质点运动的坐标系PPT学习教案

1、会计学1 质点运动的坐标系质点运动的坐标系 任何一个方向的速度和加速度都只与该方向的位置矢量的分量有关任何一个方向的速度和加速度都只与该方向的位置矢量的分量有关, , 而与其它方向的分量无关而与其它方向的分量无关。 加速度的表达式加速度的表达式 222 xyz aaaaa 加速度大小加速度大小 222 222 xxx xyz dvdvdv aijk dtdtdt d xd yd z ijka ia ja k dtdtdt 222 222 , xxx xyz dvdvdvd xd yd z aaa dtdtdtdtdtdt 2 第1页/共28页 3 质点任意运动都可以看作是三个坐标轴方向质点任意

2、运动都可以看作是三个坐标轴方向 上各自独立进行的直线运动所合成的。上各自独立进行的直线运动所合成的。 质点的任意运动都可以分解为在三个坐标轴质点的任意运动都可以分解为在三个坐标轴 方向上各自独立进行的直线运动。方向上各自独立进行的直线运动。 运动叠加原理在直角坐标系中的表现。运动叠加原理在直角坐标系中的表现。 第2页/共28页 00 () xxx vva tt 0 xxx vva t 2 00 1 2 xx xxv ta t 22 00 2() xxx vvaxx 0 0 2 xx vv xxt 如果质点在某个方向如果质点在某个方向(如如x方向方向)上的加速度不上的加速度不 随时间变化随时间变

3、化, 该方向上分运动为该方向上分运动为匀变速直线运动匀变速直线运动 , 在在x方向的速度变化可根据速度公式求得方向的速度变化可根据速度公式求得: 4 第3页/共28页 运动学的二类问题运动学的二类问题 1. 第一类问题第一类问题a , v已知运动学方程，求已知运动学方程，求 (1) t =1s 到到 t =2s 质点的位移质点的位移 (3) 轨迹方程轨迹方程 (2) t =2s 时时a ，v jir 2 1 jir 24 2 jijirrr 321)2(2)(4 12 jti t r 22 d d v ji 4 2 2 v 2 22tytx 4/2 2 xy 已知一质点运动方已知一质点运动方

4、程程 jti tr )2( 2 2 求求 例例 解解 (1) (2) (3) 当当 t =2s 时时 ja 2 2 j tt r a 2 d d d d 2 2 v 由由运动方程得运动方程得 轨迹方程为轨迹方程为 5 第4页/共28页 解解ja t 16 d d v t 0 0 v v jt- 16 0 vv kjtitr 88 6 2 已已 知知 ja 16kri 8,6 00 v v 求求和运动方程和运动方程 代入初始条件代入初始条件 kr 8 0 代入初始条件代入初始条件 2. 第二类问题第二类问题 jt d16 dv jti 166 v v t r d d tjtir)d 166( d

5、 已知加速度和初始条件，求已知加速度和初始条件，求 r, v 例例 , t =0 时，时， tr r 0 0 由已知有由已知有 6 第5页/共28页 例例1：通过绞车拉动湖中小船拉向岸边：通过绞车拉动湖中小船拉向岸边, 如图。如图。 如果绞车以恒定的速率如果绞车以恒定的速率u拉动纤绳拉动纤绳, 绞车定滑轮离绞车定滑轮离 水面的高度为水面的高度为h, 求小船向岸边移动的速度求小船向岸边移动的速度v和加速和加速 度度a。 解：以绞车定滑轮处为坐标原点解：以绞车定滑轮处为坐标原点, x 轴水平向轴水平向 右右, y 轴竖直向下轴竖直向下, 如图所示。如图所示。 x l h y o x h u x 0

6、 l )(tl )(tx O 7 第6页/共28页 设小船到坐标原点的距离为设小船到坐标原点的距离为l, 任意时刻小船到任意时刻小船到 岸边的距离岸边的距离x总满足总满足 x 2 = l 2 h 2 22 lxh vuu xx 负号表示小船速负号表示小船速 度沿度沿x 轴反方向轴反方向 。 两边对时间两边对时间t 求导数求导数, 得得 22 dxdl xl dtdt dl u dt 0 dl dt dx v dt 小船向岸边小船向岸边 移动的加速移动的加速 度为度为 222 23 d xdvu h a dtdtx 8 第7页/共28页 例例2：抛体运动。假设物体以初速度：抛体运动。假设物体以初

