平面基本性质2

1、平面的基本性质平面的基本性质2 平面的基本性质：平面的基本性质： 公理公理1 1 如果一条直线的如果一条直线的两点两点在一个平面内，在一个平面内， 那么这条直线上那么这条直线上所有点所有点都在这个平面内都在这个平面内. . A B A A B B ABAB公理公理1 1的的符号表示符号表示: : 应用：判定直线在平面内；判定点在平面内。应用：判定直线在平面内；判定点在平面内。 公理公理2 如果两个平面有如果两个平面有一个公共点一个公共点，那么，那么 它们还有其它的公共点，这些公共点的集合它们还有其它的公共点，这些公共点的集合 是是一条直线一条直线(两平面不重合两平面不重合). l l . .

2、P P l lP Pl l P P 且且 平面的基本性质：平面的基本性质： 公理公理2 2的的符号表示符号表示: : P P 应用：应用： 判定两相交平面的相交（确定两平面交线位置）；判定两相交平面的相交（确定两平面交线位置）； 判定点在直线上。判定点在直线上。 用手指头将一本书平衡地摆方在用手指头将一本书平衡地摆方在 空间某一位置，至少需要几个手指空间某一位置，至少需要几个手指 头？头？ 这些手指需要满足什么条件？这些手指需要满足什么条件？ 公理公理3.3.过过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面不在同一直线上的三点，有且只有一个平面. . AC B 公理公理3 经过经过不在同一条直线上不

3、在同一条直线上的三的三 点点有且只有一个有且只有一个平面平面. A B C 平面的基本性质：平面的基本性质： 线不不共共A,B,C A,B,C A,B,C A,B,C 与与重重合合 A,B,C A,B,C 应用：确定平面；证明两个平面重合。应用：确定平面；证明两个平面重合。 公理公理3 3的的符号表示符号表示: : 【想一想】 为什么用两个合页和一把锁就可以固 定一扇门，有的自行车旁只安装一只 撑脚呢？ 因为不共线的三点可以确定一个平面因为不共线的三点可以确定一个平面. 答：答： ABC【例1】已知：在平面 外，ABP， ACR，BCQ 求证：P，Q，R三点共线. 证明： ABP PABP，平

4、面 PABC点 为平面与平面 的公共点 （公理2） 同理可证：QRABC， 也在平面与平面 的公共点 . PQRABC PQR ， ， 都在平面与平面 的交线上 即 ， ， 三点共线 要要证明空间多点共线，通常证明这些点同时落在两个相证明空间多点共线，通常证明这些点同时落在两个相 交平面内，则落在它们的交线上交平面内，则落在它们的交线上. . A B C P R Q AB 又平面ABC P平面ABC 【例2】p11 例3 例例3 3如图，在长方体如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，P为棱为棱BB1的中点，画出由的中点，画出由A1， C1，P三点所确定的平面三点所确定的平面 与长方体表

5、面的交线与长方体表面的交线 D B B1 A A1 D1 C C1 P 因为点因为点P既在平面既在平面 内又在平面内又在平面AB1内，内， 所以点所以点P在平面在平面 与平面与平面AB1的交线上的交线上 同理点同理点A1在平面在平面 与平面与平面AB1的交线上的交线上 因此，因此，PA1就是平面就是平面 与平面与平面AB1的交线的交线 同理，连结同理，连结PC1，A1C1，它们都是，它们都是 平面平面 与长方体表面交线的一部分与长方体表面交线的一部分 与底面与底面ABCD交线？交线？ P D A C C1 A1 B1 D1 B P11 例2 【例例4】如图，直线如图，直线AB、BC、CA两两相

6、交，交两两相交，交 点分别为点分别为A、B、C，证明三条直线共面，证明三条直线共面. A BC A、B、C三点不在一条直线上三点不在一条直线上 证明：证明： 过过A、B、C三点可以确定平面三点可以确定平面 A , B AB (公理公理1) 同理同理BC , AC AB、AC、BC共面共面 公理公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 平面的基本性质的三种语言描述：平面的基本性质的三种语言描述： 公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直 线线上所有的点都在这个平面内上所有的点都

7、在这个平面内. A AB B 直线 B B A A P lPl P 且 , , , A B C ABC 三点不共线 有且只有一个平面 ，使 公理公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，点， 这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线 符号语言：符号语言： 符号语言：符号语言： 符号语言：符号语言： 由公理由公理3 3，不共线的三个点可以确定一个平面，那么，不共线的三个点可以确定一个平面，那么: : 问题：问题： 一条直线和这条直线外一点能否确定一个平面呢？一条直线和这条直线外一点能否确定

