第9章 IIR滤波器设计

1、第第9章章 IIR滤波器设计滤波器设计 理想低通滤波器理想低通滤波器 cc )( jH r T 滤波器性能指标滤波器性能指标 截止频率截止频率 实际滤波器幅度响应指标实际滤波器幅度响应指标 通带通带 1()1 pap Hj 阻带阻带 () as Hj 过渡带过渡带 通带通带 波纹波纹 阻带阻带 波纹波纹 通带截止频率通带截止频率 阻带截止频率阻带截止频率 通带峰值波纹通带峰值波纹 最小阻带衰减最小阻带衰减 dB pp )1 (log20 10 dB ss 10 log20 模拟低通滤波器的归一化幅度指标模拟低通滤波器的归一化幅度指标 c 1 1/A p c s )( jH 2 1 1 过渡比或

2、选择性参数过渡比或选择性参数 分辨参数分辨参数 s p k 1 2 1 A k IIR滤波器设计方法滤波器设计方法 1、解析方法：模拟滤波器、解析方法：模拟滤波器数字滤波器数字滤波器 2、数值方法：计算机辅助设计、数值方法：计算机辅助设计 (a)模拟逼近技术很成熟模拟逼近技术很成熟 (b)能产生闭式解能产生闭式解 (c)模拟滤波器设计有大量图表可查模拟滤波器设计有大量图表可查 (d)很多应用中需要模拟滤波器的数字仿真很多应用中需要模拟滤波器的数字仿真 n常用的模拟滤波器常用的模拟滤波器 巴特沃兹（巴特沃兹（Butterworth filter） 切比雪夫（切比雪夫（Chebyshev filt

3、er） 椭圆（椭圆（Elliptic filter） 贝塞尔（贝塞尔（Bessel filter） 巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器 n阶巴特沃斯滤波器阶巴特沃斯滤波器 1/ 1 2 n c a jH NN nnN a asasasas sH 1 2 2 1 1 1 )( 归一化形式（归一化形式（ c=1） ai可以查表得到可以查表得到 2、-3dB截止频率：截止频率： c 3、滚降的陡峭度：、滚降的陡峭度：N 0123 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Magnitude Butterworth Filter N = 2 N = 4 N = 10 巴特沃斯滤波器的特性巴特沃斯滤波器的特性

4、1、 =0处前处前2N-1阶导数为阶导数为0 （最大平坦幅度特性）（最大平坦幅度特性） 幅度响应与相位响应幅度响应与相位响应 在通带在通带3/4内近似线性相位内近似线性相位 s H p H 巴特沃斯滤波器设计巴特沃斯滤波器设计确定确定 c和和N 已知：已知： psps ， 2 2 () () app ass HjH HjH 2 2 1 22 11 ()(1) , (1) 1(/)1 ap N pc Hj 2 2 2 22 11 (), (2) 1 (/) . as N sc ps Hj A 其中，：通带截止频率； ： 阻带截止频率。 22 10101 1010 log (1)/log (1/)

5、 . (3) 2 log (/)log (1/ ) N(1)(2) sp c Ak N k 可由和或确定。 1 ( ) 1 1 5 40. a p s Hs fkHz dBfkHzdB 例 ：确定低通滤波器的最低阶数，使其满足下列 指标：在通带内具有最大平坦特性，在时，衰 减为；在时衰减不小于 2 2 2 2 1 101 101 (1) , 1 10log1, 1 0.25895. 1 10log40, 10,000 (2) N 1/k196.513341/5000/10005 log (1/) 3 281102247 log (1/) c c A A, A A k k N. k 确定和 由此

6、可得： 同样由下式可求得 因此，。 确定和 947.77(sec.)rad / N=4 N=10 N=2 1 scp 2 2 1 1 1 2 )( A jH 43 2 2 3 1 4 / 1 )( asasasas sH cccc a (3) 查表得到归一化系数，经过频率变换后得到传输函数查表得到归一化系数，经过频率变换后得到传输函数 切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器 切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器1型滤波器（全极点）型滤波器（全极点） )/(1 1 )( 22 2 pN a T jH 1 ( ) () N c aN l l Hs sp 1 1 cos(cos),1 () cosh(cosh),1

