线性二次型最优控制PPT学习教案

1、会计学1 线性二次型最优控制线性二次型最优控制 n而且带来闭环控制系统工程实现时 困难性,难以得到统一、简洁的最优 控制规律的表达式。 第1页/共54页 人员都具有很大吸引力。 n近40年来,人们对各种最优状态反馈 控制系统的结构、性质以及设计方 法进行了多方面的研究,并且有许多 成功的应用。 第2页/共54页 第3页/共54页 n假定系统的维数满足0m r n,且u(t) 不受约束。 n用z(t)表示预期的输出,它为m维向量, 则定义输出误差向量如下 e(t)=z(t)-y(t) 00 ( )( ) ( )( ) ( ),( ) ( )( ) ( ) tA ttB ttt tC tt xxu

2、xx yx 第4页/共54页 ; 0 nR(t)为rr维时变的分段连续的正定矩 阵,且其逆矩阵存在并有界; 0 n末态时刻tf是固定的。 固定 0 11 ()()()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )d 22 f t ff t JtFtt Q ttt R ttt ueeeeuu 第5页/共54页 n若矩阵F的第i行第i列元素值较大,代表 二次项的重要性较大,对其精度要求较 高。 0 11 ()()()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )d 22 f t ff t JtFtt Q ttt R ttt ueeeeuu 第6页/共54页 0 11 ()()()( ) ( ) ( )

3、( ) ( ) ( )d 22 f t ff t JtFtt Q ttt R ttt ueeeeuu 第7页/共54页 0 11 ()()()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )d 22 f t ff t JtFtt Q ttt R ttt ueeeeuu 第8页/共54页 与在t0,tf区间内u(t)所做的功或所消耗的能 量成正比。 0 11 ()()()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )d 22 f t ff t JtFtt Q ttt R ttt ueeeeuu 第9页/共54页 0 11 ()()()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )d 22 f t ff

4、t JtFtt Q ttt R ttt ueeeeuu 第10页/共54页 该问题转化成:用不大的控制能量,使 输出值y(t)保持在零值附近,称为输 出调节器问题。 f t t ff tttRtttQttFtJ 0 d)()()()()()( 2 1 )()( 2 1 )( uuxxxxu f t t ff tttRtttQttFtJ 0 d)()()()()()( 2 1 )()( 2 1 )( uuyyyyu 0 11 ()()()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )d 22 f t ff t JtFtt Q ttt R ttt ueeeeuu 第11页/共54页 n 0 11 (

5、)()()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )d 22 f t ff t JtFtt Q ttt R ttt ueeeeuu 第12页/共54页 第13页/共54页 nR(t)为正定矩阵; n末态时刻tf是固定的。 000 ( )( ) ( )( ) ( ),( ), , f tA ttB ttttt txxuxx dtttRtttQttFttuJ f t t ff 0 )()()()()()( 2 1 )()( 2 1 )( uuxxxx C(t)=I,z(t)=0,则则y(t)=x(t)=-e(t) 0 11 ()()()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )d 22 f t

6、 ff t JtFtt Q ttt R ttt ueeeeuu 第14页/共54页 nt n最优控制的存在性与唯一性最优控制的存在性与唯一性 dtttRtttQttFttuJ f t t ff 0 )()()()()()( 2 1 )()( 2 1 )( uuxxxx 第15页/共54页 ,P(t) 正定或半正定解。 *1 ( )( ),( )( )( ) ( )tKtK tRt B t P t ux ,)(),()()()()( 000 * f ttttttBttAtxxux x * 000 1 ( )(0),0 2 JJtP uxxx dtttRtttQttFttuJ f t t ff 0

7、 )()()()()()( 2 1 )()( 2 1 )( uuxxxx 1 0 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) , ( ), f f P tP t A tA t P tP t B t Rt B t P tQ ttt t P tF 第16页/共54页 *1 ( )( ),( )( )( ) ( )tKtK tRt B t P t ux 0 11 ()() d 22 f t ff t JtFtQRABt xxxxuuxu x 第17页/共54页 1 ( , , ) 2 HQRAB x u xxuuxu 0 11 ()() d(7167) 22 f t

