采用极坐标求解弹性力学平面问题基本问题

1、采用极坐标求解弹性力学平面问题基本问题一、内容介绍在弹性力学问题的处理时，坐标系的选择从本质上讲并不影响问题的求解， 但是坐标的选取直接影响边界条件的描述形式，从而关系到问题求解的难易程 度。对于圆形，楔形，扇形等工程构件，采用极坐标系统求解将比直角坐标系统 要方便的多。本章的任务就是推导极坐标表示的弹性力学平面问题基本方程，并 且求解一些典型问题。 重占1、基本未知量和基本方程的极坐标形式；2、双调和方程的极坐 标形式；3、轴对称应力与厚壁圆筒应力；4、曲梁纯弯曲、楔形 体和圆孔等典型问题1平面问题极坐标解的基本方程学习思路：选取极坐标系处理弹性力学平面问题，首先必须将弹性力学的基本方程以及

2、 边界条件通过极坐标形式描述和表达。本节的主要工作是介绍基本物理量,包括位移、应力和应变的极坐标形式; 并且将基本方程,包括平衡微分方程、几何方程和本构关系转化为极坐标形式。由于仍然采用应力解法，因此应力函数的极坐标表达是必要的。应该注意的是坐标系的选取与问题求解性质无关,因此弹性力学直角坐标解 的基本概念仍然适用于极坐标。学习要点：1、极坐标下的应力分量；2、极坐标平衡微分方程；3、极坐标下 的应变分量；4、几何方程的极坐标表达；5、本构方程的极坐标 表达；6、极坐标系的Laplace算符；7、应力函数。1、极坐标下的应力分量为了表明极坐标系统中的应力分量,从考察的平面物体中分割出微分单元体

3、 ABCD .其由两个相距dp的圆柱面和互成d0的两个径向面构成，如图所示X在极坐标系中，用孑表示径向正应力，用6表示环向正应力，矽和加分别表 示圆柱面和径向面的切应力，根据切应力互等定理，矽二加。首先推导平衡微分方程的极坐标形式。考虑到应力分量是随位置的变化，如果假设AB面上的应力分量为帀和矽入 则CD面上的应力分量为如果4D面上的应力分量为6和強,则BC面上的应力分量为1同时z体力分量在极坐标径向Q和环向（P方向的分量分别为Fb”和Fg。2、极坐标平衡微分方程3#设单元体的厚度为,如图所示#考察其平衡首先讨论径向的平衡，注意到曲1 , COSl ,可以得到g+等）s+师卩-b洌卩-（丐+詈

4、切）“ -化切字+（“語财）-7仞岛预咖二。简化上式，并且略去三阶微量，则#同理，考虑微分单元体切向平衡，可得# +鲁切）切-叩1 +（% +警ms + s）呦-%冈伊+J +等S）切字+譽*忌咖切二0简化上式，可以得到极坐标系下的平衡微分方程，即3、极坐标下的应变分量以下推导极坐标系统的几何方程。在极坐标系中，位移分量为Up , “，分别为径向位移和环向位移。极坐标对应的应变分量为：径向线应变印z即径向微分线段的正应变；环向 线应变印为环向微分线段的正应变；切应变加为径向和环向微分线段之间的直 角改变量。3 叽（p + uA（p-pA（p为眛詣环向微分线段gd。的相对伸长为=-如果只有环向位

5、移“时径向微分线段线没有变形,如图所示将上述结果相加，可以得到正应变分量隗c 1阪CP .*1p P切4、几何方程的极坐标表达下面考察切应变与位移之间的关系。设微分单元体4BCD在变形后变为ABCD,如图所示Df因此切应变为伽二 +&)宀1 oun 上式中“表示环向微分线段力向。方向转过的角度，即7 = -； 0P旳表示径向微分线段AD向0方向转过的角度，因此0二也 ；而&角应等于 SpA点的环向位移除以该点的径向坐标,即疣二土。P513% 给将上述结果回代，则一点的切应变为丫牌二2需+萌一万o 综上所述，可以得到极坐标系的几何方程为S#5、本构方程的极坐标表达由于讨论的物体是各向同性材料的，

