理学机械能守恒PPT学习教案

1、会计学1 理学机械能守恒理学机械能守恒 t W P 功率用来表征力对质点做功的快慢，即单位时间所做的功。功率用来表征力对质点做功的快慢，即单位时间所做的功。 dt dW t W limP 0t vF dt rd F dt dW P t t PdtW 平均功率：平均功率： 瞬时功率：瞬时功率： 由功的定义：由功的定义： 由功率求功：由功率求功： 第1页/共31页 方向不变的作用力方向不变的作用力F = 6t (SI)，作用在一质量为，作用在一质量为2kg的物体上，物体从静止开始运动，求此作用力的瞬时功率和前的物体上，物体从静止开始运动，求此作用力的瞬时功率和前2s内做的功。内做的功。 由题意，物

2、体将从静止开始作方向不变的直线运动。由题意，物体将从静止开始作方向不变的直线运动。 tdt3dt m F dv dt dv mF )s/m(t5 . 1t 2 3 tdt3v 2 t 0 2 )W(t9FvP 3 此作用力此作用力F在前在前2s内所做的功：内所做的功： )J(0 .36t 4 9 dtt9PdtW s2t 4 2 0 2 0 3 返回返回 第2页/共31页 当一个物体具有对其它物体做功的能力时，则称该物体具有一定的能量。当一个物体具有对其它物体做功的能力时，则称该物体具有一定的能量。能量是物体运动状态的函数能量是物体运动状态的函数。 动能动能 因物体运动而具有的能量，是速度的函

3、数；因物体运动而具有的能量，是速度的函数； 势能势能 与物体在力场中位置有关的能量，是位置的函数。与物体在力场中位置有关的能量，是位置的函数。 c A B rd F 0 v v 质点在曲线上任意点质点在曲线上任意点c时，变力所做的元功：时，变力所做的元功： dscosFrdFdW dt dv mmaFcosF tt dvmvds dt dv mdW 第3页/共31页 质点从质点从A运动到运动到B时，变力所做的总功为：时，变力所做的总功为： 2 0 2 v v B A mv 2 1 mv 2 1 dvvmrdFW 0 定义：质点的动能定义：质点的动能 2 k mv 2 1 E （ 单位：单位：J

4、 ） 力对质点所做的功等于质点动能的增量。力对质点所做的功等于质点动能的增量。 k0kk EEEW 功和能是两个不同的物理量。功是过程量（保守力的功除外），能量为状态量。能量的变化必需通过做功来实现。功和能是两个不同的物理量。功是过程量（保守力的功除外），能量为状态量。能量的变化必需通过做功来实现。 所以：所以：功是质点能量变化的量度功是质点能量变化的量度。 质点的动能定理：质点的动能定理： 第4页/共31页 质点系的动能定理：质点系的动能定理： 设质点系由设质点系由n个质点组成。个质点组成。 1 i j 外外i F 外外1 F 外外j F i1 F 1i F 1j F ij F ji F j

5、1 F )ij(FFFFF n 1j ijiiii 外外内内外外 ki n 1j B A ij B A i B A ii ErdFrdFrdFW i i i i i i 外外 第第i个质点所受外力和内力之和：个质点所受外力和内力之和： 由质点的动能定理：由质点的动能定理： k n 1i ki n 1i n 1j B A ij n 1i B A i n 1i i EE)rdF(rdFWW i i i i 外外 外力的功外力的功 内力的功内力的功 外力和内力对质点系所做的功等于质点系动能的增量。外力和内力对质点系所做的功等于质点系动能的增量。 质点系的动能定理：质点系的动能定理： 第5页/共31页

6、 内力对质点系所做的功可以改变质点系的动能。内力对质点系所做的功可以改变质点系的动能。 内力对质点系的冲量不改变质点系的动量。内力对质点系的冲量不改变质点系的动量。 1 i j 外外i F 外外1 F 外外j F i1 F 1i F 1j F ij F ji F j1 F dtFdtFIdIdId jiijjiij 内内 0dt)FF( ijij i j i rd ij F ji F j rd jijiij rdFrdFdW 内内 虽然：虽然： ijij FF 但是一般：但是一般： ji rdrd 所以：所以：dW内内一般不等于零。一般不等于零。 第6页/共31页 质量为质量为m的小球系在长为