8、ff t JtFtQRABt xxxxuuxu x 0 0 0 1 ()()( , , )d 2 1 ()()( ) ( )|( , , )d 2 f f f t ff t t t fft t JtFtHt tFtttHt xxx u x xxxx u x 0 0 ( )( ) 1 ( )( )( ) 2( ) ( )( )( ) f f t ff fff t f t fff t tFt HH Jx tttdt t HH tFttxdt xx xxu xxu xxu xu 第18页/共54页 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1 ( )( )

9、 2( ) ff ff f H tA ttB tt H tQ ttA tt tFt tFt t xxu x x xx x x 0 ()()() f t fff t HH JtFttxdt xxu xu ( ) ( )( ) ( )0 H R ttB tt u u 第19页/共54页 *1 ( )( )( ) ( )tRt B tt u ( ) ( )( ) ( )0(7173) H R ttB tt u u * ( )( )( )tP ttx 第20页/共54页 1 * * * ( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) (

10、 )( )( ) ( )( ) tP ttP tt P ttP t A ttP t B tt P tP t A tP t B t Rt B t P tt xx xxu x * ( )( ) ( )( ) ( )(7171) ( )( )( )(7175) tQ ttA tt tP tt x x * ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )tQ ttA t P ttQ tA t P tt xxx 第21页/共54页 *1* ( )( )( ) ( )( )tRt B t P tt ux 0 0 000 111d ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )d 222d 1

11、 d 2 f f t fff t t t tP ttt P ttPt t PPPt xxxxxx xxxxxx 第22页/共54页 0 0 000 1 11 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 22 1 d 2 1 d 2 f f fff t t t t tP ttt P tt A PPPAB PPBt QPB R BPB PPBt xxxx xxuxxu xxuxxu 0 000 11 11 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 22 1 d 2 f fff t t tP ttt P tt QRR B PRR B Pt xxxx xxuuxxxx 0 1 000 ( )(

12、) ( )( ) ( )(7160) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )(7166) 111 () () ()( ) ( ) ( )d 222 f t fff t tA ttB tt P tP t A tA t P tP t B t Rt B t P tQ t tP ttt P ttPPPt xxu xxxxxxxxxx 第23页/共54页 0 0 11 000 11 ( )( )( ) 22 11 ( ) ( ) ( )d 22 f f t ff t t t JttFtQR dt t P ttR B PRR B Pt uxxxxuu xxuxux *

13、000 1 ( )( ) ( ) ( ) 2 J u tt P ttxx 第24页/共54页 图图7-6 线性系统最优状态调节器线性系统最优状态调节器 n上述结论是线性时变系统的结论, 当系统是线性定常的时候,上述 结论仍然成立,而且计算还要简 单。 *1 ( )( ),( )( )( ) ( )tKtK tRt B t P t ux 第25页/共54页 , 1 0 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) , ( ), f f P tP t A tA t P tP t B t Rt B t P tQ ttt t P tF 第26页/共54页 论,则对任意tt

14、0,tf,有P(t)=P(t),即P(t)是 对称的。 1 ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ff P tP tP t A tA t P tP t B t Rt B t P tQ t P tP tF 1 0 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) , (), f f P tP t A tA t P tP t B t Rt B t P tQ ttt t P tF 第27页/共54页 第28页/共54页 第29页/共54页 , 是同一最优状态调节器问题的 最优控制函数解。 * 1( ) t u和 *

15、2( ) t u 第30页/共54页 )()( * 2 * 1 ttuu和 *1*1* 1122 ( )( )( ) ( )( ),( )( )( ) ( )( )tRt B t P tttRt B t P tt uxux )()( * 2 * 1 ttxx和)()( * 2 * 1 ttuu和 00 * 2 * 2 1* 2 00 * 1 * 1 1* 1 )()()()()()()()( )()()()()()()()( xxxx xxxx tttPtBtRtBtAt tttPtBtRtBtAt )()( * 2 * 1 ttxx和 第31页/共54页 , 一地具有状态线性反馈律的形式。