6、因此极坐标系的本构方程与直角坐标的 表达形式是相同的，只要将其中的坐标x和y换成和卩就可以了。对于平面应力问题，有兮二厂隔)%二占觥_%)(12)丫 ” G己 胛对于平面应变问题，只要将上述公式中的弹性常数E，”分别换为 l_v2 17 -卩口_口就可以。6、极坐标系的Laplace算符平面问题以应力分量形式表达的变形协调方程在直角坐标系中 为V2 + b) = 0。由于6+0产b穴“为应力不变量，因此对于极坐标问题z 仅需要将直角坐标中的Laplace算符B =兰+兰 转换为极坐标的形式。因为 f x=pcos(p , y=p sm(p ,即 p 二朋亠尹2， (P = arctan o 将

7、。和。x和分别对兀和y求偏导数，可得些二dxxx二 cos?1臥一尹二ZX2y 7=i ； = = sin 切 X +才 p3(P111二二COS (D切Xi + 2L P根据上述关系式，可得以下运算符号333(p 331 3=+= cose?-sin (p dx dx, 3/? dx. 3 卩3/7 p dtpd 9p 9 dtp 3.313=+= smJ+ cos 妙则923x2dy dy dp dydp p 8(pz 31 .B、/31 .3、(cos_ sin)(cos 谓_sin 伊) dp p d(p dp p 32922sincos92 . sin2(o 3 . 2sincos伊

8、 9 . sin2 (p 3=COS . + +L_ +-%p 讷 p 3p p 3p P 3q护313313-y = (sin - cos )(sin- cos )oyop p d(pdp p d(p92 . cos2 j-sin2 (p 32. sincos 3二 sin 伊 cos +9/?p 3国 p dpcos2 sin2 3 sin 诃cos B2b 加 p1 财 将以上两式相加，简化可以得到极坐标系的Laplace算符。z 8皆d2IS1 S2V = Z- + z- = z- H1y5dx 创Spp dp p 切另外z注意到应力不变量巧,+碍=bp +込，z因此在极坐标系下z平面

9、问 题的由应力表达的变形协调方程变换为+ 耳）=0、j8181口6+%）=（乔+ $石+ 产7、应力函数如果弹性体体力为零,则可以采用应力函数解法求解。不难证明下列应力表 达式是满足平衡微分方程的7_ 1沪笑亠1 私(1加加p bpd(p2 p2 3dp p 3这里坯9,如是极坐标形式的应力函数，假设其具有连续到四阶的偏导数。将 上述应力分量表达式代入变形协调方程，可得9显然这是极坐标形式的双调和方程。总而言之，用极坐标解弹性力学的平面问题，与直角坐标求解一样，都归结 为在给定的边界条件下求解双调和方程。在应力函数解出后，可以应用应力分量表达式#求解应力，然后通过物理方程兮二+九_厲)气二討)

10、和几何方程2(1 4- V)E#求解应变分量和位移分量。#7.2轴对称问题的应力和相应的位移学习思路：如果弹性体的结构几何形状、材料性质和边界条件等均对称于某一个轴时， 称为轴对称结构。轴对称结构的应力分量与无关，称为轴对称应力。如果位移 也与无关,称为轴对称位移问题。本节首先根据应力分量与无关的条件，推导轴对称应力表达式。这个公式 有3个待定系数，仅仅根据轴对称应力问题的边界条件是不能确定的。因此讨论 轴对称位移，根据胡克定理的前两式,得到坏向位移和径向位移公式,然后代入 胡克定理第三式，确定待定函数。轴对称问题的实质是一维问题，因此对于轴对称问题，均可以得到相应的解 答。应该注意的问题是如

11、何确定轴对称问题。学习要点：1、轴对称应力分量；2、轴对称位移；3、轴对称位移函数推导；4、轴对 称位移和应力表达式。1、轴对称应力分量考察弹性体的应力与。无关的特殊情况,如图所示。即应力函数仅为坐标 的函数。这样，变形协调方程即双调和方程成为常微分方程(JL+Z2)(畑pd/72如将上式展开并在等号两边乘以”,可得例 r /厲丄，的_cP必矿矿。这是欧拉方程,对于这类方程,只要引入变换0=0,则方程可以变换为常系数的微分方程，有訝啓+ 4訝。其通解为Pi (?)二址 + Btei! + C+ D注意至Ir = in p,则方程的通解为例（P）二刿血 P +咕 Q+ D将上式代入应力表达式.1