7、速度v0沿与水平沿与水平 方向成角方向成角 方向被抛出方向被抛出, 求物体运动的轨道方程求物体运动的轨道方程 、射程、飞行时间和物体所能到达的最大高度。、射程、飞行时间和物体所能到达的最大高度。 0 抛体运动可以看作为抛体运动可以看作为x方向方向 的匀速直线运动和的匀速直线运动和y方向的匀方向的匀 变速直线运动相叠加。变速直线运动相叠加。 0 x y 0 v O 解：首先必须解：首先必须建立坐标系建立坐标系, 取抛射点为坐标原点取抛射点为坐标原点O, x 轴水平向右轴水平向右, y 轴竖直向上轴竖直向上, 如图。如图。 运动叠加原理是求解复杂运动的有力工具。运动叠加原理是求解复杂运动的有力工具

8、。 9 第8页/共28页 x1 = 0是抛射点的位置是抛射点的位置 , 另一个是射另一个是射 程程 0000 0,cos,(cos) xx avvxvt 2 0000 1 ,sin,(sin) 2 yy agvvgtyvtgt 2 0 2 00 (tan) 2(cos) g yxx v 抛体运动轨道方程抛体运动轨道方程 令令y = 0，得，得 2 0 2 00 (tan)0 2(cos) g xx v 2 0 20 sin 2 v x g 10 第9页/共28页 物体的飞行时间物体的飞行时间 02 0 00 2 sin cos vx T vg 当物体到达最大高度时当物体到达最大高度时, 必有必

9、有 0 y v 0 10 sin v t g 物体达最大高度的时间物体达最大高度的时间 最大高度最大高度 2 2 0 0 sin 2 v H g 实际运动轨道是弹道曲线，射程和最大高实际运动轨道是弹道曲线，射程和最大高 度都比上述值要小。度都比上述值要小。 抛射角抛射角 0 = /4时时,最大射程最大射程 2 0 max v x g 11 第10页/共28页 12 例例：某人身高：某人身高h，站在离地面，站在离地面H的塔吊灯下，当的塔吊灯下，当 塔以速度塔以速度v0水平方向开走，灯从人头顶掠过，人水平方向开走，灯从人头顶掠过，人 头顶在地上的影子运动速度多大？头顶在地上的影子运动速度多大？ 第

10、11页/共28页 三、自然坐标系三、自然坐标系 (natural coordinates) (A) 沿着质点的运动轨道所建立的坐标系。沿着质点的运动轨道所建立的坐标系。 因为质点运动的速度总是沿着轨道的切向因为质点运动的速度总是沿着轨道的切向, 所以在自然坐标系中所以在自然坐标系中, 速度矢量可表示为速度矢量可表示为 ( )( )( )v tv t e t 取轨道上一固定点为原点取轨道上一固定点为原点, 规定两个随质点位规定两个随质点位 置变化而改变方向的单位矢量置变化而改变方向的单位矢量, 一个是指向质点一个是指向质点 运动方向的运动方向的切向单位矢量切向单位矢量, 用用 表示表示, 另一个

11、是垂另一个是垂 直于切向并指向轨道凹侧的直于切向并指向轨道凹侧的法向单位矢量法向单位矢量, 用用 表示。表示。 e n e 13 第12页/共28页 第二项是由速度方向变化所引起的加速度分量，第二项是由速度方向变化所引起的加速度分量， 为为法向加速度法向加速度(normal acceleration) 第一项表示由于速度大小变化所引起的加速第一项表示由于速度大小变化所引起的加速 度分量度分量, 大小等于速率变化率大小等于速率变化率, 方向沿轨道切向方向沿轨道切向, 称称切向加速度切向加速度(tangential acceleration) 加速度矢量为加速度矢量为 dddd () dddd e

12、vv aveev tttt d d v ae t d d n e av t 14 第13页/共28页 A L B ( )et ()ett 当当 t0时时, 点点B 趋近于点趋近于点 A , 等 腰等 腰 O A B 顶 角顶 角 0。 O B A ( )et ()ett e 00 d limlim d tt e ttt 极限方向必定垂直于极限方向必定垂直于 , 指向轨道凹侧指向轨道凹侧, 与法与法 向单位矢量向单位矢量 一致，并且一致，并且 e ( )et n e 15 第14页/共28页 16 讨论讨论 整条曲线就可看成是由许多不同曲率半径的圆弧所构成整条曲线就可看成是由许多不同曲率半径的圆

13、弧所构成 A B 一般情况下一般情况下, 质点的加速度矢量应表示为质点的加速度矢量应表示为 2 n dd dd nnn vv av tt eee 2 tn d d nn vv aa ea eee t d d v ae t 其中其中 为曲率半径，为曲率半径， 的方向指向曲率圆中心的方向指向曲率圆中心 n e 第15页/共28页 n a a a v P n n a a aaa tan, 22 圆周运动圆周运动 t d d v a t 2 n v a 2 tn d d nn vv aa ea eee t 17 第16页/共28页 解：质点的切向加速度和法向加速度分别解：质点的切向加速度和法向加速度分

