四川省宜宾市一中高中数学(理科)第八周考题

1、一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的1.如下图，网格纸上小正方形的边长为则此几何体的体积为1,粗线画出的是某几何体的三视图,A.6B.9C.12D.182.某几何体的三视图(单位：cm)如上图所示，则此几何体的表面积是(2 2 2A.90cm B.129cmC.132cm3. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是A.球B.三棱锥4. 如图，在正方体 ABCDA1BCD中，E,C.正方体F分别是棱BC, CD的中点，则( )D.圆柱EF与平dL-面BBDD的位置关系是(A.EF/平面 BBDDC.E

2、F在平面BBDD内5. 已知a,卩是两个不同的平面，D.B.EF与平面BBDD相交EF与平面BBDD的位置关系无法判断m n是两条不同的直线，则下列命题正确的是()B.m/ n, n? a,贝U m/aD.m/a, n? a,贝U rr/ nA. a丄卩，n? a,贝 U ml 3C.mLa, n?卩，Ua丄 36. 已知向量a= (1 , 0, 1)，则下列向量中与 a成60。夹角的是()A.( 1, 1, 0) B.(1, 1, 0)C.(0, 1, 1)D.( 1, 0, 1)7. 在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0 , 0, 2) , (2 , 2 ,

3、 0),1) , (2 , 2 , 2),给出编号为、的四个图，贝U该四面体的正视图和俯视图分别为(1，2，)A.和 B.和8.已知正四棱柱 ABCCABCD中，AA = 2AB, E为AA中点，则异面直线 BE与CD所成角的余弦值为()7A.107oB.5c迺.io9 算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典 籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一 该术相当于给出了由1 2圆锥的底面周长 L与高h,计算其体积V的近似公式 V -L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率n36近似取为22A10.如图， 所成的角为2

4、23.那么，近似公式 V*云L h相当于将圆锥体积公式中的7525157355B c d 850113在正方体 ABCDABCD中，点0为线段BD的中点.设点a,则sin a的取值范围是（）n近似取为（）P在线段CG上，直线0P与平面ABD11.已知正四棱柱远理23，3zCZB. i6，1ABCDA B G D 中 AB= 2, CC= 2羽,E为 CC的中点,DC.D.攀1则直线AC与平面BDE勺距离为（A.2 B. ;312.如下图，已知球C. ,;2D.10是棱长为1的正方体ABCDA1BCD的内切球，则平面ACD截球0的截面面积为（A.6B.3Cn6D3二、填空题：本大题共 4小题，每

5、小题5分，共20分.13. 正方体ABCDABCD中，平面 ABC的一个法向量为 （答案不唯一）.14. 半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为.15. 已知正三棱锥 RABC点P, A, B C都在半径为百的球面上，若 PA PB PC两两相互垂直，则球 心到截面ABC勺距离为16. 已知平行六面体 ABCDABCD, AC与平面ABD CBD交于E F两点.给出以下命题： 点E, F为线段AG的两个三等分点；t2 t ED=- 3AB 3AM -AA;333 设AD的中点为 M CD的中点为N,则直线MN与面AiDB有一个交点； EAiBD的内心；其中真命题有 三、解

6、答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知一个几何体的三视图如图所示.(1)求此几何体的表面积； 如果点P, Q在正视图中所示位置：P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P点到Q点的最短路径的长D E分别是BC CA的中点.18.如图，在三棱锥 P-ABC中, PA!底面ABC ABC为正三角形,(1)证明：平面PBEL平面PAG.在BC上是否存在一点 F,使AD/平面PEF?说明理由.19.已知二面角 a-MN卩的大小为60,菱形 ABC吐面卩内，A, B两点在棱 MN上，/ BAD= 60, E是AB的中点，DOL面a,垂足为O.(1)证明：ABL平面ODE求异面直

7、线BC与 OD所成角的余弦值20.如图，三棱柱 ABCABC中，侧面BBCC为菱形，BC的中点为 Q且ACL平面BBCC.(1)证明：BC丄AB;21.如图，在四边形 ABCD中, E是BC的中点，DB= 2, 折起，使得二面角 ABDC为60,如图所示.DC= 1, BC= ；5, AB= AD= ：2 将左图沿直线BD(1)求证：AEL平面BDC求直线AC与平面ABD所成角的余弦值 若 ACL AB，/ CBB= 60, BC= 1,求三棱柱 ABCABC 的高.AD AB, AD的中点，点P,22.如图，在棱长为 2的正方体 ABCDABCD中，E, F, M N分别是棱 AB Q分别在