7、N N T N 切比雪夫多切比雪夫多 项式项式 幅度响应幅度响应 特点：特点：1、通带内具有等波纹、通带内具有等波纹 2、阻带内单调下降、阻带内单调下降 0123 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Magnitude Type 1 Chebyshev Filter N = 2 N = 3 N = 8 切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器2 2型滤波器型滤波器 2 2 2 )/( )/( 1 1 )( sN psN a T T jH 1 0 1 () ( ) () N l l aN l l sz HsC sp 零极点系统零极点系统 幅度响应幅度响应 特点：特点：1 1、通带内单调下降、通带内单调下

8、降 2 2、阻带内具有等波纹、阻带内具有等波纹 0123 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Magnitude Type 2 Chebyshev Filter N = 3 N = 5 N = 7 0123 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Magnitude Type 1 Chebyshev Filter N = 2 N = 3 N = 8 0123 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Magnitude Butterworth Filter N = 2 N = 4 N = 10 巴特沃斯：巴特沃斯：通通/阻阻带带内内随频率随频率单调变化单调变化 (误差非均匀分布，某些频带指标

9、高出要求误差非均匀分布，某些频带指标高出要求) 切比雪夫：误差切比雪夫：误差均匀分布均匀分布在通在通/ /阻阻带内带内 实现相同幅度指标，切比雪夫阶数更少实现相同幅度指标，切比雪夫阶数更少 椭圆滤波器椭圆滤波器 ）（ pN a R jH /1 1 )( 22 2 椭圆函数椭圆函数 特点：通带和阻带具有等波纹特性特点：通带和阻带具有等波纹特性 ( (误差均匀分布误差均匀分布) ) 同样的性能要求，比前两种滤波器所需用的同样的性能要求，比前两种滤波器所需用的 阶数都低阶数都低 几种滤波器比较几种滤波器比较 幅度响应幅度响应 巴特沃斯：通带和阻带均具有平滑幅度巴特沃斯：通带和阻带均具有平滑幅度 切比

10、雪夫切比雪夫I I型：通带内等波纹，阻带平滑型：通带内等波纹，阻带平滑 切比雪夫切比雪夫IIII型：阻带内等波纹，通带平滑型：阻带内等波纹，通带平滑 椭圆：通带、阻带内具有等波纹特性椭圆：通带、阻带内具有等波纹特性 过渡带宽度过渡带宽度 巴特沃斯巴特沃斯 切比雪夫切比雪夫 椭圆椭圆 相位相位 巴特沃斯、切比雪夫：通带巴特沃斯、切比雪夫：通带3/43/4内近似线性相位内近似线性相位 椭圆：通带椭圆：通带1/21/2内近似线性相位内近似线性相位 线性相位线性相位IIR模拟滤波器模拟滤波器 1、IIR+全通滤波器全通滤波器 2、贝塞尔滤波器（、贝塞尔滤波器（Bessel Lowpass Filter

11、）：）： 求解考虑相位约束求解考虑相位约束 NN NN ssdsdd d sB d sH 1 110 00 )( )( 通带近似线性相位通带近似线性相位 贝塞尔多项式贝塞尔多项式 h(n) 无限无限设计设计h(n) 根有限根有限 传输函数入手传输函数入手 从何入手设计从何入手设计IIR滤波器？滤波器？ IIR滤波器的解析设计滤波器的解析设计 n传输函数传输函数 根根有限有限 低通、高通等如何对应根低通、高通等如何对应根(零极点零极点)？ n利用已有成熟结果利用已有成熟结果 模拟传输函数模拟传输函数( S域域) IIR滤波器设计滤波器设计:S域域Z域域 S域域Z域域 单位圆单位圆 S平面平面 Z

