[专升本(国家)考试密押题库与答案解析]专升本高等数学(一)分类模拟常微分方程(一)

1、专升本(国家)考试密押题库与答案解析专升本高等数学(一)分类模拟常微分方程(一)专升本(国家)考试密押题库与答案解析专升本高等数学(一)分类模拟常微分方程(一)专升本高等数学(一)分类模拟常微分方程(一)一、选择题问题:1. 下列方程为一阶线性微分方程的是_a.(y)2+2y=xb.y+2y2=xc.y+y=xd.y+y=x答案:c解析 本题主要考查微分方程的有关概念一阶线性微分方程要求方程中所含有关未知函数的导数的最高阶数为一阶的，且未知函数及其一阶导数均为一次幂(答案为c)问题:2. 微分方程的通解是_ a. b. c. d. (其中c为任意常数) 答案:d解析 利用直接积分法可求得给定线

2、性微分方程的通解 (答案为d) 问题:3. 微分方程y=y的通解是_a.y=c1+c2exb.y=ex+e-xc.y=c1ex+c2e-xd.y=cex+ce-x(其中c，c1，c2为任意常数)答案:c解析 已知微分方程y=y为二阶线性微分方程，其通解中应含两个独立的任意常数c1，c2选项b、d中的函数不含有任意常数或者只含有一个任意常数，所以选项b、d是错误的，应筛去 选项a中，y=c1+c2ex中含有两个任意常数，通过求导可得y=c2ex，y=c2ex，代入微分方程y=y，等式关系不成立，因此y=c1+c2ex不是微分方程y=y的通解 选项c中，y=c1ex+c2e-x中含有两个任意常数，

3、通过求导得y=c1ex-c2e-x，y=c1ex+c2e-x，代入微分方程y=y，等式关系成立，因此y=c1ex+c2e-x是微分方程y=y的通解(答案为c) 问题:4. 微分方程满足初始条件y|x=1=1的特解是_a.y=exb.y=e-xc.y=ex-1d.y=e1-x答案:d解析 本小题主要考查可分离变量方程的解法， 分离变量 ， 两边积分，得 lny=-x+c1， 即原方程的通解为y=ce-x(其中) 将初始条件y|x=1代入通解，得c=e， 所求特解为y=ee-x=e1-x(答案为d) 问题:5. 微分方程y=y的通解为_a.y=c1+c2e2xb.y=c1+c2exc.y=c1+c

4、2xd.y=c1x+c2x2答案:b解析 已知方程为二阶常系数齐次线性微分方程，其相应的齐次方程的特征方程为 r2-r=0，特征根r1=0，r2=1，故原方程的通解为y=c1+c2ex(答案为b) 问题:6. 下列方程为一阶线性微分方程的是_a.y+xy3=xb.xy+y=x3c.yy+xy=sinxd.y+5y-6y=xe-x答案:b问题:7. 微分方程y=的通解是_ a b c d(其中c为任意常数) 答案:b问题:8. 微分方程y+xy=0的通解是_ a b c dy=(其中c为任意常数) 答案:a问题:9. 微分方程ylnxdx=xlnydy满足初始条件y|x=1=1的特解是_a.ln

5、2x+ln2y=0b.ln2x+ln2y=1c.ln2x-ln2y=0d.ln2x-ln2y=1答案:c问题:10. 微分方程y+4y-5y=0的通解是_a.y=c1ex+c2e5xb.y=c1e-x+c2e5xc.y=c1ex+c2e-5xd.y=c1e-x+c2e-5x答案:c问题:11. 对于微分方程y+4y+4y=e-2x，利用待定系数法求其特解y*时，下列特解设法正确的是_a.y*=ae-2xb.y*=(ax+b)e-2xc.y*=axe-2xd.y*=ax2e-2x答案:d问题:12. 已知二阶线性常系数齐次微分方程的通解是y=c1e-2x+c2e3x，则此方程为_a.y-y+6y

