圆周运动轨道脱离点问题

1、圆周运动轨道脱离点问题讨论质量为m的物体在半径为R的周上以速度V运动所需要的向心力为mV2/R，外力在半径方向的合力为Fn，若Fn=mV2/R，则质点在该圆周上运动，若Fn mV2/R，即外力提供的向心力大于所需要的向心力时，质点将被拉向圆心方向而脱离圆轨道，笔者称之为内脱离。反之，若Fn Eq，则最高点最小速度为多大？A2 若mgEq，则最高点最小速度为多大？ ETT分析与解：为找到脱离点的位置，不妨将圆EqEqmgTmg周分为A、B、C、D 四个区域，在情况1中， TT 小球从A经B到C的过程中，速度是逐渐增 D B大的，而从C经D到A的过程中，速度是逐渐减小的。从A到B，小球受力情况如图

2、中 所示，由牛顿第二定律有： C T+（mg-Eq）cos=mv2/R 图1 T=m v2/R-（mg-Eq）cos由于V增大，cos减小，绳子拉力T将逐渐增大，故小球不会在AB之间脱离圆轨道，同理，小球也不会在BC间脱离轨道。小球在D点与B点具有相同的速度，在B点不脱离轨道，所以在D点也不会脱离。从D到A的过程中，受力分析如图，由图中可知： T=m v2/R-（mg-Eq）cos 由于V减小，cos增大，绳的拉力将逐渐减小，当等于某个值时，将出现T=0的情形，此后，V继续减小，cos继续增大，将有T 0，而绳只能产生拉力而不可能产生支持力，T 0，表明小球已脱离圆轨道。由此我们得到小球脱离轨

3、道的临界条件是：绳的拉力T=0。而T=0 时的角，（绳与竖直方向的夹角）即小离开轨道的位置。本题中，绳子拉力最小时，应是V最小，而cos最大，显然是图中的A点。故有：m v2/R-（mg-Eq）=0小球在最高点的最小速度为：V=。情况2与1 正好相反，小球脱离点将在圆轨道的最低点。如果将题中的条件改为：E水平向右，小球处于图2所示的位置时静止，现给小球一初速度V0，问V0至少多大时，它才能作圆周运动。分析：小球在图示位置平衡有：Eq=mgtg45=mg获得初速度V0后，将以绳长为半径作圆周运动，Eq此时绳的拉力满足：T=mgcos45+Eqsin45+mv2 0/L mg T越过该位置后，小球

4、将作变减速运动，且切向加速度 Eq45T逐渐减小，直到绳与竖直方向再次成45度时，切向Eq加速度为零，速度最小，此时绳的拉力也最小。mg T= mv2/L (mgcos45+Eqsin45)若此时绳的拉力为零，小球将脱离圆轨道。所以脱离点将在绳与竖直方向成45的位置。此时速度V满足： 图2 V=由能量守恒定律不难得：V0=二、受轨道弹力约束而作圆运动的情况如图3，小球在光滑圆形轨道的外侧顶点由静止开始滑下，求落地点与脱离点间的水平距离。分析：物块受重力和轨道支持力的共同作用，重力的切向分力使物块速度增大，法向分力与支持力提供向心力，当物块与竖直方向成角时有 mgcos-N=mV2/R N=mg

5、cos-mv2/R由上式不难得出N随的增大而减小，当N=0时，物块将脱离轨道而作斜下抛运动。脱离时的速度满足：V2=gRcos由机械能守恒有mgR(1-cos)=mv2/2脱离点在：cos=2/3。即=arccos2/3找到了脱离点的位置，就不难求出落地点的位置了。如图建立坐标系，物块脱离球体后X方向作匀速直线运动，Y方向作匀加速直线运动。运动方程为：X=VXt=VcostY=R（1+cos）=Vsint+gt2/2将求得的V和值代入，解得：X=0.71R。如果物块在顶点的初速度不为零，那么它在该点的速度达到多大时，将脱离圆周呢？将=0代入上述N的表达式，令N=0，便得到：V=。此即物块在顶点脱离圆周的临界速度。Vx由上面的分析可知，作圆周运动的mNVyVx物体，总受到一定的约束，当约束力为mg零时，便出现沿原轨道运动和脱离轨道的临界状态，而约束力总