求曲线上过点切线方程这里[共27页]

1、Yunnan University 4. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 1 求曲线上过点求曲线上过点 的切线方程，这里的切线方程，这里),( 0000 zyxM 设曲线用参数方程表示为设曲线用参数方程表示为 ( ),( ),( )xx tyy tzz t 000000 ( ),( ),( )xx tyy tzz t Yunnan University 4. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 2 由于切线是割线的极限位置，从而考虑通过点由于切线是割线的极限位置，从而考虑通过点 和点和点 的割线方程的割线方程),(zyxM 0 M 000 000 ( )( )( ) (

2、 )( )( )( )( )( ) Xx tYy tZz t x tx ty ty tz tz t 在上式各端的分母都除以在上式各端的分母都除以 0 tt 000 000 000 ( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) Xx tYy tZz t x tx ty ty tz tz t tttttt Yunnan University 4. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 3 由于切线是割线的极限位置，在上式中令由于切线是割线的极限位置，在上式中令 取极限，取极限， 就得到曲线在点就得到曲线在点 的切线方程：的切线方程： 0 tt 0 M 000 000 ( )(

3、)( ) ( )( )( ) Xx tYy tZz t x ty tz t 000 ( ),( ),( ) .x ty tz t 由此可见，曲线在点由此可见，曲线在点 的切线的一组方向数是的切线的一组方向数是 0 M Yunnan University 4. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 4 曲线在点曲线在点 的法平面就是过的法平面就是过 点且与该点的切线垂直的点且与该点的切线垂直的 平面，于是切线的方向数就是法平面的法方向数，从而过平面，于是切线的方向数就是法平面的法方向数，从而过 点的法平面方程是点的法平面方程是 0 M 0 M 000000 ( )()( )()( )()

4、0 x tXxy tYyz tZz 如果曲线的方程表示为如果曲线的方程表示为( ),( )yy xzz x ,( ),( )xxyy xzz x 可以把它写成如下的以可以把它写成如下的以 为参数的参数方程为参数的参数方程x 于是可得曲线在点于是可得曲线在点 的切线方程和法平面方程如下：的切线方程和法平面方程如下： 0 M 000 00 ()() 1()() XxYy xZz x y xz x 00000 ()()()()()0Xxy xYyz xZz Yunnan University 4. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 5 一般地，如果曲线表示为两个曲面的一般地，如果曲线表示

5、为两个曲面的 交线：交线： ( , , )0 ( , , )0 F x y z G x y z 设设 ，设上述方程组在点，设上述方程组在点 确定了一对函数确定了一对函数 0 (,) 0 ( , ) M D F G D y z 0 M ( ),( )yy xzz x 由这两个方程可解出由这两个方程可解出 (,)(,)(,)(,) , ( , )( , )( , )( , ) dydzD F GD F GD F GD F G D z xD y zD x yD y zdxdx 这时容易把它化成刚才讨论过的情形：这时容易把它化成刚才讨论过的情形： Yunnan University 4. 空间曲线的切

6、线与法平面空间曲线的切线与法平面 6 从而可得曲线在点从而可得曲线在点 的切线方程：的切线方程： 0 M 000 000 (,)(,)(,) ( , )( , )( , ) MMM XxYyZz D F GD F GD F G D y zD z xD x y 和法平面方程和法平面方程 000 000 (,)(,)(,) ()()()0 ( , )( , )( , ) MMM D F GD F GD F G XxYyZz D y zD z xD x y Yunnan University 4. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 7 解：解： 2 tt 1 , 2 , 3 t xytz

7、t 在（在（ 1 ，1 ，1 ）点对应参数为）点对应参数为 t = 1 1 , 2 , 3 T 切切线线方方向向数数为为 切线方程：切线方程： 121 123 xyz 法平面方程：法平面方程：( x - 1)+2 ( y - 2 )+3( z - 1 )=0 即：即： x + 2 y + 3 z = 8 例例1 求曲线求曲线 在点在点 处的处的 切线及法平面方程。切线及法平面方程。 3 ,2 ,xt yt zt (1,2,1) Yunnan University 4. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 8 例例2、求曲线、求曲线 在点在点 （ 1 ，-2 ，1）处的切线及法平面方程

8、。）处的切线及法平面方程。 0, 6 222 zyxzyx 222 60 0 xyz xyz 解解：方方程程组组转转化化为为 ,x方方程程组组两两端端关关于于 求求导导 得得 2220 10 dydz xyz dxdx dydz dxdx Yunnan University 4. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 9 dyzx dxyz dzxy dxyz 解解之之得得 12 1 1, 2,1 0 1 dy dx dz dx ， ， 从从而而 Yunnan University 4. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 10 1, 2,1 121 101 XYZ 所所以以

9、过过点点的的切切线线方方程程为为 1, 2,1 1010 0 XYZZ XZ 所所以以过过点点的的法法平平面面方方程程为为 即即 Yunnan University 4. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 11 Z Y X O 0 M T Z 例例3 求两柱面求两柱面 222222 ,xyRxzR 的交线在点：的交线在点： , 222 RRR 处的切线方程。处的切线方程。 Yunnan University 4. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 12 解解: 222222 ,xyRxzR 在方程组在方程组 中分别对中分别对 求导数，得求导数，得x 220 220 dy

10、 xy dx dz xz dx dyx dxy dzx dxz 解解之之，得得 Yunnan University 4. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 13 所以切线方程为：所以切线方程为： 222 111 RRR xyz 即即 2( 2)( 2)xRyRzR 此直线可看作是此直线可看作是 平面与平面平面与平面 的交线。的交线。2xyR yz 从而在点从而在点 有：有： , 222 RRR 1,1 dydz dxdx Yunnan University 4. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 14 23 4, 24. xt ytzt xyz 例例 在在曲曲线线求求出

11、出一一点点，使使过过此此点点的的切切线线 平平行行于于平平面面 2 1,2 ,3.Ttt 解解：曲曲线线的的切切向向量量为为 1,2,1 .n 平平面面法法向向量量为为 2 1430.T ntt 按按题题设设，应应有有 解解之之，得得 Yunnan University 4. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 15 1 1. 3 tt 或或 12 1 11 1,1, 1,. 3 927 MM 于于是是所所求求的的点点为为 或或 Yunnan University 4. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 16 Yunnan University 4. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 17 Yunnan University 4. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 18 Yunnan University 4. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 19 Yunnan University 4. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 20 Yunnan University 4. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 21 Yunnan University 4. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 22 Yunnan University 4. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 23