7、的小球系在长为l的细绳下端，绳的上端固定，先使细绳保持水平静止，然后使小球自由下落，求细绳与水平方向成的细绳下端，绳的上端固定，先使细绳保持水平静止，然后使小球自由下落，求细绳与水平方向成角时，小球的速率角时，小球的速率v和细绳所受的张力和细绳所受的张力T 。 dcosmgldscosmgrdgmdW sinmgldcosmglW 0 因为张力不做功，由动能定理：因为张力不做功，由动能定理： 2 k mv 2 1 EW singl2m/W2v l v mmasinmgT 2 n sinmg3T 求求得得： 重力对小球所做的功：重力对小球所做的功： olA B T gm rd d 第7页/共31

8、页 一物体由斜面底部以初速度一物体由斜面底部以初速度v0=10m/s向斜面上方运动，到达最高处后又沿斜面下滑。因物体和斜面的摩擦，滑到底部时速度变为向斜面上方运动，到达最高处后又沿斜面下滑。因物体和斜面的摩擦，滑到底部时速度变为vf=8m/s 。已知斜面倾角为。已知斜面倾角为=30 ，求物体所能到达的高度和摩擦因数，求物体所能到达的高度和摩擦因数 。 0 v h N r f gm 0v f v h N r f gm 0v 物体向上运动时：物体向上运动时： 物体向下运动时：物体向下运动时： )1(cosmglsinmglmv 2 1 0 2 0 )2(cosmglsinmgl0mv 2 1 2

9、f (2)-(1): gh2singl2)vv( 2 1 2 0 2 f m2 . 4 g4 vv h 2 0 2 f (2)+(1): cos sin h g2cosgl2)vv( 2 1 2 0 2 f 127. 0tan vv vv 2 f 2 0 2 f 2 0 返回返回 第8页/共31页 1、重力的功、重力势能：重力的功、重力势能： 一质点在重力场中沿曲线由一质点在重力场中沿曲线由A运动到运动到B ，则重力做功：，则重力做功： B A B A dscosmgrdgmW 重重 )mghmgh(dhmg 0 h h0 结论：结论：重力做功与路径无关，只和质点的始、末位置有关重力做功与路径

10、无关，只和质点的始、末位置有关。 因此：可定义一个与质点在重力场中位置（高度）有关的物理量，称为因此：可定义一个与质点在重力场中位置（高度）有关的物理量，称为重力势能重力势能。 mghE p p0pp E)EE(W 重重 重力对质点所做的功等于质点重力势能增量的负值重力对质点所做的功等于质点重力势能增量的负值。 h h0 A B dh x y o gm rd 第9页/共31页 设弹簧自然伸长时，质点处在设弹簧自然伸长时，质点处在o点。点。 由胡克定律：由胡克定律： kxf 当质点从当质点从x0运动到运动到x时，弹性力做功：时，弹性力做功： x x 2 0 2 0 )kx 2 1 kx 2 1

11、(xdxkW弹 弹 x O l0 x f x0 结论：结论：弹性力做功与路径无关，只和质点的始、末位置有关弹性力做功与路径无关，只和质点的始、末位置有关。 定义：弹性势能定义：弹性势能 2 p kx 2 1 E p0pp E)EE(W 弹弹 弹性力对质点所做的功等于质点弹性势能增量的负值弹性力对质点所做的功等于质点弹性势能增量的负值。 第10页/共31页 M mA B p d r F rd A r r B r 质量为质量为m的质点在质量为的质点在质量为M的质点的万有引力作用下沿曲线运动。的质点的万有引力作用下沿曲线运动。 m所受的引力为：所受的引力为： 2 r mM GF B A r r 2

12、B A B A dr r GmM dscosFrdFW 引引 ) r GmM () r GmM ( r GmM AB r r B A 引力势能的引力势能的零点零点通常取在无穷远处。通常取在无穷远处。 而空间某点处的而空间某点处的引力势能引力势能定义为：定义为：将质点从该点移至无穷远处（势能零点）时，万有引力所做的功将质点从该点移至无穷远处（势能零点）时，万有引力所做的功。 结论：结论：引力做功与路径无关，只和质点的始、末位置有关引力做功与路径无关，只和质点的始、末位置有关。 drdr 注意 第11页/共31页 ) r GmM () r GmM (W AB 引引 令令 ，则，则A点的引力势能为：

13、点的引力势能为： B r A pA r GmM E ppApB E)EE(W 引引 引力对质点所做的功等于质点引力势能增量的负值引力对质点所做的功等于质点引力势能增量的负值。 地球表面的物体所受的重力即为万有引力，在地面上不太高的地球表面的物体所受的重力即为万有引力，在地面上不太高的h处，引力势能为：处，引力势能为： mghh R GM m) R 1 hR 1 (GmME 2 E Ep 其中：其中： 2 2 E s/m80. 9 R GM g 即为地球表面附近的重力加速度。即为地球表面附近的重力加速度。 第12页/共31页 “任意两点间做功与路径无关任意两点间做功与路径无关”与与“沿任意闭合路