12、 3转* 1沪俗p Sp p1 3 忒_ 1沪转亠1 3佻_ 3 zl 3轨、 p dpdp2 p1 3卩bp p则轴对称应力分量为+ 召Q + 21n) + 2C吠甥+咻叫+ 2C上述公式表达的应力分量是关于坐标原点对称分布的，因此称为轴对称应 力。2. 轴对称位移现在考察与轴对称应力相对应的变形和位移。对于平面应力问题z将应力分量代入物理方程兮二丘(刁_8訂% =r_2(Hu)G E 和可得应变分量1Agp - _(L + v)- + (l-3i/)B + 2(1 - i/)Blnp + 2(1- v)C Ep1A=-(L + y) + (3 -+ 2(1- y)Bln p+ 2(1 -y

13、)CEP“根据上述公式可见，应变分量也是轴对称的。将上式代入几何方程_叽 切E壬丄些P P P询二1加S叫 %力 p 3 bp p可得位移关系式加1A-Z=-(! +) +(1-3)3 +2(L-v)31n/? +2(1-y)Cop Epu.11A亠 二一-Q + w)F(3-啪+ 2Q-啪 ln0 + 2(i)C ppd(Ep1u+ -丄二 0p b(pdpp对上述公式的第一式du 1A茁二詁(1 + p)歹+Q-a) + 2Q-i/)lnz? + 2(l-p)C积分，可得1A二石-0 + “)+ 2Q - 2)砂(in p-1) + (1 - 3i/)珈 + 2(1 - i/)Q? + f

14、) 比P111叫P沏3% _ 4 Bp矿-m其中/ (0)为0的任意函数。将上式代入公式的第二式+ (3-v)B+2(l-u)Sln/?+2(l-i/)C积分后可得s二纟警一J /(伊)1伊+岸(p)这里g(Q为Q的任意函数。3、轴对称位移函数推导般向位移1A二石-0 + “)+ 2Q - 2)砂(in p-1) + (1 - 3i/)珈 + 2(1 -+ 孑)比P和环向位移的结果代入公式的第三式1 duD叫丄二 + 二一_L=0Q % dp p则刮迴+ 也一也+ J_|y)如“p Ap Ap p p或者写作如-浮二攀+ J伽如dp(p 丿上式等号左边为。的函数，而右边为0的函数。显然若使上式

15、对所有的。和0都 成立，只有或Q 卩宰二FAP+ 打)切=F其中尸为任意常数。以上方程第一式的通解为g(p)=Hp+ F这里H为任意常数。为了求出几0),将方程的第二式对求一次导数，可得13其通解为f sin卩+ Kcos。 另外#可得位移分量的表达式1Aic 二一卜(1 + 讨一 + 2(1-卩)D?(ln /?-!) + (l-3y)S/? + 2(l- y)Cp + fsin+ 疋cos卩4、轴对称位移和应力表达式位移分量的表达式1AEP+ 砂-Jsin )=01 31 32+7p Sp p1 珊 可以得到血）所需要满足的方程（n）d厶）=。d/7 p Ap p Ap p Ap p这个方

16、程可以转换为常系数的常微分方程，其通解为/（/?） =+ S + Cp+ Dpn pP将其代入应力函数表达式卩fSw） = /（p）sin ,则QJL仞(q劲二(j4q + B + CDpnp)sinP2. 边界条件根据极坐标应力分量表达式 P Bp p1 财 2r _ 1沪转亠1 佻_ 汁。塚）翊 p dpdp2 p1 3伊9/? p 弔可得曲梁应力分量为1 3倂f丄1沪z_ . 2F丄D .二 _ -+ 二（2月门-+）sm?P Bp p B（pp p沪佻.-” 2B Dx .%二訂二如卄 V十一）SU10加P P咲二 -？（丄孕）二 _% _ 孕 E）cwop p d（px? p现在的问

17、题是利用面力边界条件确定待定常数4 B和D。本问题的面力边界条件为=0, 賤 p=q _ obag=0,训耳_ oL”训卩=0=0?二-F将曲梁应力分量代入面力边界条件，可得2屁-驾+ 2二0a a2园-器+ 2二0b b-卫（贤-/）+ 厅-护）a2b2-Din -Fa3、曲梁应力求解上述方程，可以得到A = -2NFa皆B =2ND=(a2+b2)N其中JV = 22 -2?2 + (d?2 +&2)ln -a将上述计算所得的待定常数代入应力分量表达式1 3的丄132铃“2.0、6二一尹+ p 才竽=（W- + -）sin P P 诃P P沪仍 /八 2B Dx .乐二二（6久夕+飞+ ）

