测量误差与检测分析PPT学习教案

1、会计学1 测量误差与检测分析测量误差与检测分析PPT课件课件 %0 . 5%,5 . 2%,5 . 1%,0 . 1%,5 . 0%,2 . 0%,1 . 0 %K %K K K m x 1 x % 1 Kxm x %100 % 1 1 x Kxm x 需要强调指出，仪器，仪表的等级 ，所表明的是其最大 引用误差在 范围内，不能误认为在量程内各示值的相对 误差均在 以内。例如：量程为 的 级仪器，当示值 为 时，其绝对误差为： 相对误差为： 第1页/共66页 %88. 1%100 80 %5 . 0300 x %25. 1%100 80 %0 . 1100 x 如使用100V，1.0级电表，

2、示值相对误差为： 故选用100V，1.0级电表为好。 第2页/共66页 第3页/共66页 第4页/共66页 第5页/共66页 第6页/共66页 第7页/共66页 第8页/共66页 Ku 第9页/共66页 , 21,x x n x i x 2 2 2 )( 2 1 )( i x i exP n i i x n 1 2 )( 1 u n i i x n u 1 1 uxi 其中 标准误差 理论均值 剩余误差 第10页/共66页 3%27. 0p 3 0 1 lim n n i i n 有界性： 随机误差 时的概率 ，因此把 作为单次测量随机误差的界限。 相互补偿性：当测量次数增加到无限多次时，随机

3、误差的算术平均值趋于零。 第11页/共66页 u u u u xx n u n i i 1 1 理论均值是无限多次重复测量的结果；实际上， 也是难于求得的。因此，如果能求得 的最佳估计值， 就可以把它作为最信赖的实际测量结果。由最小二乘法 可证明： 的无偏估计 为算数平均值。即： 第12页/共66页 2 n i i xx n 1 2 2 1 1 n i i xx n 1 2 1 1 或标准差 。 总体方差与标准差也是一个理想的概念，也必须求得它的最佳估计值才有实际意义。 上式称为贝塞尔公式，适用于测量次数较多的情况。 第13页/共66页 第14页/共66页 x 21,x x 2 1 2 2 2

4、 21 2 1 x x ux dxexxx ux t ux t 1 1 ux t 2 2 服从正态分布的随机变量 落在 区间的概率为： 设： 即： 第15页/共66页 12 0 2 0 22 2121 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 tt dtedtedte tuxtuxxx t t t t t t t t t dtet 0 2 2 2 1 tt 则： 把称为标准型正态分布，也称为 拉普拉斯函数，具体数值可查表，其中 第16页/共66页 ttt 12 12ttttuxtu tutu, t 10 1 实际测试中，服从正态分布的随机误差区间相对对称，即 ，上式可表示为： 式中：

5、 置信区间 置信系数 危险率(或称显著水平，不可信度) 取 置信概率 第17页/共66页 3 3 m 3 由图可见，随机误差超出 的概率只有0.27%， 已近乎不可能出现。因此在测试中通常把 称为最大极限随机误差，并用它来评定测量的精密度。 (称为 “准则”) 第18页/共66页 j x j x u x x n i ix xx nnnn 1 2 1 1 xx t 第19页/共66页 i x 2 i i x i p 2 2 0 i i p 第20页/共66页 x n i i n i ii n nn p xp ppp xpxpxp x 1 1 21 2211 2 n i i p 1 2 0 2 加

6、权后算术平均值 为： 加权后平均值的方差估计值为： 第21页/共66页 第22页/共66页 第23页/共66页 n xxx, 21 ii xx xnx n x n x n x n i i n i i n i i 1 11 1 11 xx 中每一个都含有该恒值系统误差，因此， 不含系统误差的测量值为 其平均值为 第24页/共66页 xxi i xxxxxx iiii i x i x 定义： 为残余误差(剩余误差) 上式表明，用包含恒值系统误差的测量值 计算残差， 与用不包含恒值系统误差的测定值计算残余误差相同， 因此，标准偏差也相同。因而，恒值系统误差对标准偏差无影响，即不影响测量结果的精密度。

7、 第25页/共66页 n xxx, 21 n , 21 iii xx xx n x n x n i ii n i i 11 11 x 设有一系列测量值 ，并含有变量系统误差 ，则不含系统误差的测定值为： 其平均值为： 由上式可知，如果测量中含有变化的系统误差，它将以算术平均值的形式影响测量结果，应消除，以 作为 测量结果。 第26页/共66页 残余误差： iiiiii xxxxxx 上式表明：用 i x 计算出的标准偏差，因受变值系统误差 的影响，与用 i x 计算出来的标准偏差不同。 也即变值系统误差也影响标准偏差。 第27页/共66页 第28页/共66页 第29页/共66页 2 n k 2

8、 1 nk n ki i k i i 11 将测量列中前面k个剩余误差相加，后面(n-k)个剩余误差相加(当n为偶数时，取 ，当n为奇数时，取 )。两者相减得: 若显著不为零，则有理由认为测量列中存在系统误差。需要指出，有时按剩余误差校核法得=0，但仍有可能存在系统误差。 它适用于检查测量列中是否有线性系统误差存在。 第30页/共66页 2 1 1 1 1 n n i ii 只要测量列满足上式，就认为该测量列有周期性系统误差存在。 第31页/共66页 mm xxx,;,;, 2211 j x 2 , ii Nx ji xx 2 , 0 ijji Nxx 222 jiij Tijji pkxxp