8、棱 DD, BB上移动，且BQ=入(0入2).(1)当X = 1时，证明：直线 BC/平面EFPQ入的值；若不存在，说明理是否存在 入，使面EFPQ面PQM所成的角为直二面角？若存在，求出 由高16级数学（理科）学科第八周考题参考答案一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的1.如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的17体积为（）A.6B.9解：根据三视图可知：该几何体是底面斜边长为6的等腰直角三角形、 高为3的三棱锥，故1 1体积 V= 3X 2x 6 X 3X 3 = 9.故选 B.2.

9、 某几何体的三视图（单位：cm）如上图所示，则此几何体的表面积是（）2 2 2 2A.90cm B.129cmC.132cmD.138cm解：该几何体由三棱柱及长方体组合而成，故几何体的表面积为S= 2X 4X 6+ 2X 3X 4+1 23X 6+ 3X 3+ 3X 4+ 3X 5+ 2X 私 3X 4 = 138 cm，故选 D.3. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A.球B.三棱锥C. 正方体D.圆柱解：球的三视图是三个相同的圆，三棱锥的三视图可以是三个全等的三角形，正方体的三视图可能是三个相同的正方形，而当圆柱的底面放置在水平面上时，其俯视图是圆，正

10、视图是矩形.故选D.4. 如图，在正方体 ABCDABCD中，E, F分别是棱BC CD的中点，贝U EF与平面BBDD的位置关系是（）A.EF/平面BBDDB.EF与平面BBDD相交C.EF在平面BBDD内D. EF与平面BBDD的位置关系无法判断解：正方体ABCDABCD中，E, F分别是棱BC CD的中点，取BC的中点G连接GE GF 贝U GE/ BB , GF/ BD , BB/平面 EFG BD / 平面 EFG又 BBQ BD= B，平面 EFG/平面BBDD,从而可得 EF/平面 BBDD.故选A.5. 已知a ,卩是两个不同的平面，m, n是两条不同的直线,则下列命题正确的是

11、（）A. a丄卩，m? a,贝U ml 3 B. m/l n , n? a,贝U m/aC.mLa , n? 3 ,贝 U al 3 D. m/a , n? a,贝 U mil n解：选项A中，由a丄3, m? a ? m? 3或m/ 3或mP3= P选项B中，由m/ n , n? a ? m? a或m/a；选项D中，由m/a , n? a ? m/ n或m与n异面；利用面面垂直的判 定定理知选项 C正确.故选C.6. 已知向量a= （1 , 0, 1）,贝U下列向量中与 a成60夹角的是（）A.( 1, 1 , 0) B.(1, 1 , 0)C.(0 , 1, 1)D.( 1 , 0 , 1

12、)解：设选项中的向量与 a的夹角为 e ,对于选项 a ,由于cos e =1X( 1 ) + 0X 1+(_1)X0 _12+ 02+( 1) 2X ( 1) 2+ 12+ 0212，此时夹角为与a的夹角分别为120 , 180,均不满足题意；对于选项120 ,同理得选项C, D中向量 b,易得cos e = 2,此时夹角B为60,满足题意故选B.7.在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0 , 0, 2） , （2 , 2,0），（1，2，1），（2，2，2），给出编号为、的四个图，则该四面体的正视图和 俯视图分别为（）A.和 B.和C.和 D.和解：在空间直角

13、坐标系 Oxyz中作出棱长为2的正方体（如图），在该正方体中作出满足题 意的四面体，由图可知该四面体正视图为图，俯视图为图.故选D.8.已知正四棱柱 ABCDABCD中,余弦值为（）A.B. 5AA= 2AB c更 .10E为AA中点,3D.5则异面直线BE与CD所成角的解：取DD的中点F,连接CF,则/ DCF为所求的角,cD+ cF dF （寸5a） +（ J2a）设 AB= a, cos/ DCF=一:2CDx CF2x5ax2a9.算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计