18、沁谓%P P广 一 2 （丄器）二 _ （2 卫。_ 琴 + 2） cos dp pp p则曲梁的应力分量为a2b2)sin (pF z a2怨绐2臥计-丁+ /叱7.6带圆孔平板的均匀拉伸学习思路：平板受均匀拉力q作用，平板内有半径为d的小圆孔。圆孔的存在，必然对 应力分布产生影响。孔口附近的应力将远大于无孔时的应力，也远大于距孔口稍 远处的应力。这种现象称为应力集中。孔口的应力集中，根据局部性原理，影响主要限于孔口附近区域。根据上述分析，在与小圆孔同心的厚壁圆筒上，应力可以分为两部分：一部 分是沿外圆周作用的不变的正应力，另一部分是以三角函数变化的法向力和切向 力。对于前者是轴对称问题；或

19、者根据问题性质可以确定应力函数后求解。孔口应力分析表明，孔口应力集中因子为3。学习要点：1、带圆孔平板拉伸问题；2、厚壁圆筒应力函数；3、应力与边界条件；4、孔口应力。1、带圆孔平板拉伸问题设平板在x方向受均匀拉力q作用，板内有一个半径为d的小圆孔。圆孔的 存在，必然对应力分布产生影响，如图所示。孔口附近的应力将远大于无孔时的 应力，也远大于距孔口稍远处的应力。这种现象称为应力集中。孑b口的应力集中，根据局部性原理，影响主要限于孔口附近区域。随着距离 增加，在离孔口较远处，这种影响也就显著的减小。根据上述分析，假如b与圆孔中心有足够的距离，则其应力与无圆孔平板的 分布应该是相同的。因此9rtf

20、匕心=qcos 3=-(1+ cos20)q%小一亍血2上述公式表明在与小圆孔同心的，半径为乃的圆周上，应力可以分为两部分： 部分是沿外圆周作用的不变的正应力，其数值%；另一部分是随（P变化的法向% cos20和切向:% sin o对于沿厚壁圆筒外圆周作用的不变的正应力,其数值为呀。由此产生的应力 可用轴对称应力计算公式_ a2b2 %_和创/-g 少21_Q2折险乐+曲-掙57 _ b2-a2 p2 H %二计算。则,2 2q b、盘、%，f 2(i+62b -apr = 0这里,将均匀法向应力作为夕卜加载荷作用于内径为。，外径为b的厚壁圆筒29的外圆周处。使得问题成为一个典型的轴对称应力。

21、2.厚壁圆筒应力函数%#对于厚壁圆筒的外径作用随2(p变化的法向外力 sni2(p z如图所示cos2(p和切向外力根据面力边界条件，厚壁圆筒的应力分量也应该是2p的函数。由应力函数与应 力分量的关系可以看出，由此产生的应力可以由以下形式的应力函数求解，即阿S用)二9) cos 2毋4等炸釦。将上述应力函数表达式代入变形协调方程1 3+p Sp p1 珊可得/（p）所要满足的方程（X+ 丄2一2）（+丄必一1）= 0Ap2 p Ap p2 Ap2 p Ap p1Q” S矿陀=o上述方程是欧拉(EuleQ方程,通过变换可成为常系数常微分方程，其通解为f(p) = Ap2BpC+DP因此z将其代入

22、公式他Sw) = f S) cos 2卩,可得应力函数为必（P用）二（厦/ + Bp + C + D）cos2P3、应力与边界条件因此，应力分量为1 1阿丄1 32铃灯丄&C丄4Z 6 二一-+v = -（2 + + ）cos2P &P P 询P P2% 二 2二（2乂 12 珈 2 + 卑）cqs2dp丄器）W十6防卑马）血2级加。帀p p应力分量表达式中的待定常数A,B ,C .D可用边界条件确定，本问题的面力 边界条件为勺十0，qq勺丹二齐020, 心=一齐血202力+空+竺二/b4 F 22 + 65- - = -将应力分量代入上述边界条件，则M b2 2 2A + 6Ba2 -写一孚

