沪科版八年级下《17.2一元二次方程的解法》教学设计

1、17.2 元二次方程的解法1. 配方法学习目标1 学会用直接开平方法解形如(x+ m)2 = n(nO)的一元二次方程；(重点)2理解配方法的思路，能熟练运用配方法解一元二次方程.(难点)教学过程一、情境导入一块石头从20m高的塔上落下，石头离地面的高度h(m)和下落时间x(s)大致有如下关系：h= 5x2,问石头经过多长时间落到地面？二、合作探究探究点一：用直接开平方法解一元二次方程x2 16= 0;(2)3x2 27= 0;(3)(x 2)2= 9;(4)(2y 3)2= 16.解析：用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，再根据平方根的定义求

2、解.注意开方后，等式的右边取 “正、负”两种情 况.解：(1)移项，得x2= 16.根据平方根的定义，得x= 1,即X1 = 4, X2= 4;(2) 移项，得3x2= 27.两边同时除以3,得x2 = 9根据平方根的定义，得x= 3,即x= 3,X2= 3;(3) 根据平方根的定义，得 x 2= 3,即卩x 2 = 3或x 2 = 3，即X1= 5, X2= 1 ；71根据平方根的定义，得 2y 3= 4，即2y 3= 4或2y 3= 4,即y1 = ?, y2=方法总结：直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，它的理论依据是平方根的定义，它的可解类型有如下几种：x2= a(a0);(x

3、+ a)2 = b(b0):(ax+ b)2= c(c0);(ax+ b)2= (cx+ d)2(|a|z |c|).变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第8题探究点二：用配方法解一元二次方程【类型一】 用配方法解一元二次方程用配方法解下列方程:(1) x2 2x 35= 0; 3x2 + 8x 3= 0.解析：当二次项系数是1时，先把常数项移到右边，然后左、 右两边同时加上一次项系 数一半的平方，把左边配方成完全平方式，即为(x+ m)2= n(n0)的形式，再用直接开平方法求解；当二次项系数不是 1时，先将二次项系数化为 1，再用配方法解方程.解:(1)移项，得 x2 2x= 35

4、.配方，得 x2 2x+ 12= 35+ 12, 即 (x 1)2 = 36直接开平方, 得x 1 =5.所以原方程的根是 X1= 7, X2= 5;2828284 2方程两边同时除以 3,得x2 + 3X 1 = 0.移项，得x2+ x= 1.配方，得x2 + x+(3)2= 1 +(4)2,即(x+ 4)2 = (3)2.直接开平方，得x+ 3 = 3.所以原方程的根是 X1 = 3，X2= 3.方法总结：运用配方法解一元二次方程的关键是先把一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，然后在方程两边同时添加常数项，使其等于一次项系数一半的平方.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升

5、”第【类型二】 利用配方法求代数式的值已知 a2 3a+ b2 | + 器=0，求 a 4 b的值.解析：观察方程可以知道，原方程可以用配方法转化为两个数的平方和等于0的形式,得到这两个数都为 0,从而可求出a, b的值，再代入代数式计算即可.解：原等式可以写成：(a 2+ (b 1)2= 0.3131二 a 厂 0, b 4= 0，解得 a= 3, b =-a 41 b=12第5页共5页通过配方把等式转化为方法总结：这类题目主要是配方法和平方的非负性的综合应用, 两个数的平方和等于 0的形式是解题的关键.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第11题【类型三】 利用配方法求代数式的最值

6、或判定代数式的取值范围请用配方法说明：不论 x取何值，代数式x2 5x+ 7的值恒为正.解析：本题是要运用配方法将代数式化为一个平方式加上一个常数的形式.55535解：/x2 5x+ 7 = x2 5x+ (；)2+ 7 (2)2= (X -)2+ :，而(x矿 0,代数式x2 5x+ 7的值恒为正.方法总结：对于代数式是一个关于 x的二次式且含有一次项， 在求它的最值时，常常采根据一个数的平方是一个10题用配方法，将原代数式变形为一个完全平方式加一个常数的形式, 非负数，就可以求出原代数式的最值.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第2. 公式法学习目标1 理解一元二次方程求根公式的

