有限元有限元动力学基本原理PPT学习教案

1、会计学1 有限元有限元动力学基本原理有限元有限元动力学基本原理 在前面的介绍中，我们均假设作用在弹性体（或结在前面的介绍中，我们均假设作用在弹性体（或结 构）上的载荷与时间无关，与此相应的，位移、应力构）上的载荷与时间无关，与此相应的，位移、应力 及应变等也都和时间无关，即前面介绍的全部内容皆及应变等也都和时间无关，即前面介绍的全部内容皆 称结构静力学有限元方法。但工程实际中还存在着另称结构静力学有限元方法。但工程实际中还存在着另 外一类载荷与时间有关的动载荷作用于结构或弹性体外一类载荷与时间有关的动载荷作用于结构或弹性体 ，此时，相应的位移、应力、应变等都与时间有关，此时，相应的位移、应力、

2、应变等都与时间有关， 而且必须考虑惯性力和加速度等因素，这类分析或问而且必须考虑惯性力和加速度等因素，这类分析或问 题，成为动力学分析。题，成为动力学分析。 对于质点对于质点弹簧系统的振动，大家比较熟悉，例如弹簧系统的振动，大家比较熟悉，例如 一个自由度为一个自由度为n n的质点的质点弹簧振系，其动平衡方程为弹簧振系，其动平衡方程为 PKCM & 第五章第五章 有限元动力学分析基本原有限元动力学分析基本原 理理 第1页/共48页 上式中每一项的含义不同上式中每一项的含义不同 为弹性力K 为阻尼力 C ? & M 对于单元体而言，可以得到类似的上述方程对于单元体而言，可以得到类似的上述方程 ee

3、eeeee pkcm & 第五章第五章 有限元动力学分析基本原有限元动力学分析基本原 理理 第2页/共48页 单元质量矩阵根据其形成过程分为一致质量阵和单元质量矩阵根据其形成过程分为一致质量阵和 集中质量阵，各有自身的优点和缺点。集中质量阵，各有自身的优点和缺点。 1.1.一致质量矩一致质量矩 阵阵 一、单元质量矩阵的计算一、单元质量矩阵的计算 在离散后的结构中，取出一个单元，根据达朗贝在离散后的结构中，取出一个单元，根据达朗贝 尔原理，单位体积上作用的惯性力为：尔原理，单位体积上作用的惯性力为： 惯性力是分布力，按分布力向节点等效的原则和惯性力是分布力，按分布力向节点等效的原则和 实施过程，

4、有：实施过程，有： ee t NN tt q 2 2 2 2 2 2 第3页/共48页 一、单元质量矩阵的计算一、单元质量矩阵的计算 1.1.一致质量矩一致质量矩 阵阵 于是，令于是，令 e V T V e T T V e q dVNN dV t NN dVqNR 2 2 V T e dVNNm 第4页/共48页 一、单元质量矩阵的计算一、单元质量矩阵的计算 1.1.一致质量矩一致质量矩 阵阵 的计算式是通式，并因为计算质量矩阵和刚度的计算式是通式，并因为计算质量矩阵和刚度 矩阵使用的形状函数一致，因此被称为一致质量阵矩阵使用的形状函数一致，因此被称为一致质量阵 。 e m 2.2.集中质量矩

5、集中质量矩 阵阵 在工程实际中，为了求解方便，有人把单元质量在工程实际中，为了求解方便，有人把单元质量 平均分到单元的各个节点上，如平面三角形单元的平均分到单元的各个节点上，如平面三角形单元的 质量可分配为：质量可分配为： V kji dVmmm 3 第5页/共48页 一、单元质量矩阵的计算一、单元质量矩阵的计算 2.2.集中质量矩集中质量矩 阵阵 单元质量矩阵为单元质量矩阵为 ： kkjjii e mmmmmmdiagm 3.3.常用单元的一致质量矩阵常用单元的一致质量矩阵 一次杆单元一次杆单元 21 12 6 2 221 21 2 1 21 2 1 l dxA dxAdxNNAm l l