12、平面平面 映射映射 模拟模拟数字数字 IIR滤波器设计的双线性变换法滤波器设计的双线性变换法 目标：模拟滤波器目标：模拟滤波器 数字滤波器数字滤波器 要求：要求：s域域稳定稳定 z域域稳定稳定 保持保持幅度幅度特性特性 s域域 z z域域 变换变换 常见的常见的s域域z域变换域变换 极点变换极点变换 k s T k pe s域极点域极点 z域极点域极点 冲激响应不变法冲激响应不变法 1 11 1 s T sez s s t nT h nTg t 优点：频率坐标变换线性优点：频率坐标变换线性 缺点：频谱混叠缺点：频谱混叠 S域域-Z域域 st ze 例例: 利用梯形数值积分将模拟系统变换为数字系

13、统利用梯形数值积分将模拟系统变换为数字系统 t dxty 0 )()( 1 2 1nxnx T nyny nT Tn TnnT dxdxdxnTy )1( )1( 00 )()()()( 2 ) 1()( )()()( )1( 00 TnxnTx TdxdxnTy TnnT 1 1 1 ( )() 2 1 Tz H z z 参数参数T表示数值积分的步长表示数值积分的步长 31/133 1 ( )H s s 双线性变换双线性变换 1 1 2 1 1 z s Tz 双线性变换：双线性变换： 1 1 1 1 z s z 1 1 s z s 单位圆单位圆 S平面平面 Z平面平面 S平面虚轴平面虚轴Z平

14、面单位圆平面单位圆 2 2 11 1 (,)1 1 sbj bjb zz bbj b S左半平面左半平面Z平面单位圆内平面单位圆内 22 22 (1)1 1 01 (1) sabjab abj zz aabj ab 双线性变换：双线性变换： 1 1 1 1 z s z 1 1 s z s 单位圆单位圆 S平面平面 Z平面平面 -1 0 1 tan() 12 j j e j e 单调单调：一一一一对应对应 双线性变换：模拟频率双线性变换：模拟频率 数字频率数字频率 非线性非线性：频率弯折：频率弯折 (低频提升，高频压缩低频提升，高频压缩) 特点：特点： kHz rad 模拟滤波模拟滤波 器器 3

15、15Hz 例：低通滤波器的频率畸变例：低通滤波器的频率畸变 截止频率改变截止频率改变 数字滤波数字滤波 器器 双线性双线性 变换变换 185Hz 1k采样采样 ) 2 tan( 2 T 例：带通滤波器的频率畸变例：带通滤波器的频率畸变 数字数字 模拟模拟 模拟模拟 畸变如何消除？畸变如何消除？ 频率指标预扭曲频率指标预扭曲 + = 预扭曲预扭曲双线性变换双线性变换 校正后的频率校正后的频率 2 tan 2T 数字频率指标数字频率指标模拟频率指标模拟频率指标 预扭曲：预扭曲： 低通低通IIR滤波器设计滤波器设计 2、设计模拟低通滤波器、设计模拟低通滤波器 1、数字低通指标、数字低通指标 模拟低通

16、指标模拟低通指标 预扭曲预扭曲 3、模拟低通滤波器、模拟低通滤波器 数字低通滤波器数字低通滤波器 双线性变换双线性变换 例：设计一个低通例：设计一个低通IIR数字滤波器数字滤波器G(z)，性能指标如下，性能指标如下: 1)( 0 j eG 25. 0 p 55. 0 s dBeG p j 5 . 0)(log20 10 dBeG s j 015)(log20 10 1 1/A p s )( jH 2 1 1 l 1、将数字截止频率预弯折为模拟截止频率、将数字截止频率预弯折为模拟截止频率 4142136. 0) 2 25. 0 tan() 2 tan( p p 1708496. 1) 2 55.