23、二0 宀2a q联立求解上述方程，并且注意到对于本问题，如0,可得rr蔦d寺4、孔口应力将计算所得到系数代入应力分量公式1 1阿丄1 32铃灯丄&C丄4Z6二一-+v = -（2- + ）cos2P &P P 询P P2% 二 2二（2乂 12 珈 2 + 与）cqs2dp丄器）二（如6防卑马）血2级dp p oq?p pq 仇 3a44/、_碍呻 1 +丁 _p）cos202QQq z 3q、 c）cos2L Pg 3d*2a2丁朋=Q 廿+芦）q/q/将随0变化的法向力/2 COS20和切向尢兀sin20的计算所得结果与沿外圆周作用的不变的正应;9结果相叠加，则q ? q 门_q 山 /q

24、 z 3“、小疔厂尹+詞-尹+歹）遇2 坯=-訣-耳+茅）血20L p P上述应力分量表达式表明，如果Q相当大时，上述应力分量与均匀拉伸的应 力状态相同。对于孔口应力，即Q时，有b心=切心二 0，6心=g - 2g cos2最大环向应力发生在小圆孔的边界上的0=刑2和0=3衣2处其值为这表明,当板很大而孔很小时，则圆孔的孔口将有应力集中现象。通常把最 大应力与平均应力的比值用于描述应力集中的程度。即) maxK称为应力集中因子。对于平板受均匀拉伸问题，K=3。7.7楔形体顶端受集中力或集中力偶学习思路：本节将推导有关楔形体的几个有实用价值的解答。对于弹性力学问题的求解，重要的问题是确定应力函数

25、的形式。由于楔形体 几何形状的特殊性，本身没有任何描述长度的几何参数，借助于几何特性，可以 找到应力函数的基本形式，然后根据变形协调方程得到应力函数。楔形体弹性力学解答可以推广为半无限平面应力的解答,这对于工程问题的 求解具有指导意义。学习要点：1、楔形体作用集中力问题的应力函数；2、楔形体边界条件；3、楔形体 应力；4、半无限平面作用集中力；5、楔形体受集中力偶作用；6、楔形 体受集中力偶作用的应力。楔形体作用集中力问题的应力函数33设有一楔形体，其中心角为a,下端可以认为是伸向无穷远处。 首先讨论楔形体在其顶端受集中力作用，集中力与楔形体的中心线成0角。设楔形体为单位厚度,单位厚度所受的力

26、为F,极坐标系选取如图所示通过量纲分析可以确定本问题应力函数的形式。由于楔形体内任一点的应力 分量将与F成正比，并与Q , 0 ,。和0有关。由于F的量纲为MT-2 ,卅量纲 为I?,而Q, P和是无量纲的，因此各个应力分量的表达式只能取Q的负一 次幕。而根据应力函数表达式_ 1却f + 1沪何 p 3p /?2 皤务=劝2_ 1 沪件 + 1_ 0(1 服p dpdip2 p2 dpdp p Sp其Q的專次应t匕各应力分量。的幕次高两次。因此可以假设应力函数为的某个 函数乘以。的一次幕。有将上述应力函数表达式代入变形协调方程(旦+dp2 p dp可得几0)所要满足的方程。即刍怦+2弩挈+Tp

27、A(p理肌昨+心。切(lb 八求解上式，可得/() =且 cos0+ Esin +(C cos + Qsin)其中A,B,C和D为待定常数，将上式代入应力函数表达式可得卩(p 二 ApzQSp + 珈in (p + pp(Ccos护 + Dsin p)由于且qcos + Bpxq)= Ax + By为线性项,不影响应力分量的计算,因此 可以删去。因此应力函数为(pt (p = Q伊(Cco$0+ Dsin 炉)楔形体边界条件35由应力分量表达式，可得楔形体的应力分量-(DcoscfJ- Csin 伊) P037现在的问题是利用面力边界条件确定待定常数。楔形体左右两边的面力边界条件 为旷 二&二舛歼士亍加曲士亍已经自然满足。此外还有一个应力边界条件：在楔形体顶端附近的一小部分边界上有一组面力，它的分布没有给出，但已知它在单位宽度上的合力为Fo 如果取任意一个截面，例如圆柱面ab ,如图所示则该截面的应力分量必然和上述面力合成为平衡力系，因此也就必然和力F形 成平衡力系。于是得出由应力边界条件转换而来的平衡条件J bp cos ppAp + FcOSy0 = 0Jo-sin(ppA.(p + Fs