14、径做功为零沿任意闭合路径做功为零”这两种说法是等效的。这两种说法是等效的。 A B x y o L1 L2 rdFrdFrdF 21 L A B L B A 0rdFrdF 21 L B A L B A 满足上式的作用力称为保守力，即：满足上式的作用力称为保守力，即： 0rdF 保保 保守力做功与路径无关，说明在保守力场中存在一个仅由空间位置决定的物理量，该物理量即为势能。保守力做功与路径无关，说明在保守力场中存在一个仅由空间位置决定的物理量，该物理量即为势能。 由前面讨论知：保守力做功等于势能增量的负值。由前面讨论知：保守力做功等于势能增量的负值。 p0pp E)EE(W 保保 第13页/共

15、31页 不能满足不能满足 的力称为的力称为非保守力非保守力（如摩擦力等）。（如摩擦力等）。 0rdF 对非保守力场，不能引入对非保守力场，不能引入“势能势能”的概念。的概念。 空间两点间的势能差具有确定的值，但空间某一点的势能值是相对的。只有当势能零点选定以后，空间各点的势能才有确定的值。空间两点间的势能差具有确定的值，但空间某一点的势能值是相对的。只有当势能零点选定以后，空间各点的势能才有确定的值。 保守力是物体间的相互作用，所以势能属于相互作用的物体系统：保守力是物体间的相互作用，所以势能属于相互作用的物体系统： 重力势能属于质点和地球组成的重力势能属于质点和地球组成的“重力系统重力系统”

16、； 弹性势能属于质点和弹簧组成的弹性势能属于质点和弹簧组成的“弹性系统弹性系统”； 引力势能属于相互作用的两个质点组成的引力势能属于相互作用的两个质点组成的“引力系统引力系统”。 返回返回 第14页/共31页 根据质点系的根据质点系的动能定理动能定理： 定义：定义：系统的总动能和总势能之和称为系统的机械能系统的总动能和总势能之和称为系统的机械能。 质点系的功能原理：质点系的功能原理：外力和非保守内力对质点系所做的功等于系统机械能的增量。外力和非保守内力对质点系所做的功等于系统机械能的增量。 k0kk EEEWWWWWW 保内保内非保内非保内外外内内外外 p0pp E)EE(W 保保内内 )EE

17、()EE(WW 0p0kpk 非非保保内内外外 pk EEE EEEWW 0 非保内非保内外外 第15页/共31页 当当W外 外= 0、 、W非保内 非保内= 0 时 时 ： 机械能守恒定律：机械能守恒定律：当外力和非保守内力做功的代当外力和非保守内力做功的代 数和为零时，系统内的动能和势能可以相互转化数和为零时，系统内的动能和势能可以相互转化 ，但总的机械能保持不变。，但总的机械能保持不变。 机械能守恒定律是能量转化和守恒定律在机械运机械能守恒定律是能量转化和守恒定律在机械运 动中的表现形式。动中的表现形式。 00kpkp EEEE恒量 第16页/共31页 质量分别为质量分别为m1和和 m2

18、的的两块木板用质量可忽略的弹簧相连并置于地上。求对上面的木板必须施以多大的正压力，才能使该力撤去后上面的木板跳至最高点时，下面的木板刚好能被提离地面。两块木板用质量可忽略的弹簧相连并置于地上。求对上面的木板必须施以多大的正压力，才能使该力撤去后上面的木板跳至最高点时，下面的木板刚好能被提离地面。 F m1 m2 x1 x2 N o x 取弹簧自然伸长时取弹簧自然伸长时m1的位置为弹性势能和重力势能的零点。的位置为弹性势能和重力势能的零点。 上板受压时：上板受压时： 11 kxgmF 上板跳至最高点时，上板跳至最高点时，N=0： 22 kxgm 由机械能守恒：由机械能守恒： )3(gxmkx 2

19、 1 gxmkx 2 1 21 2 211 2 1 )2( k gm x 2 2 )1( k gmF x 1 1 第17页/共31页 将将(1)、(2)、两式代入、两式代入(3)式并化简得：式并化简得： 0g)mm2m()Fgm(gm2)Fgm( 21 2 211 2 1 解上式得：解上式得： g)mm(F 21 讨论：由最后结果看，若交换讨论：由最后结果看，若交换m1、 、 m2 ，结果不变。 ，结果不变。 返回返回 第18页/共31页 两个或多个物体在一极短的时间内以相当大的作用力（冲击力）相互作用的过程称为碰撞。碰撞时，除冲击力外，其它相对较弱的力可忽略不计。两个或多个物体在一极短的时间