6、=0b.y-y-6y=0c.y+y-6y=0d.y+y+6y=0答案:b问题:13. 已知二阶线性常系数齐次微分方程的两个特解是y1=1与y2=e2x，则此方程为_a.y-2y=0b.y+2y=0c.y-3y+2y=0d.y+3y+2y=0答案:a二、填空题问题:1. 微分方程xy=1的通解为_答案:ln|x|+c解析 本小题主要考查可分离变量方程的解法 y=ln|x|+c 问题:2. 微分方程y=x的通解为_答案:解析 本题主要考查求解可分离变量微分方程 ，即dy=xdx，则 问题:3. 微分方程满足条件y|x=2=4的特解为_答案:x2+y2=20解析 本题主要考查求解可分离变量方程微分方

7、程， 分离变量ydy=-xdx， 两边积分，即方程的通解为x2+y2=c(其中c=2c1) 将初始条件y|x=2=4代入通解，得c=20，所求的特解为x2+y2=20 问题:4. 微分方程y-y=1的通解为_答案:y=cex-1解析 本题给定方程是可分离变量的微分方程，也是一阶线性微分方程 解法 ， ln(y+1)=x+c1， y+1=cex(其中)，即通解为y=cex-1 解法 p(x)=-1，q(x)=1 y=e-p(x)dxq(x)ep(x)dxdx+c-edxedxdx+c=exe-xdx+c =ex-e-x+c=cex-1 问题:5. 微分方程xyy=1-x2的通解为_答案:x2+y

8、2=2lnx+c问题:6. 微分方程的通解是_答案:e-y=e-x+c问题:7. 微分方程y-3y=0的通解为_答案:y=ce3x问题:8. 设y1(x)，y2(x)是二阶线性常系数微分方程y+py+qy=0的两个线性无关的解，则它的通解为_答案:y=c1y1(x)+c2y2(x)问题:9. 微分方程y-3y+2y=0的通解是_答案:y=c1ex+c2e2x问题:10. 微分方程y-6y+9y=0的通解是_答案:y=(c1+c2x)e3x问题:11. 微分方程y+2y+5y=0的通解是_答案:y=e-x(c1cos2x+c2sin2x)三、解答题问题:1. 求解下列一阶线性微分方程 求一阶线性

9、微分方程满足初始条件y|x=1=0的特解 答案:首先求出一阶线性微分方程的通解 ，q(x)=x， 将初始条件y|x=1=0代入通解，得c=-1， 所以所求特解为y=x2-x 问题:2. 求解下列一阶线性微分方程 求微分方程满足初始条件y|x=1=0的特解 答案:， 将初始条件y|x=1=0代入通解，得c=0， 所以所求特解为 问题:3. 求解下列一阶线性微分方程 求微分方程(x2-1)y+2xy-cosx=0的通解 答案:原方程化为一阶线性微分方程的标准形式 ， 问题:4. 求解下列一阶线性微分方程 求微分方程满足初始条件y|x=1=1的特解 答案:将方程变形为 这是关于y的一阶线性微分方程的

10、标准形式其中，q(y)=y2， 其通解为 将初始条件y|x=1=1代入通解，得所求特解为 设曲线y=f(x)上任一点(x，y)处的切线斜率为，且该曲线经过点5. 求函数y=f(x)答案:， 由知c=0，故 6. 求由曲线y=f(x)，y=0，x=1所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积v答案:设函数y=f(x)由微分方程确定，7. 求函数y=f(x)的表达式答案:方程可化为，则 将初始条件y|x=1=0代入得c=-1，故 8. 讨论函数y=f(x)在(0，+)内的单调性答案:因，故在(0，+)内单调增加问题:9. 求连续函数f(x)，使其满足 答案:对关系式两边求导，得 f(x)+2f(x)=