17、 0 tan() 2 tan( a a 1220185. 01015 . 0 1 1 log20 05. 02 2 10 622777.311015 1 log20 5 . 12 10 A A 8266809. 2 1 p s k 841979.15 11 2 1 A k 6586997. 2 ) 1 (log ) 1 (log 10 1 10 k k N 588148. 0 1 1 )(1 1 2 2 c N c p l 2、设计模拟低通原型滤波器、设计模拟低通原型滤波器 三阶归一化低通Butterworth传输函数: ) 1)(1( 1 )( 2 sss sHan )345918. 058

18、8148. 0)(588148. 0( 203451. 0 )()( 2 sss s HsH c ana l3、模拟低通、模拟低通-数字低通（双线性变换）数字低通（双线性变换） )3917468. 06762858. 01)(2593284. 01 ( )1 (0662272. 0 )()( 211 31 1 1 1 1 zzz z sHzG z z s a 高通、带通、带阻高通、带通、带阻IIR滤波器设计滤波器设计 2、设计模拟低通滤波器、设计模拟低通滤波器 1、数字频率指标、数字频率指标 模拟低通频率指标模拟低通频率指标 预扭曲、谱变换预扭曲、谱变换 3、模拟低通、模拟低通 数字滤波器数字

19、滤波器 双线性变换、谱变换双线性变换、谱变换 1、数字高通、数字高通/带通带通/带阻带阻模拟低通模拟低通 数字指标数字指标 同类模拟滤同类模拟滤 波器指标波器指标 模拟低通滤模拟低通滤 波器指标波器指标 模拟谱模拟谱 变换变换 预扭曲预扭曲 3、模拟低通模拟低通数字高通数字高通/带通带通/带阻带阻 数字高通数字高通/ / 带通带通/ /带阻带阻 模拟高通模拟高通/ / 带通带通/ /带阻带阻 模拟低通模拟低通 模拟谱模拟谱 反变换反变换 双线性双线性 反变换反变换 实现方法实现方法-1 ( )sF s ( ) LP Hs( ) D Hs 1 ( )sFs 模拟谱变换模拟谱变换 模拟低通模拟低通

20、模拟高通模拟高通/ /带通带通/ /带阻带阻 s平面平面平面平面 模拟低通模拟低通模拟高通模拟高通 11 sjj s pp pp pp 模拟低通模拟低通模拟带通模拟带通 2 bba SaS S p2p112pp 0 0 模拟低通模拟低通模拟带阻模拟带阻 2 1 S b ba aS S ss 1 s 2 s 1 s 2 s 例：例： 高通滤波器的指标为：通带截止频率高通滤波器的指标为：通带截止频率Fp=700Hz，阻带截止频率，阻带截止频率 为为Fs=500Hz，通带波纹，通带波纹 ，最小阻带率减，最小阻带率减 ，抽样，抽样 频率为频率为Ft=2kHz 解：解：1、归一化截止角频率、归一化截止角

21、频率 7 . 0 2 T p p F F 5 . 0 2 T s s F F 96. 1) 2 7 . 0 tan() 2 tan( p p 0 . 1) 2 5 . 0 tan() 2 tan( s s 预扭曲：模拟高通滤波器截止频率预扭曲：模拟高通滤波器截止频率 2、高通、高通-低通：模拟低通滤波器归一化通带截止频率为低通：模拟低通滤波器归一化通带截止频率为 96. 1 s pp s 1p 模拟低通滤波器的性能指标为：模拟低通滤波器的性能指标为： dB p 1 1p96. 1s dB s 32 dB p 1dB s 32 3、设计低通切比雪夫滤波器、设计低通切比雪夫滤波器 N,Wn=che

22、b1ord(1,1.96,1,32,s) B,A=cheby1(N,1,Wn,s) 4、模拟低通、模拟低通-模拟高通模拟高通 BT,AT=lp2hp(B,A,1.96) 5、双线性变换、双线性变换 num, den=bilinear(BT,AT,0.5) 例例7.10 带通滤波器的指标为：通带截止频率带通滤波器的指标为：通带截止频率 ， 阻阻 带截止频率为带截止频率为 ， ，通带波纹，通带波纹 ，最小阻带，最小阻带 率减率减 解：解：1、模拟带通滤波器截止频率、模拟带通滤波器截止频率 85. 0) 2 45. 0 tan() 2 tan( 1 1 p p 51. 0) 2 3 . 0 tan(