16、n下面通过分析一个一阶系统的最 优状态调节器问题,进一步领会该 调节器的基本特性。 * 120 ( )( ) , f tttt t xx * 120 ( )( ) , f tttt t uu 第32页/共54页 式中,p(t)是如下黎卡提微分方程及边 界条件的解 0 00 222 ( )( )( ),( ) 11 ( )( )( )d 22 f t f t x tax tu tx tx Jfx tqx tru tt 1 ( )( ) ( )u tp t x t r 2 1 ( )2( )( ),() f p tap tp tqp tf r u*=-R-1BPx 1 0 ( )( )( )( )

17、( )( )( )( )( )( )( ), (), f f P tP t A tAt P tP t B t Rt Bt P tQ tttt P tF 第33页/共54页 () ( ) 2 d ( ) d 1 2( )( ) ff p tt p tt p s s ap spsq r 2() 2() / (- ) /- ( ) / 1 /- f f t t t t fra aae fra p tr fra e fra 2 1 ( )2( )( ),() f p tap tp tqp tf r 2 a r q 第34页/共54页 ( ) ( )( ) p t x tax t r 0 0 ( ) (

18、 )expd t p s x txas r 第35页/共54页 0 0 ( ) ( )expd t p s x txas r p2(t)/r p(t) - x =ax+bu 1/r x(t) u(t) p(0) 2a 2ap(t) p (t) + - q - + 图图7-7 状态最优调节器结构图状态最优调节器结构图 这是最优状态调节器在tf的一 个重要性质。 图7-7是例7-11的最优状态调节器 的结构图。 图中信号p(t)是对黎卡提微 分方程进行电子电路模拟的 结果,其初始信号p(0)是对黎 卡提微分方程的解在t=0时 的值。 1 ( )( ) ( )u tp t x t r 0 0 ( )

19、 ( )expd t p s x txas r 2() 2() / (- ) /- ( ) / 1 /- f f tt tt fra aae fra p tr fra e fra 2 a r q 第36页/共54页 要,状态x(t)将迅速被控制 到零值; nr很大意即控制u的价值较 重要,状态x(t)将由于控制 量投入得小,则衰减得很 慢。 图图7-8 不同不同r值最优状态调节器各变量变化轨迹值最优状态调节器各变量变化轨迹 1 ( )( ) ( )u tp t x t r 0 0 ( ) ( )expd t p s x txas r 2 () 2 () / (- ) /- ( ) / 1 /-

20、 f f tt tt fra aae fra p tr fra e fra 0 00 222 ( )( )( ),( ) 11 ( )( )( )d 22 f t f t x tax tu tx tx Jfx tqx tru tt 2 a r q 第37页/共54页 图图7-8 不同不同r值最优状态调节器各变量变化轨迹值最优状态调节器各变量变化轨迹 第38页/共54页 图图7-8 不同不同r值最优状态调节器各变量变化轨迹值最优状态调节器各变量变化轨迹 第39页/共54页 , 且该稳态值与末端 条件无关。 图图7-9 不同末端时刻不同末端时刻p(t)曲线曲线 这一事实可用如下数学关系式来说明。

21、22 )()(raqrarartpLim f t 2 () 2 () / (- ) /- ( ) / 1 /- f f tt tt fra aae fra p tr fra e fra 2 a r q 第40页/共54页 22 ( ) f t Lim p tarqra r 第41页/共54页 节器问题的条件就是得到定常最优状 态反馈律的条件。 n以定常最优状态反馈律构成闭环系统, 既大大减少了控制系统实施的困难性, 简化了系统的结构,又便于维护使用,无 论在理论上和工程上都具有较大价值。 1 0 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) , (), f f P

22、 tP t A tA t P tP t B t Rt Bt P tQ ttt t P tF dtttRtttQttFttuJ f t t ff 0 )()()()()()( 2 1 )()( 2 1 )( uuxxxx *1 ( )( ),( )( )( ) ( )tKtK tRt B t P t ux 第42页/共54页 , 和证明最优状态反馈律为定常的条 件以及定常的最优状态反馈解。 n线性定常系统在无限时间时最优 状态调节器问题的描述如下。 22 ( ) f t Lim p tarqra r 第43页/共54页 式中,Q为非负定常数矩阵; R为正定常 数矩阵。 00 ( )( )( ),( )tAtBttxxuxx 0 d)()()()( 2 1 )(ttRttQtJuuxxu dtttRtttQttFttuJ