标准偏差与相对标准偏差

1、标准偏差标准偏差（也称标准离差或均方根差）是反映一组测量数据 离散程度 的统计指标。是指统计结果在某一个时段内误差上下波动的幅度。是正态分布 的重要参数之一。 是测量变动的统计测算法。它通常不用作独立的指标而与其它指标配合使用。标准偏差在 误差理论、质量管理、计量型抽样检验 等领域中均得到了广泛的应用。因此，标准偏差的计算十分重要，它的准确与否对器具的不确定度、测量的不确定度以及所接收产品的质量有重要影响。然而在对标准偏差的计算中，不少人不论测量次数多少 ，均按贝塞尔公式 计算。样本标准差的表示公式数学表达式：（叼x）2 + （叼i）2 + * + （叭一可71 1 S-标准偏差（%）n值不应

2、少于 20-30个1n ； n-试样总数或测量次数，一般 i-物料中某成分的各次测量值,标准偏差的使用方法*在价格变化剧烈时，该指标值通常很高。*如果价格保持平稳，这个指标值不高。在价格发生剧烈的上涨/下降之前，该指标值总是很 低。标准偏差的计算步骤标准偏差的计算步骤是：步骤一、（每个样本数据-样本全部数据之平均值）2步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。步骤三、把步骤二的结果除以（n - 1） （ “n指样本数目）。步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。六个计算标准偏差的公式标准偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度测量，其测得值为11、12、In。令测得值丨与该量

3、真值X之差为真差占 q则有02 = I 2 - XOn = I n - X我们定义标准偏差（也称标准差）q为3#更艮X -力仏一天戶(1)由于真值X都是不可知的，因此真差q占也就无法求得,故式只有理论意义而无实用价值。标准偏差q的常用估计一贝塞尔公式由于真值是不可知的，在实际应用中，我们常用n次测量的算术平均值1(1来代表真值。理论上也证明随着测量次数的增多术平均值最接近真值，当门一时，算术平均值就是真值。于是我们用测得值 li与算术平均值 之差一一剩余误差（也叫残差）Vi来代替真差 q,即Vi = Lt-L设一组等精度测量值为 1l、12、l则 I - .1 LVn = ln L通过数学推导

4、可得真差b与剩余误差V的关系为5#式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当眩 心：时，a n ：可见贝塞尔公式与的定义式是完全一致的应该指岀，在n有限时，用贝塞尔公式所得到的是标准偏差b的一个估计值。它不是总体标准偏差b因此，我们称式为标准偏差 b的常用估计。为了强调这一点，我们将b的估计值用“ S表示。于是，将式改写为(2)在求S时，为免去求算术平均值 匚的麻烦，经数学推导(过程从略)有nnE(Zi-)2 = /ri=zia(W于是，式(2)可写为(2)按式(2)求S时，只需求岀各测得值的平方和7171口 7(Z)2-I 和各测得值之和的平方

5、艺,即标准偏差b的无偏估计数理统计中定义S2为样本方差I n数学上已经证明 S2是总体方差 b的无偏估计。即在大量重复试验中 ，S2围绕b散布，它们之 间没有系统误差。而式(2)在n有限时,S并不是总体标准偏差 b的无偏估计，也就是说S和b之 间存在系统误差。概率统计告诉我们，对于服从正态分布的正态总体，总体标准偏差 b的无偏估计值为6#7即Si和S仅相差一个系数 K 0, K。是与样本个数测量次数有关的一个系数，K。值见表计算K。时用到rn + 1) = n r n)F(*)=麻r(i)= i表i人值n厂ann21,25337LW24201.013260k00433L128481,03622

6、5L0105曲L00364L08549.1,031730L008780L003251.063810L0281401.0064n1.002861,0509151.0180501.0051IOCL0025由表1知，当n30时，.；： I。因此，当n30时，式(3)和式(2)之间的差异可略而不计。在n=3050时，最宜用贝塞尔公式求标准偏差。当n10时，由于K。值的影响已不可忽略，宜用式(3),求标准偏差。这时再用贝塞尔公式显然是不妥的。标准偏差的最大似然估计将o的定义式(1)中的真值X用算术平均值 二代替且当n有限时就得到1 _i=l7=1(M2r j血i/rfi1/血21414L1280*886

7、203.735i0.2683L732L6936591213 71%0.26542.0002.0590.486223319C.26252.2362.326贺50时的情况，当n50时,n和(n-1)对计算结果的影响就很小了2.5标准偏差b的极差估计由于以上几个标准偏差的计算公式计算量较大，不宜现场采用而极差估计的方法则有运算简便，计算量小宜于现场采用的特点。n个样本测得值中的最大值与最小极差用R表示。所谓极差就是从正态总体中随机抽取的 值之差。若对某量作次等精度测量测得li、，且它们服从正态分布，则l maxl min概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差的计算公式为(5)S3称为标准偏差b的无

