微积分期末试卷附详细标准答案2

1、个人收集整理仅供参考学习一、填空题(每小题3分，共15分)1、已知 f(x)=ex , f N(x) =1x,且中(x)之0,则9(x) = vln(1x)2c解 f(u)=e =1-x,u =ln(1-x) ,u = .Jn(1 - x).2、已知 a 为常数，lim (-2 ax +1) =1，则 a =1.211 x 1斛：0 = lim = lim (xx x x xi： x一-ax 1) = lim (1 4 - a ) = 1 - a .x 二 x x3、已知 f =2,则 limf(1 3x)-f(1 x)=4. x )Dx解：limf(1 3x)-f(1) -f(1 x)-f(

2、1)=4 x0x4、函数 f(x)=(x1)(x2)(x3)(x4)地拐点数为 2.解：f (x)有 3 个零点 ,焦二：1 彳 2334, f (x)有 2 个零点 尸2：1。2 之2 ”2C(Q) ;(B) R(Q) :n=limni 二二彳二1，2 n所以lim (n_):：+)=1. (6 分)4、求极限lim2ln(1 x )x0 secx - cos x,2、解：lim 1n(1 x)x0 secx - cosxx 02ln(1 x )二 lim cosxlim 2- x 0 sin x=lim2x1 + x2(4 分)x 0 2sinxcosx=limx02、(1 x )cosx

3、. x limx sin x=1. (6 分)sin15、求函数y = x x地导数.答案:.1 sin x y = xcosnx 1sin1) x1-1n10 / 7sin 11nx解：y = (e x )(2 分).1 ,sin - ln x 1111=e xcos-( -2) ln x sin x x x x.1，sin1111=x x(2cos ln x sin )x x x x.(6 分)6、求曲线xln y+ y 2x=1在点(1,1)处地法线方程.答案：x+y2 = 0解：方程两边对x求导得：ln y + xy + y- 2 = 0 , y1将(x, y) = (1,1)代入得法

4、线斜率 k = 一 = _1, (3分) y从而法线方程为：y_1=_1，（x1），即：* + 丫2 = 0.（6分），一八143r 一、7、求曲线y= x x +1地凹凸区间和拐点.24答案：曲线在区间（吗0和1,+“）是凹地，在区间Q1是凸地拐点为（0,1）, （1；）.3解：f (x) C(-：, ：),(2)32_ .2f (x) =2x -3x , f (x) =6x -6x =6x(x -1),4f (x)=0，得 x1 =0, x2 =1. f(0) = 1, f (1) =43(3分)(4)x(-0,0)0(0,1)1（1产）f ”(x)+0-0+f(x)凹拐点凸拐点凹列表如下

5、:4曲线地拐点为（0,1）、（1,-）.3(6)曲线在区间（g,0和1,+比）是凹地，在区间0,1是凸地.(6分)8、计算dx.答案：66G - 6 arctan6 x + Cdxdx解 (1 3 x) x -(6 x)31 (6 x)256t5dt八了(3分)t3(1 t2)2A (1 t )-1621 t2dtdt =6 ! dt - = 6 1 t=6t -6arctant +C =66/x -6arctan6/x +C .(6分)9、计算 exsin 2xdx 答案 ex(-sin 2x -cos2x) +C1021 V斛： e sin 2xdx e d cos2x =一 21 exc

6、os2x 122fex cos2xdx (3 分)1 x _1 x _1 x _1x_1x_e cos2x e d sin 2x e cos2x e sin 2x - e sin 2xdx ,2 4244x 一 .4 x.1 .一一 、一, Je cos2xdx =e (asin 2x-cos2x)+C .(6 分)10、设某商品地需求函数为Q =100 -5P淇中P,Q分别表示需求量和价格，试求当总收益达到最大时，此时地需求弹性，并解释其经济意义.b5E2RGbCAP答案：。(10) =1,当总收益达到最大时，价格上涨1%，需求则相应减少1% .俞诗秋解：总收益函数为 R(P) =PQ -P

7、(100 5P) =100P 5P2 ,令 R(P) =100 -10P =0 ,得 P =3,而 R*(10) = -50,可见，当P =10时，总收益达到最大.(3分), 一 P dQ5P此时需求弹性 10) = _PdQ =5P =1,(5分)QdP-0 100-5PPV0说明，当总收益达到最大时，价格上涨1 %，需求则相应减少1% . (6分)四、证明题(每小题5分，共10分)1、证明方程xex=1在区间(0,1)内有且只有一个实根. 孙仁斌，俞诗秋证明：显然 f(x)=xex1wC0,1,由于 f(0) = 1 0, 由零点定理知，w(0,1)st. f(5=0,即 = 1；(3 分

8、)又因 f(x)=(x+1)exA0, xw(0,1)，知 f(x) 0,1,所以方程xex =1在区间(0,1)内有且只有一个实根 ：.(5分)2、设f(x)在闭区间1,2连续，在开区间(1,2)可导，且f(2)=8f(1),证明在(1,2)内必存在一点一使得3f (力=* (5.f (x)x3 f (x) -3x2f(x)证明：令 F(x) = V , F (x) =J6-,xx-f(2)显然 F(x)WC1,2, F(x)W D(1,2)，且 F(1) = f (1)(- = F (2),8由罗尔定理知： 希(1,2), s.t. F Y)=0,所以3f代)=5).版权申明本文部分内容，

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