[专升本(国家)考试密押题库与答案解析]专升本高等数学(一)模拟161

1、专升本(国家)考试密押题库与答案解析专升本高等数学(一)模拟161专升本(国家)考试密押题库与答案解析专升本高等数学(一)模拟161专升本高等数学(一)模拟161一、选择题在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的问题:1. 设f(x)=arctanx，则_ a1 b-1 c d 答案:c解析 因为再由导数定义知 问题:2. 下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是_ a bf(x)=xe-x，0，1 c df(x)=|x|，0，1 答案:a解析 注意罗尔定理有三个条件：(1)f(x)在a，b上连续；(2)f(x)在(a，b)内可导；(3)f(a)=f(b)逐一检查三个条件即可为了简

2、便起见先检查f(a)=f(b)故选a问题:3. 设则_ aarctanx+c barccotx+c c d 答案:a解析 因为则 所以故选a 问题:4. 设z=ln(x2+y)，则_ a b c d 答案:b解析 求时，将y认定为常量，则故选b问题:5. 已知f(cosx)=sinx，则f(cosx)=_ a-cosx+c bcosx+c c d 答案:c解析 已知f(cosx)=sinx，在此式两侧对cosx求积分，得 有 故选c 问题:6. _ a-1 b c d1 答案:c解析 本题考查定积分的运算故选c问题:7. 在空间直角坐标系中，表示圆柱面的方程是_a.x2+y2-z2=0b.x2

3、+y2=4c.x=y2d.x2+y2+z2=1答案:b解析 方程f(x，y)=0表示母线平行于oz轴的柱面，称之为柱面方程方程x2+y2-a2=0表示母线平行oz轴的圆柱面方程同理，f(y，z)=0及f(x，z)=0都表示柱面，它们的母线分别平行于ox轴及oy轴故选b问题:8. 设区域d=(x，y)|x2+y21,x0，y0，则在极坐标系下，二重积分可表示为_ a b c d 答案:c解析 因为区域d：x2+y21，x0，y0，令有0r1，则故选c问题:9. 下列级数中，条件收敛的级数是_ a b c d 答案:c解析 对于a中所给级数由于可知因此发散，应排除a对于b中所给级数由于可知因此发散

4、，应排除b对于d中所给级数为p=2的p级n=数，可知其为收敛级数，从而知为绝对收敛，应排除d对于c中所给级数由于的p级数，可知其发散但是，注意到为交错级数，且un=由莱布尼茨定理可知收敛，从而知其为条件收敛故选c问题:10. 微分方程y+2y+y=0的通解为_a.y=(c1+c2x)exb.y=(c1+c2x)e-xc.y=(c1+c2)e-xd.y=(c1+c2)ex答案:b解析 微分方程的特征方程为r2+2r+1=0，解得r=-1，为二重根，由通解公式可知其通解为y=(c1+c2x)e-x故选b二、填空题问题:1. 设f(x)在x=1处连续，且则f(1)=_答案:2解析 由题设条件，则f(

5、1)=2问题:2. 设且f(x)在点x=0处连续，则a=_.答案:0解析 本题考查的知识点为函数连续性的判定 由于点x=0为函数的分段点，且在点x=0两侧f(x)的表达式不同，因此应考查左连续、右连续 由于f(x)在点x=0连续，因此从而a=0 问题:3.答案:e-1解析问题:4. 函数y=x2-2x在区间1，2上满足拉格朗日中值定理条件的=_答案:解析 因为y=x2-2x在1，2上满足拉格朗日中值定理的条件， 则设f(x)-x2-2x，有 所以 问题:5. 若则k=_答案:3解析 因为问题:6. 已知f(x)的一个原函数为则xf(x)dx=_答案:解析 因为f(x)的一个原函数为所以 所以