20、内以相当大的作用力（冲击力）相互作用的过程称为碰撞。碰撞时，除冲击力外，其它相对较弱的力可忽略不计。 所以，以相互碰撞的物体为系统时，系统的总动量守恒：所以，以相互碰撞的物体为系统时，系统的总动量守恒： 设两球作对心碰撞（正碰撞）设两球作对心碰撞（正碰撞） 碰撞前后两球速度在同一直线上。碰撞前后两球速度在同一直线上。 pppppp 321321 1 v 2 v v1 v2 f f 第19页/共31页 1 v 2 v v1 v2 f f 动量守恒：动量守恒： 牛顿碰撞定律：牛顿碰撞定律： )1(vmvmvmvm 22112211 )2( vv vv e 21 12 称为称为分离速度分离速度 vv

21、 12 称为称为接近速度接近速度 21 vv e 称为称为恢复系数恢复系数，由材料决定，可由实验测出。，由材料决定，可由实验测出。 第20页/共31页 0 e m1 ，v2=0，则则 0v,vv 211 如：弹性小球对墙、气体分子对容器壁的碰撞等。如：弹性小球对墙、气体分子对容器壁的碰撞等。 等大球碰撞等大球碰撞 小球碰大球小球碰大球 第23页/共31页 vvv,0e 21 由上由上式或由式或由(3)、(4) 、(5)式得：式得： 小球产生的形变完全不能恢复，碰撞后两小球合在一起以同样的速度运动，但系统的动量仍守恒。小球产生的形变完全不能恢复，碰撞后两小球合在一起以同样的速度运动，但系统的动量

22、仍守恒。 v )mm(vmvm 212211 21 2211 mm vmvm v 2 21 21 21 kkk )vv( )mm(2 mm EEE 在完全非弹性碰撞中，能量（动能）的损失最大。在完全非弹性碰撞中，能量（动能）的损失最大。 第24页/共31页 粒子粒子A以初速度以初速度v0 =300m/s与另一静止的同种粒子与另一静止的同种粒子B发生完全弹性碰撞。碰撞后粒子发生完全弹性碰撞。碰撞后粒子A以以1=30方向被散射，求两个粒子碰撞后的速率方向被散射，求两个粒子碰撞后的速率v1、 v2和第二个粒子运动的方向和第二个粒子运动的方向2 。 0 v 1 v 2 v AB A B m 1 2 0

23、 v 1 v 2 v 1 2 这是一个二维的非对心完全弹性碰撞，动量和动能均守恒。这是一个二维的非对心完全弹性碰撞，动量和动能均守恒。 动量守恒：动量守恒： 210210 vvvppp 组成一个三角形。组成一个三角形。、即：即： 210 vvv 机械能守恒：机械能守恒： 2 2 2 1 2 0 2 2 2 1 2 0 vvvmv 2 1 mv 2 1 mv 2 1 组成一个直角三角形。组成一个直角三角形。、即：即： 210 vvv 第25页/共31页 0 v 1 v 2 v 1 2 2 2 2 1 2 0 vvv 6090 s/m150sinvv s/m260cosvv 12 102 101

24、0 v 1 v 2 v AB A B m 1 2 事实上：两个同种粒子经完全弹性的非对称碰撞后总是沿着相互垂直的方向散射。（见事实上：两个同种粒子经完全弹性的非对称碰撞后总是沿着相互垂直的方向散射。（见P.50例题例题3-6） 第26页/共31页 用冲击摆测子弹的速度：设摆长用冲击摆测子弹的速度：设摆长l ，木块质量，木块质量M，子弹质量，子弹质量m。子弹与木块作完全非弹性碰撞，摆线的最大摆角。子弹与木块作完全非弹性碰撞，摆线的最大摆角0，求：子弹击中木块时的速度，求：子弹击中木块时的速度v0 。 子弹与木块间的冲击力很大，以子弹、木块为系统时，动量守恒。设子弹射入木块后两者的共同速度为子弹与木块间的冲击力很大，以子弹、木块为系统时，动量守恒。设子弹射入木块后两者的共同速度为v，则：则： mM mv vv )mM(mv 0 0 子弹与木块一起运动到摆至最高点的过程中，绳的张力不做功，机械能守恒：子弹与木块一起运动到摆至最高点的过程中，绳的张力不做功，机械能守恒： mM vm 2 1 v )mM( 2 1 gh)mM( 2 0 2 2 )cos1(g