线性代数chapter方阵的特征值与特征向量PPT学习教案

1、会计学1 线性代数线性代数chapter方阵的特征值与特征向方阵的特征值与特征向 量量 教学要求： 1. 理解方阵的特征值和特征向量的概念及性质; 2. 会求方阵的特征值和特征向量. 第1页/共29页 .义义特征值与特征向量的定特征值与特征向量的定一一 .质质特征值与特征向量的性特征值与特征向量的性二二 .法法特征值与特征向量的求特征值与特征向量的求三三 第2页/共29页 .义义特征值与特征向量的定特征值与特征向量的定一一 . , , 的特征向量的特征向量的对应于特征值的对应于特征值称为称为 非零向量非零向量的特征值的特征值称为方阵称为方阵这样的数这样的数那末那末成立成立 使关系式使关系式 维

2、非零列向量维非零列向量和和如果存在数如果存在数阶方阵阶方阵是是设设 A xA xAx xnnA 定义. 注意 ., 0言言的的特特征征值值问问题题是是对对方方阵阵而而特特征征向向量量 x 第3页/共29页 .质质特征值与特征向量的性特征值与特征向量的性二二 .)0( , . 1 00 00 的特征向量的特征向量的对应于的对应于也是也是则则 的特征向量的特征向量的对应于特征值的对应于特征值是是如果如果 Akkp Ap Proof. , 000 pAp )()( 00 ApkkpA )( 00 pk )( 00 kp . 00 的特征向量的特征向量的对应于的对应于是是 Akp . )0,( , .

3、 2 0212211 021 特征向量特征向量 的的的对应于的对应于也是也是不同时为不同时为则则 的两个特征向量的两个特征向量的对应于特征值的对应于特征值是是与与如果如果 Akkpkpk App 第4页/共29页 Proof. , 101 pAp )( 2211 pkpkA )()( 202101 pkpk )( 22110 pkpk , 202 pAp )()( 2211 ApkApk . 02211 的特征向量的特征向量的对应于的对应于是是 Apkpk 推广: .)0,( , 01 2211 021 的特征向量的特征向量的对应于的对应于也是也是不同时为不同时为 则非零线性组合则非零线性组合

4、 的特征向量的特征向量的对应于的对应于是是如果如果 Akk pkpkpk Appp s ss s 第5页/共29页 ., , , 3. 21 21 21 线性无关线性无关则则 向量向量依次是与之对应的特征依次是与之对应的特征 个特征值个特征值的各不相同的的各不相同的是方阵是方阵若若 m m m ppp ppp mA Proof. 使使设有常数设有常数 m xxx, 21 . 0 2211 mm pxpxpx , 0 2211 mm pxpxpxA则则 , 0 222111 mmm pxpxpx 即即 类推之, 有 . 0 222111 mm k m kk pxpxpx 1, 2 , 1 mk

5、第6页/共29页 把上述各式合写成矩阵形式，得 mm m m mm m px px px 22 11 11 2 1 1 21 111 0 0 0 于于是是有有可可逆逆 从从而而该该矩矩阵阵该该行行列列式式不不等等于于不不相相等等时时当当各各式式 列列阵阵的的行行列列式式为为范范德德蒙蒙行行上上式式等等号号左左端端的的系系数数矩矩 . , 0, i ,0 ,0 ,0, 2211 mm pxpxpx ., 2 , 10mjpx jj 即即, 0 j p但但 ., 2 , 10mjxj 故故 ., 21 线性无关线性无关所以向量组所以向量组 m ppp 第7页/共29页 注意 (1) 属于不同特征值

6、的特征向量是线性无关 的 (2) 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量 (3) 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值 第8页/共29页 .法法特征值与特征向量的求特征值与特征向量的求三三 ,xAx ,)(OxAE ,解解即上述矩阵方程有非零即上述矩阵方程有非零Ox 也就是含有n个未知数n个方程的方程组有非0解. . 0 AE 0 21 22221 11211 nnnn n n aaa aaa aaa 即即 由此可求得特征值. 第9页/共29页 ; 的特征多项式的特征多项式叫做叫做AAE