14、算其体积=爲.10.故选C.这是我国现存最早的有系.又以高乘之，三十六成1 2V的近似公式VRL2h.它实36际上是将圆锥体积公式中的圆周率n近似取为3.那么，近似公式g热相当于将圆锥体积公式中的n近似取为（22)a.nc 25B.?解：圆锥体积V= 1 n r2 h,31 V= 3n355D. 113L2h .若c.詈一12nV=护-鄂，则n2 n 7525 , .故选B.810.如图，在正方体 ABCEA1B1CD 中, 与平面ABD所成的角为a,贝ysin a点O为线段BD的中点.设点P在线段CC上，直线OP 的取值范围是（）代于,1解：易证AC丄平面ABDB.的角a的变化情况为/6 2

15、,23P在线段CC上从C运动到C时，直线OP与平面ABD所成nn3，当占=1 八、C.洱，1AOAl T/ COA点P为线段 CC的中点时，a=），易得sin / AO赂芈,sin / COA= 233，又sin守=1，贝sin a的取值范围是 当,1 .故 选B.11.已知正四棱柱 ABCDAiBGD中AB= 2, CG= 2羽,E为CG的中点，则直线AG与平面BDE 的距离为()A.2 B. .3 C. .2D.1解：如图，连接AC交BD于Q 连接 OE在厶CGA中，易证 0曰/ AC.从而AC /平面BDE直线AC到平面BDE勺距离即为点 A到平面BDE勺距离，设为h.由等体积法，得A-

16、bde= *&bdex h= VE-ABD= *SaABdX EC=1 13x2x2x 2x.又在 BDE中BD= 2； 2, BE= DE= 6,6Tn解：根据正方体的几何特征知，平面ACD是边长为的三个面的切点恰为三角形1. bd= qX 2 :2X 2= 2 2 h= 1.故选 D.12.如图，已知球 Q是棱长为1的正方体 ABCEA1B1CD的内切球，则平面 ACD截球Q的截面 nn面积为()A.D为公共点 ACD三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的 面积，由图得 ACD内切圆的半径是x tan30 =二,故所求的截面圆的面积是2 62n=TT.故选A.6二、填空题：本大

17、题共 4小题，每小题5分，共20分.13.正方体ABCDABCD中，平面 ABC的一个法向量为 (答案不唯一).解：如图，设正方体 ABCDABCD的棱长为1，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD为z轴, 建立空间直角坐标系，则 A(1 , 0, 0), B(1 , 1, 0), C(0, 1, 1) , AB= (0 , 1 , 0), AC=(1 , 1, 1).设面 ABC的法向量为 n= (x , y , z) , t n AB= 0 ,AC = 0, y= 0, x + y+ z = 0.令 x= 1,可取 n= (1 , 0 , 1).故填(1, 0 , 1).14.半球内有一个内接

18、正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为.解：将半球补成整个球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体恰好是球的内接长方体，那么这个长方体的体对角线就是它的外接球的直径.设正方体的棱长为 a,球的半径为 R,则(2R)2= a2+ a2+ (2 a)2 ,即 R=-Q6a. V半球=Qx| n Ri=|n -Q6aV正方体= V半球V正方体=严n a3:a =U6n：2.故填-J6 n： 2.15.已知正三棱锥 P-ABC点P, A, B, C都在半径为,3的球面上，若 PA PB PC两两相互设正方体的棱长为 a,则 3a?= (2 2= 12,得 a = 2,二

19、AB= BC= AC= 2 2.由 Vp-abg= Vj-apc球心到截面 ABC勺距离d= .3 -3 = #故填撐.垂直，则球心到截面 ABC勺距离为解：在正方体中作出正三棱锥 RABC如图所示,16.已知平行六面体 ABCDABCD, AC与平面 ABD CBD交于E, F两点给出以下命题:点E, F为线段AC的两个三等分点；ED= 3AB+ 3AZ 3AA； 设AD的中点为M CD的中点为N,则直线MN与面ADB有一个交点； EABD的内心；其中真命题有 （写出所有真命题的序号）.解：在对角面 ACCA中易证点E, F为线段AC的两个三等分点，故正确； 取DD的中点为R,易证面MNR/