14、别 为为 这就是所要求的速率与时间的关系。这就是所要求的速率与时间的关系。 例例4: 质点以初速质点以初速 沿半径为沿半径为R 的圆周运动的圆周运动, 其加速度方向与速度方向夹角其加速度方向与速度方向夹角 为恒量为恒量, 求质点求质点 速率与时间的关系。速率与时间的关系。 0 v 2 tn d , d vv aa tR 分离变量分离变量 2 dd tan vt vR 2 n t d tan d avt aRv 0 11 tan t vvR 得得 0 0 2 dd tan vt v vt Rv 积分积分 18 第17页/共28页 一汽车在半径一汽车在半径R=200 m 的圆弧形公路上行驶，其运动

15、学的圆弧形公路上行驶，其运动学 方程为方程为s =20t 0.2 t 2 (SI) . . t t s 4 . 020 d d v 根据速度和加速度在自然坐标系中的表示形式，有根据速度和加速度在自然坐标系中的表示形式，有 4 . 0 d d t a v R t R an 22 )4 . 020( v 2 2 2 22 )4 . 020( 4 . 0 R t aaa n m/s 6 .19(1) v 2 2 2 2 m/s 44. 1 200 ) 14 . 020( 4 . 0(1) a 例例 汽车在汽车在 t = 1 s 时的速度和加速度大小。时的速度和加速度大小。求求 解解 19 第18页/

16、共28页 求抛体运动过程中的曲率半径？求抛体运动过程中的曲率半径？ 如如B 点点 gja,a Bn cos 0 0 vv , , m m n B B y x g a 8 )cos( 2 2 0 2 vv B O C x y v 思考思考 20 第19页/共28页 已知质点运动方程为已知质点运动方程为 (SI) jtitr 2 2 求求 ss31 21 tt 之间的路程之间的路程 。 jtijti t tt r 22)2( d d d d 2 v m 98. 9 21 103 ln2103 12 sss 2 1 2 1 d12dd12dd 22 t t s s ttstttsv 222 22 1

17、242tt yx vvv cttt t tt 222 1ln 2 1 1 2 d1 例例 解解 质点运动质点运动速度速度为为 速率速率为为 路程路程有有 21 第20页/共28页 已知质点的运动方程为已知质点的运动方程为 BtztAytAx , sin , cos 在自然坐标系中任意时刻的速度在自然坐标系中任意时刻的速度 解解 tBAtBAss ts 222 0 222 0 dd ts zyx dd 222 vvv BA t s d d 222 vv 例例 求求 tBtAtAd sincos 22 2 2 2 22 第21页/共28页 将一根光滑的钢丝弯成一个竖直平面内的曲线，质点可沿钢丝向下

18、滑动。已知质点运动的切向加速度为将一根光滑的钢丝弯成一个竖直平面内的曲线，质点可沿钢丝向下滑动。已知质点运动的切向加速度为 g 为重力加速度为重力加速度， 为切向与水平方向的夹角为切向与水平方向的夹角. . gasin 由题意可知由题意可知 st s s g t a d d d d d d sin d dv v vv sgd sindvv 从图中分析看出从图中分析看出 ysdd sin y y yg 00 dd v v vv)(2 0 2 0 2 yygvv s y d d sin yd sdP y x O 例例 质点在钢丝上各处的运动速度质点在钢丝上各处的运动速度. . 求求 解解 23 第

19、22页/共28页 24 圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述 角量与线量的关系角量与线量的关系(A) )(t 0 d lim d t tt P Q O x 一一. 角位置与角位移角位置与角位移 质点作圆周运动的角速度为质点作圆周运动的角速度为 描述质点转动快慢和方向的物理量描述质点转动快慢和方向的物理量 角位置（运动学方程角位置（运动学方程) t当当 为质点圆周运动的角位移为质点圆周运动的角位移 二二. 角速度角速度 y 第23页/共28页 25 :ttt 2 2 dddd ddddtttt 三三. 角加速度角加速度 角加速度角加速度 角速度对时间的一阶导数角速度对时间的一阶导数 四四. 角量

20、与线量的关系角量与线量的关系 P Q O x y s 00 d limlim d tt sR vRR ttt 第24页/共28页 26 例例：半径为：半径为1 m的轮子以匀角加速度从静止开始的轮子以匀角加速度从静止开始 转动，转动，20 s末角速度达到末角速度达到100 rads-1. 求（求（1）角）角 加速度及加速度及20 s内转过的角度，（内转过的角度，（2）第）第20 s末轮边末轮边 缘上一点的切向和法向加速度。缘上一点的切向和法向加速度。 第25页/共28页 (2) 设设t t 时刻，质点的加速度与半径成时刻，质点的加速度与半径成45o角，则角，则 (2) 当当 =? 时，质点的加速度与半