质点的运动48015PPT学习教案

1、会计学1 质点的运动质点的运动48015 第一专题 质点运动学 知识与方法研究 三、平面上两运动曲线的交点的运动 一、运动分解的任意性 二、曲率半径的物理求法 四、质点弹性斜碰的运动轨迹类比于光的反射 第1页/共39页 一、运动分解的任意性 12 rrr 12 vvv 12 aaa 不限于正交分解，更不限于沿水平、竖直方向的正交分解. 可以根据解题需要沿选 定方向分解. 知识与方法研究 运动的分解与合成是不同于参照系变化时（KK）对运动描述的伽利略或洛仑兹 变换, 是在一个参照系中进行的. 将质点所作的运动视为同时参与两个独立存在的运动后的结果，便称之为一个运动分解为两个运动. 第2页/共39

2、页 例1 足球运动员在球门正前方距离球门S远处的O点踢出一球，球从球门高为h的横梁下边沿射入球门. 问球以怎样的角度 射出，才能使射出的初速度v0最小？ O C B s h 解一 建立如图的坐标系， 则球到达球门时 0 (cos )svt 2 0 1 (sin ) 2 hvtgt 消去t 得： 2 22 0 tan 2cos gs hs v 进而得： 2 2 0 2 2(tan)cos gs v sh 2 sin2cos2 gs shh 2 22 . sin(2 gs hsh ） (arctan) h s 其中： 0 2 2 v 当时， 有最小值. 所以 . 42 将v0做水平、竖直的正交分解

3、. v0 x y 第3页/共39页 O C B s h x y v0 解二 如图，建立坐标系. 则有 将v0、g均沿x、y方向进行分解. 2 0 1 (cos )( sin ) 2 xvtgt 2 0 1 (sin)( cos ) 2 yvtgt 足球到达B时， 0,y 所以有 222 0 1 (cos )( sin ) 2 shvtgt 2 0 1 0(sin)( cos ) 2 vtgt 消去t 得： 2 22 0 2 2sin (coscossinsin ) cos v sh g 2 0 2 sin(2)sin cos v g 所以 222 2 0 cos sin(2)sin shg v

4、 0 2 2 v 当时， 有最小值. 此时 1 (), 2 242 g 22 xsh 42 1 . 42 第4页/共39页 O C B s h v0 解三 x y 建立如图的坐标. 据图中的几何关系， 对三角形BOD由正弦定理有： sinsinsin() BDODOB 即 2 22 0 1 2 sinsinsin() gt v tsh 由左边的等式得： 0 2sin sin v t g 将此代入右边的等式： 222 0 2 2sin sinsin() vsh g 所以222 2 0 sin 2sin() sin g sh v 222 sin coscos(2) g sh 0 2v当时， 有最小

5、值. 此时 x方向为匀速直线运动，y方向为自由落体运动. 1 () 2 1 () 22 42 现在足球在x轴方向、y轴方向的分运动各是什么运动？ D 第5页/共39页 O C B s h v0 D x y 题后总结与思考 本题充分说明运动分解的任意性. 如果愿意，还有一种如图的合理分解方式！ g 第6页/共39页 例2 弹性小球从高h处自由落下，落到与水平面成角的足够长的斜面上，碰撞 后以同样大小的速度弹回. （1）求每个弹回点（第一点和第二点，第二点和第三点，第n点和第（n+1） 点）间的距离x1-2、x2-3、x3-4、x n-(n+1). （2）求当斜面以u匀速向上运动并在（1）中的相碰

6、点与小球相碰时的x1-2的数值. 解 h 小球第一次与斜面相碰（前、后）的速度大小为 10 2.vgh x y o 则小球在两个碰点之间的在x、y方向的分 运动均是匀变速直线运动. 10 v g x g y g 于是 1010s 2,insin x vvgh 1010cos 2cos . y vvgh 以斜面为参照系. 建立如图所示的坐标系. 10 x v 10y v 第7页/共39页 第一次碰后（第二次碰前）的运动方程为： 11010 sin( sin ) xxx vvg tvgt 11010 cos( cos ) yyy vvg tvgt 22 11010 11 (sin )( sin )

7、 22 xx xvtg tvtgt 22 11010 11 (cos )( cos ) 22 yy yvtg tvtgt h x y o 10 v g x g y g 10 x v 10y v 令 y 1=0，可得第一与第二次碰撞的时间间隔为 10 1 2 2v t g 代入x1的计算式后可得 2 10 1 2 4 sin v x g 2 2gh g 2 2 h g 8sinh 第8页/共39页 h x y 10 v g x g y g 10 x v 10y v 每相邻两次相碰的时间间隔均相等， 于是 2 2 320 1 2 xx xvtg t 8 sin8 sinhh o 据匀变速直线的特点