23、) 2 tan( 1 1 s s 2、模拟带通、模拟带通-模拟低通模拟低通 dB p 1 dB s 40 45. 0 1 p 65. 0 2 p 3 . 0 1 s 75. 0 2 s 63. 1) 2 75. 0 tan() 2 tan( 2 2 p p 41. 2) 2 75. 0 tan() 2 tan( 2 2 s s 2 0 2 1 2 1 1 2 2 2 0 1 2 2 0 2 sspp pp p pp s s p s 如不满足对称条件：如不满足对称条件：1、增加、增加 ，通带大于要求的通带，通带大于要求的通带 2、调整、调整 ，通带宽度不变，左边过渡带小于原值，通带宽度不变，左边

24、过渡带小于原值58. 0 1 s 1 p 3、设计低通巴特沃兹滤波器、设计低通巴特沃兹滤波器 N,Wn=buttord(1,2.36,1,40,s) B,A=butter(N,Wn,s) 4、模拟低通、模拟低通-模拟高通模拟高通 BT,AT=lp2hp(B,A,1.18,0.78) 5、双线性变换、双线性变换 num, den=bilinear(BT,AT,0.5) 选择模拟低通滤波器通带截止频率为选择模拟低通滤波器通带截止频率为1，则其性能指标为：，则其性能指标为： 1p36. 2 78. 058. 0 33. 039. 1 s dB p 1dB s 40 1、数字高通、数字高通/带通带通/

25、带阻带阻模拟低通模拟低通 数字指标数字指标 同类模拟滤同类模拟滤 波器指标波器指标 模拟低通滤模拟低通滤 波器指标波器指标 模拟谱模拟谱 变换变换 预扭曲预扭曲 3、模拟低通模拟低通数字高通数字高通/带通带通/带阻带阻 实现方法实现方法-2 数字高通数字高通/ / 带通带通/ /带阻带阻 数字低通数字低通模拟低通模拟低通 数字谱数字谱 变换变换 双线性双线性 反变换反变换 数字低通数字低通与与数字高通数字高通/带通带通/带阻带阻的关系的关系 - - - |H| |H| |H| 2-43-3-24 |H| 2-43-3-24 |H| 2-43-3-24 |H| 数字谱变换数字谱变换： 模拟低通模

26、拟低通模拟高通、带通、带阻模拟高通、带通、带阻 ( ) L Gz( ) D Gz ) (zFz )( 1 zFz z平面平面平面平面 z ) (zFz 需满足：需满足： 平面内部平面内部(稳定稳定)u z平面内部平面内部 z ) (zFz u 为有理函数为有理函数 ) (zFz u z平面单位圆平面单位圆 平面单位圆平面单位圆 z 11 11 11 ) ( zif zif zif zF 为全通函数为全通函数1/( )F z 低通低通低通低通 1 1 1 1 z z z 零极图零极图 低通低通高通高通 1 1 1 1 z z z 零极图零极图 低通低通带通带通 21 1 21 21 11 12

27、1 11 zz z zz 低通低通带阻带阻 21 1 21 21 11 12 1 11 zz z zz n解析的方法：解析的方法：S域域Z域的变换域的变换 模拟滤波器的选择模拟滤波器的选择 映射变换的选择映射变换的选择 如何通过数值方法设计？如何通过数值方法设计？ IIR滤波器的数值设计滤波器的数值设计 nIIR数字滤波器数字滤波器数值设计数值设计 11 011 11 011 .( ) ( ) ( ). M M N N bb zbzY z H z X zaa zaz 11 00 0 NM ii ii a y nib x ni 对应差分方程对应差分方程 1111 011011 ( )(.)( )(.) NM NM Y z aa zazX z bb zbz 11 00 ( )( )0 NM ii ii ii a z Y zb z X z 11 00 11 00 11 00 1 2 . 110 220 . . K0 NM ii ii NM ii ii NM ii ii a yib xi a yib xi a y K n ib x Ki n n 由设计滤波器指标，给定一输入由