8、一个平面呢？ 两条相交直线呢？两条相交直线呢？ 两条平行直线呢？两条平行直线呢？ 老式自行车后轮旁安装撑脚老式自行车后轮旁安装撑脚 和现代自行车区别？和现代自行车区别？ 推论推论1.1.一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 a A B C . Aa Aa 直线有且只有一个平面 ， 使得， 数学语言表示数学语言表示: .有且只有一个平面和点求证：过直线 ，已知：直线 Al lAl lACBl，、上任取两点在 . CB且 BC得直线由公理1 .l即 .有一个平面和点过直线Al lClB 且又 .CBAAl、的平面一定经过点和点任何经过直线 的平面只有一个

9、，、，经过不共线的三点再根据公理CBA3 .的平面只有一个和点过直线Al .综上，命题成立 有一个平面、，经过不共线的三点根据公理CBA3 证明： 【例例1】如图，直线如图，直线AB、BC、CA两两相交，交两两相交，交 点分别为点分别为A、B、C，判断这三条直线是否共面，判断这三条直线是否共面 ，并说明证明，并说明证明. A BC 证法证法2: A 直线直线BC 过点过点A和直线和直线BC确定平面确定平面 A , BBC B ,AB 同理同理AC AB、AC、BC共面共面 证明： 同理： 即直线AD、BD、CD共面 Dl 直线 l 与点 D 可以确定一个平面（推论） 又Al A Dl且 ,BD

10、CD 直线 AD、BD、CD 在同一个平面 内 【例1变式】已知： 求证：直线 AD、BD、CD 共面. ,Al Bl Cl Dl A D（公理） 例1变式、 如图所示，已知直线a,b,c,d都与直 线l相交，且都经过l外的一点， 求证:直线a,b,c,d共面 p a b cd l ABCD 推论2.经过两条相交直线，有且只有有且只有一个平面。 C a b 数学语言表示数学语言表示: . abC ab 直线有且只有一个平面 ， 使得， . . 有且只有一个平面，求证：过直线 已知： ba Pba 证明：bBaA ，取)(PBA不同于、 有一个平面、，经过不共线的三点根据公理PBA3 . PBA

11、，由根据公理1ab且 .的平面、是经过即平面ba ，、的平面一定经过点、经过直线又PBAba 的平面只有一个，、，经过不共线的三点根据公理PBA3 .的平面只有一个、过直线ba .有且只有一个平面，综上：过直线ba a b P . A . B ab 【例例2】如图，直线如图，直线AB、BC、CA两两相交，交两两相交，交 点分别为点分别为A、B、C，判断这三条直线是否共面，判断这三条直线是否共面 ，并说明证明，并说明证明. A BC 证法证法3: ABAC=A 直线直线AB、AC确定一个平面确定一个平面 BAB ,CAC ,C BBC (推论推论2) (公理公理1) 直线直线AB、BC、CA都在

12、平面都在平面 内 内 即它们共面即它们共面 独木舟旁加一根木头可以增加稳定性（双体船）独木舟旁加一根木头可以增加稳定性（双体船） 推论推论3.3.经过两条平行直线，经过两条平行直线，有且只有有且只有一个平面。一个平面。 AC B a b 数学语言表示数学语言表示: / . ab ab 直线有且只有一个平面 ， 使得， a b a b 证明： ，ba/ 由平行线的定义知.在同一平面内、 ba 有一个平面、即过直线ba. . A ，任取aA，则bA.bA，且 ，的推论根据公理13 .的平面只有一个和直线过点bA .的平面只有一个、过直线ba .有且只有一个平面，综上：过直线ba . ./ 有且只有

13、一个平面，求证：过直线 已知： ba ba 例3已知ab，laA，lbB，求 证：a，b，l三条直线共面 变变:已知ab c，laA，lb B， lcC求证：a，b，c, l 四条 直线共面 练习： 1判断下列命题是否正确 如果一条直线与两条直线都相交，那么这 三条直线确定一个平面. 经过一点的两条直线确定一个平面 经过一点的三条直线确定一个平面 平面和平面交于不共线的三点A，B，C. 2下列命题中，有三个公共点的两个平面下列命题中，有三个公共点的两个平面 重合；梯形的四个顶点在同一平面内；重合；梯形的四个顶点在同一平面内； 三条互相平行的直线必共面；两组对边分三条互相平行的直线必共面；两组对边分 别相等的四边形是平行四边形其中正确命别相等的四边形是平行四边形其中正确命 题个数是题个数是_ 3直线直线l1l2，在，在l1上取三点，在上取三点，在l2上取两点，上取两点， 由这五个点能确由这五个点能确_个平面个平面 推论推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面 推论推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面：经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面：经过两条平行直线，有且只有一个平面 公理公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面