20、面AiBD故错； AiE%A AiBD的边BD的中线，故E不一定是厶AiBD的内心（实际上是重心），故错.故填 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（10分）解： 由三视图知，此几何体是由上部的圆锥和下部的圆柱构成的组合体，其 表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和圆柱侧 =(2 n a) (2 a) = 4 n a , S - S 表面=.：2 n a2+ 4 n a?+n a2= ( 2 + 5) 沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如图所示 .在矩形ABCQh PQ为几何体表面上从 P点到Q点的最短路径，且 PQ=vaP+ aQ = ；a2+（n a

21、） 2= a 1+n :所以在几何体表面 上从P点到Q点的最短路径的长为 a,1 + n 2.18. （12分）如图，在三棱锥 P-ABC中, PAL底面ABC ABC为正三角形，D E分别是BC CA的中点.（1）证明：平面PBEL平面PAC.在BC上是否存在一点 F,使AD/平面PEF?说明理由解：（1）证明：T PAL底面ABC BE?平面ABC PAL BE.又厶ABC是正三角形，E是AC的中点， BEL AC 又 PAA AC= A. BEL平面 PAC.又BE?平面PBE二平面 PBEL平面PAC. 存在满足条件的点 F,且F是CD的中点.理由： E F分别是AC CD的中点， E

22、F/ AD.而 EF?平面 PEF AD?平面 PEF AD/平面 PEF.19.(12分)已知二面角 a-MIN卩的大小为60,菱形 ABC吐面 卩内，A, B两点在棱 MN 上，/ BAD= 60, E是AB的中点，DOL面a,垂足为 O.(1)证明：ABL平面ODE (2)求异面直线 BC与 OD所成角的余弦值.解： 证明：如图， DOL面a, AB?面a,.DOLAB.连结BD易知 ABD是正三角形， 又E是AB的中点， DEL AB又D6 DE= D, A吐平面 ODE./ BC/ AD - BCM OD所成角即为/ ADO 由(1)知，AEL平面 ODE - ABL OE 又 DE

23、L AB 于是/ DEC是二面角a-MN卩的平面角，从而/ DEO= 60,不妨设 AB= 2,贝U AD= 2,易l3OD知 DE= 3 ,在 Rt DO冲,DO= DE- sin60 =勺 连结 AO 在 Rt DOA中 , cos / AD3 局= 32 33-T.故异面直线BCM OD所成角的余弦值为-.2 4420. (12分)如图，三棱柱 ABCABC中，侧面 BBCC为菱形，BC的中点为 Q且AOL平面 BBCC.(1)证明：BC丄AB若 ACLAB , / CBB= 60 , BC= 1,求三棱柱 ABCABC 的高.於1BBCC为菱形， BC丄BC.又AOL平面BBCC BC

24、丄AO故BC丄平面 ABO由于AB?平面ABO - BC丄AB.21IT.又O为BC的中点，.点B到平面ABC的距离为21,故三棱柱 ABCABC作ODL BC垂足为 D连结AD.作OHL AD垂足为H.由于BCL AQ BCL OD故BCL平 面 AOD 所以 OHLBC.又 OHLAD OHL平面 ABD. v/ CBB= 60 , CBB为等边三角形. 又 BC= 1,可得 O&：3.由于 ACL AB, OA= 2BC= 2,由 OH AD= OD OA且 AD= OD+ OA的高为于.21. （12分）如图，在四边形 ABCD , E是BC的中点，DB= 2 , DC 1 , BC

25、5 , AB= AD2.将左图沿直线BD折起，使得二面角 A-BD-C为60,如图所示(1)求证：AE!平面BDC求直线AC与平面ABD所成角的余弦值解：(1)证明：取BD中点F ,连接EF, AF,由翻折不变性知,AF1 BD AF= 1, FE=2.EF =空CD= 2，EF/ CD CDLBD EF BD.AFA EF= F,. BDL平面 AEF BD丄AE且/ AFE为二面角 A BD C的平面角， / AFE= 60 .1 由余弦定理知 AE= . 12 + 2 2X 1X 2cos60 / AW+ Ed aF,. AE丄 EF.又 EFn BD= F,. AEL平面 BDC.232，(2)以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，其中BD与x轴平行，CD与 y轴平行，则A0, 0, ” ,C 1, 2, 0 ,B1, 2 0 ,D 1,舟,0 ,DB=