9、 T ij ji pk xx p 1 3k 997. 0 T p003. 01 T p ，其中任 一个平均值 是服从正态分布的，即 ，因此， 任意两个平均值之差 是一个统计量，且服从正态分布， 即有 其中 根据正态分布，有 或 当 时， ， 第32页/共66页 3 ij ji xx k 3k3k 3 ij ji xx k 即在100次测量中， 的可能性有三次。 因此，在测量次数不是很多且测量中无系统误差时，一般不应出现 的情况。如果 ，则说明有系统误 差存在。 故常用 作为鉴别测量中有无系统误差的标志。 第33页/共66页 第34页/共66页 4 536271 222 根据这一特点，可采用对称

10、测量法来消除线性系统误差。 第35页/共66页 t T a 2 sin 0 tt 00 2 sint T a 2 0 T tt 00 2 sin 2 2 sint T a T t T a 0 0 0 tt 当 时，误差为： 当 时，误差为： 因此，消除这种周期性误差的方法是：在 时测得 一个数据后，相隔半个周期再测一个数据，取两次数据的平均值 第36页/共66页 第37页/共66页 m ji jiij m i i 11 2 2 0 22 2 2 1m k 当 时， 即随机误差的合成按方和根法。 在测量工作中，常用给定的置信概率的极限偏差来表示随机误差的大小，对此可表示为： (随机不确定度) 第

11、38页/共66页 n i in 1 21 第39页/共66页 不确定的系统误差是指误差数值大小和符号正负都不确定或其中之一不确定，即该系统误差表现出一定的随机性。 但在一定的测量条件下，存在的不确定系统误差 i 必定落在所估计的误差区间 ii ee , 之内，这个 i e 称为不确定系统误差的误差限，可表示为： iii ke 三、不确定的系统误差合成 第40页/共66页 n eeee 21 22 2 2 1n eeee 这种合成方法估计的误差偏大，是一种极为保 险的方法。在n10时才用这种方法。 2. 方和根法 采用随机误差的合成方法： 在 n 较大时，用方和根法得出的误差比较 接近实际情况，

12、该方法算得的误差偏小。 第41页/共66页 n n k e k e k e ke 2 2 2 2 1 2 1 第42页/共66页 e n i i m i i e 1 2 1 2 所谓总不确定度，就是随机不确定度与系统 误差不确定度的总和。其合成方法为: 绝对值和 法： 方和根法： 第43页/共66页 广义方和根法： n i i i m i ia k e k 1 2 1 2 测量结果的准确度可表示为： 0 A 第44页/共66页 m xxxfy, 21 2 2 2 2 2 2 2 1 21m x m xxy x f x f x f yyy k 若 则 极限误差为 第45页/共66页 mx f x

13、 f x f y x m xx m 21 21 第46页/共66页 第47页/共66页 第48页/共66页 第49页/共66页 第50页/共66页 第51页/共66页 xaay 10 所谓直线拟合，实际上就是确定方程中的两个变 量和。 拟合方法通常有以下几种： 第52页/共66页 nn yxyx, 11 0 a 1 a nn xaay xaay 10 1101 nn n n xaya xx yy a 10 1 1 1 将测量数据中的两个端点值，即起点值和终点值 代入拟合方程，求常数 和 第53页/共66页 xaay 10 nn xaay xaay xaay 10 2102 1101 将全部测量

14、数据分别代入 中，得： 将上面n个方程分成两组，前半组k个，后半组k个(n为偶数时，k=n/2，n为奇数时，k前=(n+1)/2，k后=(n-1)/2)，分别相加后得： 第54页/共66页 k i i k i i xakay 1 10 1 k x aa k y k i i k i i 1 10 1 n ki i n ki i xakay 1 10 1 k x aa k y n ki i n ki i 1 10 1 k y y k i i k 1 1 k x x k i i k 1 1 k y y n ki i k 1 2 k x x n ki i k 1 2 令 第55页/共66页 21 10

15、kk xaay 22 10kk xaay 11 12 12 10 1 kk kk kk xaya xx yy a ),( 11 kk yx),( 22 kk yx 10,a a 则 解得： 平均法就是将全部测量数据分成前后两组，分别计算各组的平均值，所得 和 称为各组测量点的 “点系中心”，然后用端点法求常数 。 第56页/共66页 min 1 2 n i i min 2 10 1 2 ii n i i xaay 0 a 1 a 则 将上式分别对 和 取偏导数得： 第57页/共66页 02 10 0 ii xaay a 02 10 1 iii xxaay a 2 2 2 0 ii iiiii xxn yxxxy a 2 2 1 ii iiii xxn yxyxn a 解得： 第58页/共66页 ii yx , 第59页/共66页 第60页/共66页 m mx axaxaxaax 3 3 2 210 nm m j j ijiiii xayxy 0 2 10 2 1 n i m j j ijii n i xayu j a 0 j a u m aaaa, 210 剩余误差 剩余误差平方和为 根据最小二乘法， 要满足 由此解联立方程，得 第61页/共