公式得主轴为即 解方程组 得顶点之坐标为（3/8，1/8）无论是有心还是无心的二次曲线,都可以利用主轴建立适当的直角坐标系,以求得其标准方程,结果与解析几何中的相同.例如对于抛物线,我们可以把一个坐标轴移到主轴,把坐标原点移到顶点,从而将抛物线的方程化成标准型.下面我

24、们讨论焦点和准线.定义4.4 自二圆点引二次曲线的切线，它们的有穷交点称为二次曲线的焦点，焦点关于二次曲线的极线称为二次曲线的准线。这里的焦点和准线就是解析几何里的焦点和准线。（1） 圆圆经过圆点，而过圆点的两条切线交于圆心,所以圆的焦点即圆心.但圆心的极线是无穷远直线，所以圆的准线是无穷远直线，因此在欧氏平面上圆的准线不存在。（2）抛物线由于抛物线与无穷远直线相切，所以抛物线只有两条有穷的迷向直线与曲线相切，它们的交点即为抛物线的焦点，焦点的极线即为准线。准线只有一条。fbaij定理4.10 抛物线有一个焦点，一条准线，焦点在主轴上，迷向切线的切点在准线上，准线垂直于主轴。证明 我们已经证明

25、了抛物线有一个焦点和一条准线，现在只证明焦点在主轴上，准线垂直于主轴。ijpqafdcb由布利安桑定理的特殊情形知三线共点c.设准线ab交于，由完全四点形的调和性知所以，且，因此是的极线，且垂直平分过的一组平行弦。 根据定义，是主轴，即焦点f在主轴上，准线ab垂直于主轴。(3) 椭圆和双曲线 定理4.11 对圆以外的实有心二次曲线，过圆点可以作四条切线，四个焦点分别在两主轴上，有四条准线，准线分别垂直于两主轴。证明 如上图，分别是椭圆和双曲线情形。过i，j作二次曲线的切线，两两相交，除i，j外还有四个交点，这是二次曲线的四个焦点。因为是二次曲线的外切四线形，所以其对顶三线形是自极三线形，即c是

26、的极点，因此c是中心，是一对共轭直径，又所以 因此是主轴，即四焦点分别在二主轴上。因为经过的极点f，所以经过的极点，同理也经过。所以的极线（即准线）平行于主轴，同理的极线也平行于另一主轴，因此有四条准线分别垂直与二主轴。注意 椭圆和双曲线的四个焦点中有二实点二虚点。这是应为自圆点所作曲线的四条迷向切线皆为虚直线，而每一条虚直线上只能有一个实点，所以图中f，g不能同时为实点，也不能同时为实点，如此等等。同时在四条迷向切线中，恰有两对共轭复直线，而共轭复直线必交于实点，故四焦点为二实点和二虚点。在实平面上研究二次曲线时只研究它的两个实焦点。例3 求抛物线的焦点和准线。解 将已知方程化成齐次式 设自

27、和所作二迷向切线之方程为 将代入，得 有重根的条件为 解之，得 所以，迷向切线方程为和 解出它们的交点，得到焦点为f（1，0，2）再求f（1，0，2）关于二次曲线的极线，得到准线为 例4 求证二次曲线的任一条切线与两条定切线的交点在焦点处张成定角。证明如上图，设二次曲线的任一切线为，两条定切线为，f为一焦点，与之交点为，现在证明为常数。因为f是焦点，所以fi，fj是二次曲线的切线，顺次用表示，设顺次与无穷远直线交于，由于是二次曲线的五条切线，所以其中四条在第五条切线上所截出的四点的交比为常数，即 （常数）又 所以即是定角，亦即是定角。5 二次曲线的度量分类本节讨论二次曲线在正交变换下的分类问题

28、。二次曲线在正交变换下的分类称为度量分类。在解析几何中，我们曾利用坐标变换给二次曲线作过分类，因为这都是在欧氏平面上进行的，所以要解决度量分类问题，我们先从坐标变换与正交变换之间的关系入手。在解析几何中的坐标变换是只改变坐标系的位置而图形的形状和大小皆不变。事实上，这二者的结果完全一致的。二次曲线对坐标系的方程与对的方程是一致的。yyxxoo（a） (b) 图6-30从变换公式来看，在解析几何中，将坐标原点移至，再将坐标轴旋转角的坐标变换公式为： 其中是一点对旧坐标系的坐标，（）是同一点对新坐标系的坐标。而坐标轴不动，将图形沿方向作平移的点变换公式为 其中和是做点变换后对应点对同一坐标系的坐标。再将平移后的徒刑围绕坐标原点作旋转变换，旋转角为，变换公式为： 其中和（）是做旋转变换后的对应点对同一坐标系的坐标。作这两个变换的乘积，得即 我们可以看出即由解出的结果，实际上与是同一公式，因此在图6-30中，图（）之关于坐标系与图（）之关于坐标系的方程是完全一样的。根据以上讨论，