8、可知在每次碰前碰后瞬间在y方向的速度大小均相等， 为 2 212 3 2sin2sin(2 2 hh ghg gg ）12 sin4 sinhh 1 2+8 sin xh 据匀变速直线运动的特点可知在相邻的相等时间内位移的增量相等， 8sin .nh (1) 8 sin1)8 sin nn xhnh （ 碰撞与第(n+1)次碰撞之间的间距为 所以第n次 10 2cos . y vgh 1 2 2 2. h tt g 为 1 2 8sinxh 第二次碰撞（前后）x方向分速度为 20101 2 =sin +( sin ) x vvgt 3 2singh 第9页/共39页 h x y o 10 v

9、g x g y g 10 x v 10y v 题后思考 能否建立水平方向的 x 坐标与竖直方向的y 坐标解本题？ 能否建立斜面方向的x坐标与竖直方向的y坐标求解？ （2）求当斜面以u匀速向上运动时在原相碰点相碰时的x1-2的数值. 此时，仍以斜面为参照系. 则小 球第一次与斜面相碰时速度大小便由 （1）中的v10变成了(v10+u). 所以将（1）中相关式子中的v10代换为（v10+u）， 便能得到对应的结果. 于是 2 10 1 2 4 sin v x g 2 10 4() sin vu g 2 4( 2) sin . ghu g u 2 10 1 2 4 sin v x g 第10页/共3

10、9页 让质点做某种轨迹为给定的曲线的运动 确定质点在运动轨迹上某处的v和a心 由向心加速度公式求 在选择质点的运动时，尽量考虑如何方便 得到曲线某处的v和a心 二、曲率半径的物理求法 1、从曲率圆的角度看质点作平面光滑曲线运动的速度和加速度 aaa 切心 2 2 v a 心 | dv a dt 切 表示速度大小的变化快慢程度 表示速度方向的变化快慢程度 y o p1 p 1 v a切 a心 a x 2、由运动学求曲率半径的思路： 第11页/共39页 这样的运动在椭圆的顶点 处的v和a心是易求得的. 例3 试求椭圆 的顶点处的曲率半径. 22 22 1 xy AB 解 椭圆的参数方程为 cosx

11、At sinyBt x y 0 A B 可以选择质点沿椭圆轨道的运动为： 在x方向和y方向的分运动为简谐振动的运动. (其简谐振动方程即为以上椭圆的参数方程) sin cos; x y vAt vBt 2 2 cos sin x y aAt aBt 于是有 在图中顶点A处： 0 x v y vB vB 2 x aA 0 y a 2 x aaA 心 第12页/共39页 x y 0 A B 所以 2 A v a 心 v a心 同理可得2 B A B 22 2 B A 2 B A 第13页/共39页 总是指向轮心但是否总是 指向滚轮线的曲率圆圆心？ a 例4 求滚轮线的最高点的曲率半径和1最低点的曲

12、率半径2. 解 为方便计，让轮子做匀速的纯滚动. 设轮心O相对地面的速度为v0 . P在最高点处相对于地面的速度大小为 10 2vv P在最低点处相对于地面的速度大小为 2 0v 0 0a 由于，0.aaa 故 0 aa a 则 ,Pa P a 设 点相对地面参照系的加速度为点相对 轮心参照系的加速度为 ， a a 轮边缘上的任意一点P相 对轮心O的线速度为多大？ a a P o P P P o o o P v0 第14页/共39页 故滚轮线最高处的曲 率半径为 o P v0 a a a a 滚轮线最低处的曲率半径为 P P P 在滚轮线的最高点处和最低点处， a 正好又是指向该处的曲率圆圆心

13、的， a 所以在此两处的完全用作向心加速 度. aa 心 故 2 1 1 v a 心 o o o a a a a 2 0 . v R 2 0 2 0 2 4 . v R v R 2 2 2 v a 心 2 0 0 0. v R 题后总结与思考 此两题的解法属于运动学的求法，曲率半径还有动力 学的求法这将在以后研究. 自己用运动学方法求本题滚轮线上其他点的曲率半径. a 第15页/共39页 三、平面上两运动曲线（包括直线）的交点的运动 注 意 交点并非曲线上的一个固定点，而是两条曲线相交而成的几何点. 两曲线并非均作平动. 1、几种交点的运动情况 2、如何求交点的速度 决不能 ！ 12P vvv

14、 （3）直线与曲线的交点 P 1 2 v1 v2 （2）曲线与曲线的交点 P v20 v10 v1 v2 平动纯滚动 （1）直线与直线的交点 P v10 v20 110 vv 220 vv 第16页/共39页 （1）由速度的定义出发求 （2）从相对运动出发求 例5 如图，一平面内有l1、l2两细杆，相交成角. 细杆分别以垂直于自身杆长的速度匀速运动. 求两杆的交点P相对于纸面的速率. 解一 A B 由定义出发求速度 l1 l2 P v1 v2 P2 P3 设经过时间t, 交点P匀速直线运动 至P1处. 21 csccsc ,PPAPvt 1232 csccscPPPPPBvt 22 12122