6、问题:7. 曲线的铅直渐近线为_答案:x=-2解析 由于题目只求铅直渐近线，所给函数表达式为分式，可知 因此所给曲线的铅直渐近线为x=-2 问题:8. 空间直角坐标系中方程y=x2表示的曲线是_答案:母线平行于z轴的抛物柱面解析 本题考查二次曲面方程的识别问题:9. 函数f(x，y)=4(x-y)-x2-y2的极大值点是_答案:(2,-2)解析 令解得驻点为(2，-2) a=fxx|(2，-2)=-2，b=fxy|(2，-2)=0，c=fyy|(2，-2)=-2，则b2-ac=-40有极值且a=-20，有极大值，所以极大值点为(2，-2) 问题:10. 若级数收敛于s，则收敛于_答案:s-u1

7、解析 因为收敛于s则收敛于s-u1三、解答题共70分解答应写出推理、演算步骤问题:1. 求证：当x0时，ex1+x答案:证明 作辅助函数f(t)=et，则f(t)在区间0，x上满足拉格朗日中值定理的条件，于是 f(x)-f(0)=f()(x-0)(0x)， 即 ex-1=ex(0x) 又当0x时，1eex，故有ex-1=ex1x=x， 即ex1+x(x0)解析 本题可用单调性的思想去证，即令f(x)=ex-1-x，f(x)=ex-10(当x0时)，说明f(x)是增函数，即当x0时，f(x)f(0)=0，所以f(x)0，则有ex1+x 问题:2. 求极限答案:解 解析 此极限是“(-)”，为不定

8、型而已知(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3，所以分子、分母同乘后分式变为“”型又根据当n时，分母的次数高于分子的次序，所以所求极限为零问题:3. 设试求(x)的极值答案:解 由(x)=x2-1=0，得x=-1或x=1 又(x)=2x，且(-1)=-20，(1)=20， 故当x=-1时，(x)取极大值 当x=1时，(x)取极小值解析 这是一道求函数极值的题只要用常规求极值的方法去解就可以了不过在求函数的导数时要注意变上限积分的导数公式的应用，即 问题:4. 设y=y(x)满足当x0时，为无穷小，求y答案:解 由于当x0时，为无穷小，可知 从而有 lny=arctanx+c1， y=cea

9、rctanx(c=ec1)解析 在做本题时要注意导数的定义，即和一阶微分方程中变量可分离类的解法 问题:5. 已知平面1：kx-2y+3z-2=0与平面2：3x-2y-z+5=0垂直，试求参数k的值答案: 解 平面1，2的法向量分别为n1=k，-2，3，n2=3，-2，-1， 由题设知，n1与n2垂直，于是有 n1n2=0， 即 3k+(-2)(-2)+3(-1)=0， 解得解析 如果给出两个一般的平面方程1：a1x+b1y+c1z+d1=0，2：a2x+b2y+c2z+d2=0，则它们的法向量分别为n1=a1，b1，c1，n2=a2，b2，c2如果这两个平面1与2垂直，则应满足n1n2=0，

10、即a1a2+b1b2+c1c2=0具体解法如上 问题:6. 要造一个容积为32立方厘米的圆柱形容器，其侧面与上底面用一种材料，下底面用另一种材料已知下底面材料每平方厘米的价格为3元，侧面材料每平方厘米的价格为1元问该容积的底面半径r与高h各为多少时，造这个容器所用的材料费用最少?答案:解 设s为材料费用函数，则s=2rh+r2+3r2， 且满足条件r2h=32， 所以 因 今s(r)=0，得驻点 r=2 因s(2)=240，且驻点唯一，所以r=2为s(r)的最小值点， 此时 所以r=2厘米，h=8厘米时，材料费用最省解析 本题为利用导数求最值问题 求最大值与最小值的一般方法是： (1)求出f(x)在(a，b)内的所有(可能的极值点)驻点、导数不存在的点：x1，xk (2)求出上述各点及区间两个端点x=a，x=b处的函数值：f(x1)，f(xk)，f(a)，f(b)进行比较，其中最大的数即为y=f(x)在a，b上的最大值，相应的x的取值即为f(x)在a，b上的最大值点，而其中最小的数值即为f(x)在a，b上的最小值，相应的x的取值即为f(x)在a，b上的最小值点 问题:7. 设平面薄片的方程可以表示为x2+y2r2，x0，薄片上点(x，y)处的密度(x，y)=，求该薄片的质量m答案:解法一 利用对称性依题设 由于区域d关于x轴对称，为x的偶函