8、偏极差估计，d2为与样本个数n(测得值个数)有关的无偏极差系数，其 值见表29由表2知，当nW 15时，二 ,因此，标准偏差b更粗略的估计值为10#(5)#还可以看岀，当200W nWlOOO时，芒亡$因而又有(5)显然，不需查表利用式(5)和(5) 了即可对标准偏差值作岀快速估计，用以对用贝塞尔公式及其他公式的计算结果进行校核。应指岀，式(5)的准确度比用其他公式的准确度要低 ，但当5W nW 15时式(5)不仅大大提高了计 算速度，而且还颇为准确。当n10时，由于舍去数据信息较多，因此误差较大，为了提高准确度 这时应将测得值分成四个或五个一组，先求岀各组的极差 Ri、;-,再由各组极差求岀

9、极差平均值R + J?2 + * + Rk极差平均值和总体标准偏差的关系为ds需指岀，此时d2大小要用每组的数据个数n而不是用数据总数 N(=nK)去查表2再则，分组时一定要按测得值的先后顺序排列，不能打乱或颠倒。标准偏差b的平均误差估计平均误差的定义为ij = lim+应|h |九|n误差理论给出24T = 6 = 0,7979(/ Q -aV tt5(A)nnEN Ell可以证明亨=与1 的关系为12#(证明从略)#(B)于是由式(A)和式(B)得也- 1)2,7T#从而有#S4 = =n 1)#=1.2533 啓Vn(n- 1)n(n 1)式就是佩特斯(CAF.Peters.1856)

10、公式。用该公式估计S值，由于right|Vright|不需平方故计算较为简便。但该式的准确度不如贝塞尔公式。该式使用条件与贝塞尔公式相似。标准偏差的应用实例对标称值Ra = 0.160 m 的一块粗糙度样块进行检定 ，顺次测得以下15个 数据:1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.77,1.64,4.56,1.50,1.64,1.74和 1.63 m,试求该样块Rn的平均值和标准偏差并判断其合格否。解：1）先求平均值.=1.60 +一 12 + 5 + 0+ 7- 8-14 +12 + 9+17 + 4-4-10 + 4 + 4+ 315 x 10

11、0=1.60 I2715 x 100=1.618( fim i2）再求标准偏差S若用无偏极差估计公式式（5）计算，首先将测得的,15个数据按原顺序分为三组，每组五个见表3。表3组号l_1l_5R11.481.651.601.671.520.1921.461.721.691.77640.3131.561.501.641.741.630.241 a=0.43因每组为5个数据,按n=5由表2查得 二故14St =1ff = 0,43 x 0.247 = 0.10621 ( pm )若按常用估计即贝塞尔公式式（2）,则n=009&2( pm i15#若按无偏估计公式即式（3）计算，因n=15，由表1查

12、得Ks = 1.018,则Si = KfiS = 1.018 x 0,0962 = 0.09793( jim )若按最大似然估计 公式即式（4）计算，则#1/24.27s15 X I.393985 -=0.09296( )若按平均误差估计公式即式（6）,则1J533血伍一 1）=1.2533 x1.176/15 x 14=0-1017( pm )#现在用式（5）对以上计算进行校核1 _ 1 、=R = -= x 0.247 = 0.0637( jim i可见以上算得的 S、S1、S2、S3和S没有粗大误差。由以上计算结果可知0.092960.09620.09790.10170.1062即 S2

13、 S Si S4 5)氏(再-x)22=1nW - 1相对误差%)s = 7_/xl00%相对平均偏差-X100%相对标准偏差= -=100%准确度：测定值与真实值符合的程度绝对误差：测量值（或多次测定的平均值）与真（实）值之差称为绝对误差，用 表示。相对误差：绝对误差与真值的比值称为相对误差。常用百分数表示。绝对误差可正可负，可以表明测量仪器的准确度，但不能反映误差在测量值 中所占比例，相对误差反映测量误差在测量结果中所占的比例， 衡量相对误差更 有意义。例：用刻度0.5cm的尺测量长度，可以读准到0.1cm,该尺测量的绝对误差 为0.1cm；用刻度1mn!勺尺测量长度，可以读准到 0.1m

14、m该尺测量的绝对误差 为 0.1mm例：分析天平称量误差为0.1mg,减重法需称2次，可能的最大误差为0.2mg, 为使称量相对误差小于0.1%，至少应称量多少样品？解：-=2x100% 二 3tl（12gxl00% 0. IXP A“答：称量样品量应不小于0.2g。真值（卩）：真值是客观存在的，但任何测量都存在误差，故真值只能逼近而不 可测知，实际工作中，往往用“标准值”代替“真值”。标准值：采用多种可靠 的分析方法、由具有丰富经验的分析人员经过反复多次测定得出的结果平均值。 精密度：几次平行测定结果相互接近的程度。各次测定结果越接近，精密度越高，用偏差衡量精密度。偏差：单次测量值与样本平均值之差：1 平均偏差：各次测量偏差绝对值的平均值。 相对平均偏差：平均偏差与平均值的比值。标准偏差：各次测量偏差的平方和平均值再开方，比平均偏差更灵敏的反映较大偏差的存在，在统计学上更有意义。相对标准偏差（变异系数）例：分析铁矿石中铁的质量分数，得到如下数据：37.45，37.20, 37.50,37.30, 37.25（ %，计算测结果的平均值、平均偏差、相对平均偏差、标准偏 差、变异系数。解：7 -31.34%各次测量的偏差分别是:0 lb -0.14, -0 04, 0.16, -0 19d =（0.11+0.14+ 0.04+0 16+0.19） /5