15、12 2cos()PPP PPPP P PP 在图中： 由余弦定理有 所以 （求出交点相对一曲线上对应点的速度，再叠加该点的速度） 1 P 22 121 2 2coscscvvvvt 22 121 2 2coscscvvvv 1 P PP v t 如何求得 ？ 1 PP2 PP ， 12 PP 1 PP 第17页/共39页 l1 l2 P v1 v2 P1 A B P2 P3 解二 由相对运动出发求速度 先求出交点相对于杆l1的速率v1： 在图中： 1122 APPPAP 所以 1 1 AP v t 进一步得交点P相对于地面的速率： 21 csccotvtvt 32 PPAP csccotPB

16、AP 12 cotcscvv 22 121 2 2coscscvvvv 22 11P vv v 22 112 (cotcsc )vvv 第18页/共39页 例6 如图, 在o-xy平面内有一个圆, 在y轴上放一根细杆,从t=0开始, 细杆以速度v0朝 x轴正方向匀速平动. 试求细杆与第一象限内的圆弧的交点的向心加速度与时间t的关系. x y O v0 解一 交点的运动方向总是沿圆的切线方向. 设在t 时刻交点在P点，经过小量时间t， 交点由P点运动到P1点. P0 而 121 323 PPPPP P 1 PPR 当极小时，有 12 2 (cos ) 2 PPR 由、消去 ： 12 1 , co

17、s PP PP 将22 2 0 cos Rv t R 代入即得 0 22 2 0 P v R v Rv t 所以22 0 22 2 0 . P P v Rv a RRv t 心 （其中 ） 0 Rv t 由速度定义出发解答. 2 cos()sin 22 R sin()sinRR 所以 112 1 cos PPPP tt ， 0 . cos P v v 即 P P1 P2 P3 由图中几何关系有 第19页/共39页 x y O v0 P P0 解二 由相对运动出发解. vP v P3 . v 设 为交点相对于细杆的速度 则 0P vvv 0 vv 因为， 0 . P vvv 所以 便是以 、 为

18、边的矩形的对角线 所以便有 0 cos P v v 进一步便可得到交点 P 的向心加速度. v0 2 0 22 2 0 . P v R a Rv t 心 第20页/共39页 （3）平面上两光滑曲线交点速度的最简求法 2 v 1 v 1 l 2 l 21 v 22 v 12 v 11 v P v 2 v 1 L 2 L 1 v P 如图，L1、L2的交点P相对地面的速度为 . P v 121212 vvLLPPP 、 分别为 、 上的与交点 重合的点、 （未画出）的速度. 分别作L1、L2的切线l1、l2. 取与L1上的P1点一起以速度 运动的参照系， 1 v 在此参照系中P点以速度 沿l1运动

19、. 1 v 则 11P vv v 取与L2上的P2点一起以速度 运动的参照系， 2 v 在此参照系中P点以速度 沿l2运动. 2 v 则 22P vv v 在地面参照系中沿l1、l2方向分解 1: v 11112 vvv 在地面参照系中沿l1、l2方向分解 2: v 22122 vvv 由图可知 1221P vvv 请说出该式的物理涵义？ 第21页/共39页 重解例5： l1 l2 P v1 v2 121csc vv 212csc vv 由余弦定理求合： 22 122112 21 2cos() P vvvv v v1 12 v v2 21 v P v 22 121 2 2coscsc .vvv

20、v 重解例6： x y O v0 P P0 v0 v01 0 01 cos v v ， 所以 01P vv 进一步便可得到交点 P 的向心加速度. 题后总结 该方法仅局限于光滑平面运动曲线的交点！ 此方法并不限于两曲线作平动的情况. 10 0.v 0 =. cos v 第22页/共39页 参考资料： 李卫平.平面内两运动光滑曲线交点速度计算之“速度分解-合成法”的证明及应用举例.物理教师（2010年第4期）. 四、质点弹性斜碰的运动轨迹类比于光的的镜面反射 N i j ij N 第23页/共39页 例7 如图，光滑水平面上两块刚性挡板OM、ON成15夹角交于O点，小球在OM 的内侧与O相距l=

21、20cm的P点处，以与MO成30角方向的初速朝ON板运动，初速度大 小为v0=10cm/s. 试问小球能否回到P处？若能，则须经多少时间回到P处？ 解小球作的是匀速折线运动. M N POl 300 150 而光线经镜面反射后的行进等效 于光线沿原入射方向的行进. 因此光线在两平面镜之间的不断 反射可等效为光线沿PP直线传播. 可将小球的运动类比为光线在平 面镜M、N之间的反射. 由于 4 1560POP ， 因此光线能够沿原路返回到P点. P P 0 90 .PPO 所以 第24页/共39页 M N P O l P 300 150 P 所以小球从P点出发到又回 到P点，总的路程即为PP=2P

