132函数的极值与导数--冶有得

1、3.3.2函数的极函数的极 值与导数值与导数 高二数学高二数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 一、复习导入一、复习导入-复习旧课复习旧课 导数和函数单调性的关系： 函数在 的定义域内的某个开区 间 内可导， 如果 ，那么 在这个区间 上是增函数； 如果 ，那么 在这个区间 上是减函数. x ),(ba 0)( x f)(xfy 0)( x f)(xfy 一、复习导入一、复习导入-复习旧课复习旧课 1. 解解2463)( 2 xxxf ，令令0)( x f )2)(4(3 xx 32 ( )32420f xxxx求出函数的单调区间 12 4,2xx得临界点 区间区间(-

2、，-4)-4(-4，2)2(2，+) f (x)00 f(x) f(x)在在(-，-4)、 (2，)内单调递增，内单调递增， 你记住 了吗？ 有没搞错，有没搞错， 怎么这里没有填上？怎么这里没有填上？ 求定义域求定义域-求导数求导数-求临界点求临界点-列表列表-写出单调性写出单调性 + + - f (x)0 (x+4)(x-2)0 x2 f(x)在在(-4，2)内单调递减。内单调递减。 f (x)0 (x+4)(x-2)0 -4x0 单调递减单调递减 h (t)0 h (a)0 2.跳水运动员在最高处附近的情况：跳水运动员在最高处附近的情况： (1)当当t=a时运动员距水面高度最大，时运动员距

3、水面高度最大， h(t)在此点的导数是多少呢？在此点的导数是多少呢？ (2)当当ta时时h(t)的单调性是怎样的呢？的单调性是怎样的呢？ 将最高点附近放大将最高点附近放大 t=a ta at h o 最高点最高点 导数的符号有什么变化规律？导数的符号有什么变化规律？ 在t=a附近，f(x)先增后减，先增后减，h (x)先正后负，先正后负， h (x)连续变化，于是有连续变化，于是有h (a)=0f(a)最大。最大。 对于一般函数是否也有同样的性质吗？对于一般函数是否也有同样的性质吗？ h(t)=-4.9t2+6.5t+10 一、复习导入一、复习导入-导入新课导入新课 3. 如图，如图，y=f(

4、x)在在a、b点的函数值点的函数值 与这些点附近的函数值有什么关系？与这些点附近的函数值有什么关系？ 导数值呢？导数符号呢？导数值呢？导数符号呢？ 探究探究 x y o a b y=f(x) x y o a b y ( )fx ( )fx ( )f x0 0 0 极小值点极小值点 极大值点极大值点 f (a)=0 f (b)=0 二、讲授新课二、讲授新课-了解概念了解概念 x y o a b y=f(x) xb f (x)+0- f(x) 单调单调 递增递增 极大值极大值 单调单调 递减递减 什么是什么是极小值点、极小值极小值点、极小值、 极大值点、极大值极大值点、极大值、极值点、极值？、极值

5、点、极值？ f(a) f(b) 小结小结 xa f (x)-0+ f(x) 单调单调 递减递减 极小值极小值 单调单调 递增递增 极大值点和极小值点极大值点和极小值点 统称为极值点统称为极值点 极大值和极小值极大值和极小值 统称为极值统称为极值 y abx1x2x3x4 )( 1 xf )( 4 xf Ox )( 2 xf )( 3 xf 观察上述图象观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值试指出该函数的极值点与极值, 并说出哪些是极大值点并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点哪些是极小值点. c 1理解极值概念时需注意的几点理解极值概念时需注意的几点 (1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅

6、对某一点的左右两侧附近的点而言的 (2)极值点是函数定义域内的点，而函数定 义域的端点绝不是函数的极值点 (3)若f(x)在a，b内有极值，那么f(x)在a， b内绝不是单调函数，即在定义域区间上 的单调函数没有极值 总结总结 (4)极大值与极小值没有必然的大小关系. 练习练习1 下图是导函数下图是导函数 的图象的图象, 试找出函数试找出函数 的极值点的极值点, 并指出哪些是极大值点并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点哪些是极小值点. )(xfy)(xfy a b x y x1O x2x3 x4x5 x6 ( )yfx v若寻找若寻找可导函数可导函数极值点极值点,可否只由可否只由 f (x)

7、=0 0求得即可求得即可? ? 思考思考 探索探索: x =0是否为函数是否为函数f(x)=x3 的极值点的极值点? x y O f ( (x) ) x3 3 f (x)=3x 2 当f (x)=0时，x =0，而x =0 不是该函数的极值点. f (x0) =0 =0 x0 是可导函数是可导函数f(x)的极值点的极值点 x0左右侧导数异号左右侧导数异号 x0 是函数是函数f(x)的极值点的极值点 f (x0) =0=0 注意：注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件 极值点处导数值有何特点？极值点处导数值有何特点？ 因为因为 所以所以 例例1 求函

8、数求函数 的极值的极值. 3 1 ( )44 3 f xxx 解解: , 44 3 1 )( 3 xxxf. 4)( 2 xxf 令令 解得解得 或或, 0)( x f, 2x. 2x 当当 , 即即 , 或或 ; 当当 , 即即 . 0)( x f 0)( x f 2x2x 22x 当当 x 变化时变化时, f (x) 的变化情况如下表的变化情况如下表: x(, 2)2(2, 2)2( 2, +) 00 f (x) ( )fx+ 单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增3/283/4 所以所以, 当当 x = 2 时时, f (x)有极大值有极大值 28 / 3 ; 当当 x = 2

9、 时时, f (x)有极小值有极小值 4 / 3 . 求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤： （1）确定函数的定义域）确定函数的定义域 （2）求方程）求方程f(x)=0的根的根 （3）用方程）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成的根，顺次将函数的定义域分成 若干个开区间，并列成表格若干个开区间，并列成表格 （4）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断的根左右的符号，来判断 f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况 若若f (x )左正右负，则 左正右负，则f(x )为极大值； 为极大值； 若若 f (x )左

10、负右正，则 左负右正，则f(x )为极小值 为极小值+ - x0 - + x0 求定义域求定义域-求导求导求极点求极点列列 表表求极值求极值 练习练习: 求函数求函数 的极值的极值. 3 3)(xxxf 函数的性质函数的性质 单调性单调性 单调性的判别法单调性的判别法 单调区间的求法单调区间的求法 函数极值函数极值 函数极值的定义函数极值的定义 函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点. 函数极值的求法函数极值的求法 o x y 0 x o x y 0 x 必要条件必要条件 x y ox y o 0 x 0 x 求极