11、2x. 这是标准形式的一阶线性微分方程，其中p(x)=2，q(x)=2x 其通解为 y=e-p(x)dxq(x)e-p(x)dxdx+c=e-2dx2xe2dxdx+c=e-2x2xe2xdx+c =e-2xxe2x-e2xdx+c=e-2x， 由关系式，令x=0，得f(0)=0代入通解，得， 所以所求函数为 问题:10. 设y=ex是微分方程 xy+g(x)y=x的一个解，求此微分方程满足初始条件y|x=ln2=0的特解 答案:将解y=ex代入给定的微分方程，有 xex+g(x)ex=x， 解得g(x)=x(e-x-1)代入原方程，得 y+(e-x-1)y=1 这是一个一阶线性微分方程的标准

12、形式，其中p(x)=e-x-1，q(x)=1，则其通解 将初始条件y|x=ln2=0代入通解，得，所以所求的特解为 问题:11. 求解下列微分方程 求微分方程y-y=1+xy的通解 答案:y-1=c(x+1)问题:12. 求解下列微分方程 求微分方程满足初始条件y|x=0=0的特解 答案:问题:13. 求解下列微分方程 求微分方程的通解 答案:问题:14. 求解下列微分方程 求微分方程cosxy-sinxy=cos2x满足初始条件y|x=1的特解 答案:问题:15. 设f(x)为连续函数，它由方程确定，求f(x)答案:本题给定的关系式中含有变上限定积分，通过等式两边同时微分的方法，根据变上限定

13、积分求导定理将给定的关系式转化为微分方程 ， xf(x)=f(x)+2x， 整理为一阶线性微分方程的标准形式y-xy=-2x， 其中p(x)=-x，q(x)=-2x， y=e-p(x)dxq(x)ep(x)dxdx+c=exdx-2xe-xdxdx+c 把x=0代入，得f(0)=0 把初始条件f(0)=0代入方程的通解，得c=-2， 所求的函数为 问题:16. 求解二阶常系数线性非齐次微分方程 求微分方程y+y-2y=e-x的通解 答案:问题:17. 求解二阶常系数线性非齐次微分方程 求微分方程y+6y+5y=e-x的通解 答案:问题:18. 求解二阶常系数线性非齐次微分方程 求微分方程y-2

14、y+y=ex的通解 答案:问题:19. 求解二阶常系数线性非齐次微分方程 求微分方程y-2y-3y=x+1的通解 答案:问题:20. 设f(x)=，其中f(x)为连续函数，求f(x)答案:本题给定的关系式中含有变上限定积分，通过等式两边同时微分的方法，根据变上限定积分求导定理将给定的关系式转化为微分方程 对于上式左右两边再对x求导，有f(x)=6x+f(x)，即f(x)-f(x)=6x，此为二阶常系数非齐次线性微分方程为了求解需先确定初始条件： 取x=0代入f(x)=x3+1+，得 f(0)=03+1+，即得f(0)=1 取x=0代入关系式f(x)=3x2+，得 ，即得f(0)=0 原题转化为

15、求解二阶常系数非齐次线性微分方程f(x)-f(x)=6x在初始条件f(0)=1，且f(0)=0下的特解 其对应的齐次方程为f(x)-f(x)=0 特征方程为r2-1=0，特征根为r=1，齐次方程的通解为y=c1e-x+c2ex 自由项f(x)=6x，其中pm(x)=6x，m=1，=0不是特征根，设非齐次线性方程的特解y*=ax+b，y*=a，y*=0代入微分方程f(x)-f(x)=6x，得a=-6，b=0，得非齐次线性方程的特解为y*=-6x 所以微分方程f(x)-f(x)=6x的通解为f(x)=c1e-x+c2ex-6x， 将初始条件f(0)=1，且f(0)=0代入得 所以 已知可导函数y=f(x)满足关系式y+y=0，且其图形在点(0，0)处的切线与直线x-y=1平行21. 求f(x)答案:由题意可知本题实