7、; )(的特征矩阵的特征矩阵叫做叫做AAE . 0的特征方程的特征方程叫做叫做AAE .0 )( 解解的非的非特征向量即为特征向量即为OxAE ,)( OxAE i 代入方程代入方程现将已求得的特征值现将已求得的特征值 , 0 1 的解的解若求得一个非若求得一个非 的全部特征向量为的全部特征向量为则对应于则对应于 i ).0( 1 kk , , 0 21 的解的解若求得两个非若求得两个非 的全部特征向量为的全部特征向量为则对应于则对应于 i ).0,( 212211 不同时为不同时为kkkk .)( , 21 的一个基础解系的一个基础解系就是就是且且OxAE i 第10页/共29页 求特征值与

8、特征向量的步骤: 0; )1( AEA 的特征方程的特征方程写出写出 ; 0 )2( i AE的全部根的全部根求出求出 . 0 , ,)( )3( 的全部特征向量的全部特征向量线性组合即为对应于线性组合即为对应于其非其非 求得一个基础解系求得一个基础解系代入代入将每个将每个 i i OxAE . 1111 1111 1111 1111 . 1 量量的全部特征值与特征向的全部特征值与特征向 求矩阵求矩阵 Aex 第11页/共29页 Solution. 1111 1111 1111 1111 AE)2()2( 3 ,0得得令令 AE . 2, 2 4321 为全部特征值为全部特征值 .)2(,2)

9、1( 1 OxAE 有有时时当当 3111 1311 1131 1113 )2(AE而而 0000 1100 1010 1001 第12页/共29页 44 43 42 41 xx xx xx xx 从而从而 1 1 1 1 4 4 3 2 1 x x x x x ).0( )1 , 1 , 1 , 1(2 1 kk的全部特征向量为的全部特征向量为对应于对应于 .)2(,2)2( 432 OxAE 有有时时当当 1111 1111 1111 1111 )2(AE而而 0000 0000 0000 1111 第13页/共29页 44 33 22 4321 xx xx xx xxxx 从而从而 1

10、0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 432 4 3 2 1 xxx x x x x 2的全部特征向量为的全部特征向量为对应于对应于 ).0,( )(1,0,0,1)(1,0,1,0)0 , 0 , 1 , 1( 321 321 不同时为不同时为kkk kkk 第14页/共29页 . 201 034 011 . 2的特征值和特征向量的特征值和特征向量求矩阵求矩阵 Aex Solution. 的特征多项式为的特征多项式为A . 1, 2 321 的特征值为的特征值为所以所以A . 0)2(,2 1 xAE解方程组解方程组时时当当 201 034 011 AE,)1)(2( 2 第15页/共

11、29页 001 014 013 )2(AE 33 2 1 0 0 xx x x 从而从而 .2)0( 1111 的全部特征向量的全部特征向量是对应于是对应于所以所以 kpk . 0)(,1 32 xAE解方程组解方程组时时当当 , 000 010 001 , 1 0 0 3 3 2 1 x x x x , 1 0 0 1 p基础解系为基础解系为 第16页/共29页 101 024 012 )(AE 33 32 31 2 xx xx xx 从而从而 .1)0( 32222 的全部特征向量的全部特征向量是对应于是对应于所以所以 kpk , 000 210 101 , 1 2 1 2 p基础解系为基

12、础解系为 , 1 2 1 3 3 2 1 x x x x 第17页/共29页 注意: ,)1( 0 的特征值的特征值是是若若A AE 0 则则 )( 0 AEr OxAE )( 0 , 0 , n 有非0解. 的的为为则称则称重根重根的的为为若若 00 ,0)2( kkAE .代数重数代数重数 的的称其为称其为的个数为的个数为 的基础解系中所含向量的基础解系中所含向量得得对应于对应于 00 00 ),( )(, AErankn OxAE .几何重数几何重数 结论1. 方阵A的特征值的几何重数不超过 它的代数重数. 结论2. 对角阵、上三角阵、下三角阵的特征值 即为其主对角线上的元素. 结论3.