7、推导过程；(难点)2 会用公式法解一元二次方程；(重点)教学过程一、情境导入如果一元二次方程是一般形式ax2+ bx + c= 0(a工0)，你能否用配方法求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题.问题：已知ax2 + bx+ c= 0(a 0)且b2 4ac 0,试推导它的两个根X1 =b+ . b2 4ac2ab . b2 4ac2a .二、合作探究探究点一：一元二次方程的求根公式方程3x2 8= 7x化为一般形式是，其中a=c=，方程的根为解析：将方程移项化为 3x2 7x 8 = 0其中a= 3, b= 7, c= 8因为b2 4ac= 49 7土VT454X 3X ( 8) = 1

8、450,代入求根公式可得 x=6故答案为 3x2 7x 8= 0, 3, 7,7VT458, x = 6方法总结：一元二次方程ax2 + bx+ c= 0(a 0)的根是由方程的系数 a, b, c确定的，只要确定了系数a, b, c的值，代入公式就可求得方程的根.变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第4题探究点二：用公式法解一元二次方程B用公式法解下列方程：(1) 3x2 5x+ 2 = 0;(2) 2x2 + 3x+ 3= 0;(3) 3x2 12x+ 3 = 0.解：(1)将3x2 5x+ 2 = 0 两边同乘以1 得 3x2+ 5x 2= 0./ a= 3, b= 5, c=-

9、 2, 5 49 571b2 4ac= 52 4X 3X ( 2) = 49 0, x=,. Xi = , X2= 2；2X 363(2) / a = 2, b = 3, c= 3, b2 4ac= 32 4X 2X 3= 9 24= 15v 0,原方程没有实 数根； T a = 3, b= 12, c = 3,b2 4ac= ( 12)2 4X 3X 3= 108,.1208.x 2X 32士，3, x1 2+ ；3,X2 2、：F3.方法总结：用公式法解一元二次方程时，首先应将其变形为一般形式，然后确定公式中a, b, c的值，再求出b2 4ac的值与0”比较，最后利用求根公式求出方程的根

10、(或说明其没有实数根).变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第6题3. 因式分解法学习目标1.理解并掌握用因式分解法解方程的依据；(难点)2会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.(重点)教学过程一、情境导入我们知道ab 0,那么a= 0或b = 0,类似的解方程(x+ 1)(x 1)= 0时，可转化为两个 元一次方程 x+ 1 0或x 1 0来解，你能求(x+ 3)(x 5) 0的解吗？、合作探究探究点：用因式分解法解一元二次方程【类型一】利用提公因式法分解因式解一元二次方程用因式分解法解下列方程:(1) x2 + 5x= 0;(2) (x 5)(x 6) x 5.解析：变形后方程右

11、边是零，左边是能分解的多项式，可用因式分解法.解：(1)原方程转化为x(x+ 5) 0, 所以x= 0或x+ 5 0, 所以原方程的解为 X1= 0, X2= 5;(2)原方程转化为(x 5)(x 6) - (x 5) = 0,所以(x 5)(x 6) 1 = 0,所以(x 5)(x 7) = 0,所以 x 5= 0 或 x 7= 0,所以原方程的解为xi= 5, x2= 7.方法总结：利用提公因式法时先将方程右边化为0，观察是否有公因式，若有公因式,就能快速分解因式求解.变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】利用公式法分解因式解一元二次方程用公式法分解因式解下列方程:(1) x2 6x= 9;(2) 4(x 3)2 25(x 2)2 = 0.解：(1)原方程可变形为x2 6x+ 9= 0,则(x 3)2= 0,x 3= 0,原方程的解为xi = X2 = 3 ；(2)2(x 3)2 5(x 2)2 = 0,2(x 3) + 5(x 2)2( x 3) 5(x 2) = 0, (7x 16)(