22、P. 所经历的时间为 0 2PP t v 0 0 2 cos30l v 2 3( ) s 本题还有另一种常规解法： 1、看小球多次弹碰后是否会与杆正碰 2、确定在什么位置正碰 3、算出所有折线段的总长 4、计算时间 但这种解法需解三角形！试一试，看能否用此法解答. 题后总结与思考 这种解法的实质就是将折线运动等效变为直线运动从而使问题得以简化. 第25页/共39页 例8 如图，OABC是一桌球台面. 取OA为 x 轴，OC为y 轴，P是红球，坐标为 (x, y), Q是白球，坐标为（x, y ), (图中未画出Q球在台面上的位置）. 已知OA=BC=25 分米，AB=OC=12分米. A B

23、C O P Q x y (x, y) 解 N M （1）若P球的坐标为：x=10分米，y=8分米. 问 Q球的位置在什么范围内时，可使击出的Q球顺次与 AB、BC、CO和OA四壁碰撞反弹，最后击中P球？ （2）P球有没有一些位置是Q球无论从什么位置 出发，按上述次序从四壁反弹后都无法击中的？如 没有，加以证明；如有，找出这些位置的范围. （白球Q同四壁的碰撞均为弹性碰撞，两球体积很 小，可看作质点.） 如右图，你能不能让白球与桌璧N M 弹性相碰后击中红球? 第26页/共39页 A B C O P Q x y (0,12) (25,12) (25,0) (10,8) 给球桌各顶点及红球的位置标

24、注上坐标 (0,0) P1(10,-8) P2(-10,-8) P3(-10,32) P4(60,32) （1） 1、如果白球对着镜像点P1击在OA上就能击中P； 如果白球对着镜像点P2击在CO上就能射向P1; 如果白球对着镜像点P3击在OC上就能射向P2； 如果白球对着镜像点P4击在BA上就能射向P3. 第27页/共39页 A B C O P Q x y (0,12) (25,12) (25,0) (10,8) (0,0) P1(10,-8) P2(-10,-8) P3(-10,32) P4(60,32) F 2、为了保证白球能对着P4点且击在BA上，白球应该放在什么区域？ 3、白球放在该区

25、域是否能保证经BA反弹后能击在BC上？ 4、白球是否击在BC上任何地方都能反弹后又击在CO上？比如放在图中所示的点处？ 第28页/共39页 A B C O P Q x y (0,12) （25,12) (25,0) (10,8) (0,0) P1(10,-8) P2(-10,-8) P3(-10,32) P4(60,32) E 5、白球应该对着P3击在BC上的什么地方才能保证经BC反弹后能击在CO上？ 作直线P2O交CB于E点， E点坐标为(15,12). (15,12) F 白球放在这里行吗？ 第29页/共39页 A B C O P Q x y (0,12) （25,12) (25,0) (

26、10,8) (0,0) P1(10,-8) P2(-10,-8) P3(-10,32) P4(60,32) E (15,12) D (25,4) 6、白球应该对着P4击在BA上的什么地方才能保证经BA反弹后能击在EC上？ 作直线P3E交BA于D点， D点坐标为(25,4). 第30页/共39页 A B C O P Q x y (0,12) （25,12) (25,0) (10,8) (0,0) P1(10,-8) P2(-10,-8) P3(-10,32) P4(60,32) E(15,12) Q D (25,4) (20,0) 7、白球应该放在什么区域才能保证对着P4击在DA上？ H 作直线

27、P4D，交AO于H， H点的坐标(20,0). 第31页/共39页 A B C O P Q x y (0,12) （25,12) (25,0) (10,8) (0,0) P1(10,-8) P2(-10,-8) P3(-10,32) P4(60,32) E(15,12) D H (25,4) (20,0) 最终结论： 白球应放在三角形DAH以内的区域. （但不能放在HD、DA边上） 第32页/共39页 （2）P球有没有一些位置是Q球无论从什么位置出发，按上述次序从四壁反弹后 都无法击中的？如没有，加以证明；如有，找出这些位置的范围. A B C O P Q x y (0,12) （25,12) (25,0) (10,8) (0,0) P1(10,-8) P2(-10,-8) P3(-10,32) P4(60,32) E(15,12) Q D H (25,4) (20,0) 问题可转换为：P 球有没有一些位置，使（1）问的解答中求得的三角形DAH不存 在（或者说面积缩小为零）？ 第33页/共39页 A B C O P Q x