13、 .的特征值相同的特征值相同与与方阵方阵AA 第18页/共29页 结论4. ,)( 21 则则有有 的的特特征征值值为为阶阶方方阵阵设设 nij aAn ; )1( 221121nnn aaa . )2( 21 A n 结论5. 若 是矩阵 A的特征值, x是 A的属于 的特征 向量, 则 .)1(是任意常数是任意常数的特征值的特征值是是kkAk .,)3( 11 的特征值的特征值是是可逆时可逆时当当 AA .)2(是正整数是正整数的特征值的特征值是是mAm m .,)4( *1 的特征值的特征值是是可逆时可逆时当当AAA .)()(,)5(的特征值的特征值是是为多项式函数时为多项式函数时当当

14、Afff 第19页/共29页 Proof. ,)1(xAx ),()(xkAxk ,)()(xkxkA .的特征值的特征值是是kAk ,)2(xAx xAAxA Ax x 再继续施行上述步骤 次，就得 2 mxxA mm . , 征向量征向量 的特的特对应于对应于是是且且的特征值的特征值是矩阵是矩阵故故 mmmm AxA , 0,)3( 可可逆逆时时当当A可得可得由由xAx , 11 xAAxA ),( 1x Ax 第20页/共29页 xxA 11 . , 1111 的的特特征征向向量量 对对应应于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩阵阵故故 AxA , 0,)4( 可可逆逆时时当当A可得可得由

15、由xAx , * xAAxA ),( * xAxA , * x A xA . , * 的的特特征征向向量量 对对应应于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩阵阵故故 A AxA A (5) 类似可证, 第21页/共29页 xEaAaAaxAf n n n n )()( 0 1 1 ExaxAaxAa n n n n0 1 1 xaxaxa n n n n0 1 1 xaaa n n n n )( 0 1 1 xf)( . )()(,)()( 的的特特征征向向量量 对对应应于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩阵阵故故 fAfxAff 第22页/共29页 .5,5 , 2 , 1, 1 3 . 3 *

16、23 EABAAAB Aex 与与的特征值的特征值计算计算 设矩阵设矩阵的特征值为的特征值为阶矩阵阶矩阵已知已知 Solution. , 22)1(1 A , * A A 的特征值的特征值. 1, 2 , 2 即即 , 2 , 1, 1 时时的特征值为的特征值为当当 A, 8 , 1, 1 3 的特征值为的特征值为A , 4 , 1 , 1 2的特征值为 的特征值为A ,12, 6, 4 的特征值为的特征值为B288)12)(6)(4( B , 3, 6, 4 )5( 的特征值为的特征值为EA .72)3)(6)(4(5 EA 第23页/共29页 . 0,)2( . 10,(1) . 4 2

17、的特征值全为的特征值全为则则若若 和和的特征值只有的特征值只有则则若若 AOA AAAex k Solution. 则则对应的特征向量为对应的特征向量为有特征值有特征值设设,xA xAx ,(1)得得左乘左乘A)( 2 xAxA x 2 , 2 AA 又又xAx 2 xx 2 , 0)1( x ,Ox 又又, 0)1( . 1, 0 或或 ,1(2)得得次左乘次左乘Ak xxA kk ,OAk ,Ox k ,Ox 又又. 0 第24页/共29页 . 0 , 0, . 5 则则若若的特征值的特征值为方阵为方阵设设AAex Proof. xAx 法1. , 0 反设反设)( 1 xAx 则则, 0

18、)( 1 xA . 0 矛盾矛盾与与 x . 0 法2. , 0 反设反设, 0 xAx 则则, 0 x又又 ,00 解解有非有非则则 Ax, 0 A故故. 0 矛盾矛盾与与 A . 0 法3. , 0 反设反设 , 0)1(0 AAAE n 故故 . 0 矛盾矛盾与与 A . 0 法4. , 0 21 n A . 0 i 第25页/共29页 ex6. 设A是 阶方阵，其特征多项式为 n 01 1 1 aaaAEf n n n A .的特征多项式的特征多项式求求AT Solution. A Ef T AT 01 1 1 aaa n n n TAE AE 第26页/共29页 .1, 1, . 7的特征值的特征值是是证明证明已知已知AAEAAex Proof. AEAE n )1(0 ? AA