学习勾股定理要注意的六个方面

1、学习勾股定理要注意的六个方面勾股定理是平面几何中的重要定理，应用极其广泛，然而在初学勾股定理时，许多同学在解题中还 是会出现一些这样或那样的错误，本文奉上“六点注 意”，供同学们学习时参考。一、注意正确使用勾股定理二、注意定理存在的条件例2:在边长为整数的厶ABC中，ABBC，如果AC=4 , BC=4，求 AB 的长。错解： ABBCAC，由勾股定理得： AB2=AC2+BC2 ，求得 AB=5 。分析：此题没有指明是直角三角形，因此只能用 三角形三边的关系定理。正解：从 BC 三、注意防止漏解例 3:在 RtAABC 中，a=5, b=12,求 c。错解：由勾股定理有c2=a2+b2=16

2、9,从而c=13。分析：上述解答错在题目中没有明确哪个角为直 角，因而默认/ C为直角是片面的。事实上由ba知 ZB也可能为直角，故本题解答遗漏了这一种情况。正解：本题分两种情况：（1）Z C为直角，由勾 股定理有c2=a2+b2=169,从而c=13。(2) Z B为直角， 由勾股定理，此时 c四、注意整体思想应用例4:直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm, 求直角三角形的面积。分析：设此直角三角形两直角边分别是 x, y,若 要直接求出 x、y 的值,要用二次方程求解较麻烦。 但 由 x+y 和 x2+y2 联想到运用整体思想(将 xy 视为一 个整体),问题便可顺利获解。解：设此直角

3、三角形两直角边分别是 x，y,根据 题意得：x+y+5=12( 1 ) x2+y2=52( 2)由( 1)得： x+y=7,( x+y) 2=49, x2+2xy+y2=49 ( 3)(3) -(2),得： xy=12,二直角三角形的面积是xy= x 12=6 (cm2)。五、注意创造条件应用例 5：等边三角形的边长为 4,求它的面积。 分析：要求三角形的面积, 必须做出三角形的高, 从而为应用勾股定理创造条件。解：如图，等边 ABC,作AD丄BC于D, (注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a,则其面积为a2)六、注意类比拓展应用例 6：(2005 年临沂市) ABC 中， BC=a，

4、 AC=b，AB=c，若/ C=90,如图1,根据勾股定理，则 a2+b2=c2,若厶ABC不是直角三角形，如图2和图3, 请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证 明你的结论。分析：要类比勾股定理，就要把斜三角形化为直 角三角形，即化斜为直，最常用的方法是作锐角或钝 角三角形的高。解：若 ABC是锐角三角形，则有a2+b2c2;若厶ABC是钝角三角形，/ C为钝角，则有 a2+b20? x0，2ax0，a2+b2c2。(2)当厶ABC是钝角三角形时，过点B作BDAC , 交 AC 的延长线于点 D 。(图 5)设 CD 为 x,则有 DB2=a2-x2,根据勾股定理得( b+x) 2+a2-x2=c2，即 b2+2bx+x2+a2-x2=c2，二 a2+b2+2bx=c2。t b0, x0,2bx0, a2+b2c2o评注：该题以学生熟悉的勾股定理为线索，让学 生类比勾股定理，探索一般三角形中 a, b, c三边的 关系，充分体现了课程标准提出的“能通过观察、 实验归纳、类比等获得数学猜想, 并进一步寻求证据、 给出证明或提出证据”的要求。本题主要考查勾股定 理、不等式性质的灵活运用