6、T l e 第6页/共48页 一、单元质量矩阵的计算一、单元质量矩阵的计算 3.3.常用单元的一致质量矩阵常用单元的一致质量矩阵 二次杆单元二次杆单元 1688 841 814 30 4 2 2 4 2 2 21 2 2 2 1 2 1 21 2 2 2 1 2 1 Al dxAdxNNAm T l T l e 第7页/共48页 一、单元质量矩阵的计算一、单元质量矩阵的计算 3.3.常用单元的一致质量矩阵常用单元的一致质量矩阵 三次梁单元三次梁单元 22 22 422313 221561354 313422 135422156 420 llll ll llll ll Al me 第8页/共48

7、页 一、单元质量矩阵的计算一、单元质量矩阵的计算 3.3.常用单元的一致质量矩阵常用单元的一致质量矩阵 三角形平面问题单元三角形平面问题单元 2 02 102 0102 10102 010102 12 称对 t me 第9页/共48页 一、单元质量矩阵的计算一、单元质量矩阵的计算 3.3.常用单元的一致质量矩阵常用单元的一致质量矩阵 矩形平面问题单元矩形平面问题单元 4 04 204 0204 10204 010204 2010204 02010204 9 称对 abt me 第10页/共48页 二、单元阻尼矩阵的计算二、单元阻尼矩阵的计算 阻尼矩阵非常复杂，主要是阻尼本身的复杂性引阻尼矩阵非

8、常复杂，主要是阻尼本身的复杂性引 起的，一般均为假设，如阻尼力正比于单元的运动起的，一般均为假设，如阻尼力正比于单元的运动 速度，此时得到的阻尼矩阵正比于单元质量矩阵；速度，此时得到的阻尼矩阵正比于单元质量矩阵； 也可以假设阻尼力正比于单元的应变速度，此时得也可以假设阻尼力正比于单元的应变速度，此时得 到的阻尼矩阵则正比于单元刚度矩阵，还有一些其到的阻尼矩阵则正比于单元刚度矩阵，还有一些其 他类型的假设，如上述两者的组合，分别有：他类型的假设，如上述两者的组合，分别有： eee ee ee kmc kc mc 第11页/共48页 二、单元阻尼矩阵的计算二、单元阻尼矩阵的计算 对于组合阻尼，如已

9、知结构的阻尼比及结构的固对于组合阻尼，如已知结构的阻尼比及结构的固 有频率，其计算方法有：有频率，其计算方法有： 2222 )(2)(2 ij iijj ji ij ijji 如果如果 jiji ji 2 2 ji 则则 第12页/共48页 1.1.结构无阻尼自由振动的运动方程结构无阻尼自由振动的运动方程 三、机械结构固有频率与振三、机械结构固有频率与振 型型 机械结构的振动固有频率和振型问题，在有限元机械结构的振动固有频率和振型问题，在有限元 方法求解释，对应的数学问题既是矩阵的特征值和方法求解释，对应的数学问题既是矩阵的特征值和 特征向量问题。关于矩阵的特征值及特征向量问题特征向量问题。关

10、于矩阵的特征值及特征向量问题 ，是矩阵理论中比较热门的研究领域，下面我们仅，是矩阵理论中比较热门的研究领域，下面我们仅 简单地罗列以下常见方法的名称，具体的方法求解简单地罗列以下常见方法的名称，具体的方法求解 步骤，可以参考有关书籍，有大量的软件保重均包步骤，可以参考有关书籍，有大量的软件保重均包 含求解特征值和特征向量的软件程序。含求解特征值和特征向量的软件程序。 结构在无外力作用时，得到的是自由振动，此时结构在无外力作用时，得到的是自由振动，此时 阻尼影响不大，结构的自由振动可简化为：阻尼影响不大，结构的自由振动可简化为： 0KM 第13页/共48页 1.1.结构无阻尼自由振动的运动方程结

11、构无阻尼自由振动的运动方程 三、机械结构固有频率与振三、机械结构固有频率与振 型型 设结构作简谐运动设结构作简谐运动 tsin 0 代入无阻尼振动方程，可得代入无阻尼振动方程，可得 0 0 2 MK 上式解存在的条件为上式解存在的条件为 0 2 MK 这是计算方法中最典型的特征值问题。这是计算方法中最典型的特征值问题。 2.2.矩阵迭代法矩阵迭代法 这种方法用于求解基频或最高阶频是很有效的，并这种方法用于求解基频或最高阶频是很有效的，并 且能得到相应的特征向量。且能得到相应的特征向量。 0 2 0 MK将无阻尼自由振动方程改写将无阻尼自由振动方程改写 为为 第14页/共48页 三、机械结构固有

12、频率与振三、机械结构固有频率与振 型型 0 2 0 1 KM 即有即有 0 2 0 S 迭代步迭代步 骤骤 )0( 令令 )1( 2 )1( )0( S 代入代入 2.2.矩阵迭代法矩阵迭代法 ）（ 和 1 2 )1( 求得求得 )2( 2 )2( 1 ）（ S 再代入再代入 )1( 2 )1( i i i S ）（ 以此类以此类 推推 )1(kk）（ 收敛条收敛条 件件第15页/共48页 2.2.矩阵迭代法矩阵迭代法 三、机械结构固有频率与振三、机械结构固有频率与振 型型 330 352 023 300 020 001 KM 例题：已知一振动系统的质量矩阵、刚度矩阵用迭例题：已知一振动系统的

13、质量矩阵、刚度矩阵用迭 代法计算其最高阶固有频率和振型。代法计算其最高阶固有频率和振型。 3/100 02/10 001 1 M 解解 ： 第16页/共48页 2.2.矩阵迭代法矩阵迭代法 三、机械结构固有频率与振三、机械结构固有频率与振 型型 110 5 . 15 . 21 023 1 SMS 在开始迭代时，需选取初始迭代向量，可以按经在开始迭代时，需选取初始迭代向量，可以按经 验估计，也可以用静力学特性的位移值，选得合适验估计，也可以用静力学特性的位移值，选得合适 可以减少迭代时间。先假设：可以减少迭代时间。先假设： T 111 )0( 于是有于是有 0 0 1 1 1 1 110 5 .

14、 15 . 21 023 )0( S 第17页/共48页 2.2.矩阵迭代法矩阵迭代法 三、机械结构固有频率与振三、机械结构固有频率与振 型型 T 0011 )1( 2 )1( 推推 得得 0 3 1 1 3 0 0 1 110 5 . 15 . 21 023 )1( S 继续迭代继续迭代 T 03/113 )2( 2 )2( 推推 得得 1 . 0 5 . 0 1 6 . 3 0 3/1 1 110 5 . 15 . 21 023 )2( S 继续迭代继续迭代 第18页/共48页 2.2.矩阵迭代法矩阵迭代法 三、机械结构固有频率与振三、机械结构固有频率与振 型型 如此继续迭代，经过如此继续

15、迭代，经过1010次迭代，可得次迭代，可得 20467. 0 69300. 0 1 386. 4 2047. 0 693. 0 1 110 5 . 15 . 21 023 )10( S 2047. 0 6930. 0 1 20467. 0 69300. 0 1 )10()11( 推推 得得 T 205. 0693. 01386. 4 )11( 2 )11( 2 于于 是是 第19页/共48页 2.2.矩阵迭代法矩阵迭代法 三、机械结构固有频率与振三、机械结构固有频率与振 型型 得到的固有频率是最高阶频率，因为振型的变化是：得到的固有频率是最高阶频率，因为振型的变化是： 205. 0693. 0

16、1 符号变化两次，振系是符号变化两次，振系是3 3自由度，因此，得到的是第自由度，因此，得到的是第 3 3阶频率和振型。阶频率和振型。 在工程实际中，人们一般关心的主要是结构的低阶在工程实际中，人们一般关心的主要是结构的低阶 频率。因此，在进行迭代过程中作适当的变换，使频率。因此，在进行迭代过程中作适当的变换，使 矩阵不按矩阵不按 为特征值进行迭代，而是按为特征值进行迭代，而是按 为特为特 征值进行迭代，从而得到征值进行迭代，从而得到 的最大值，也是的最大值，也是 的最小值。的最小值。 2 2 /1 2 /1 2 第20页/共48页 KM MK 0 1 MK 1 两边同左乘两边同左乘 ，得到，

17、得到 2.2.矩阵迭代法矩阵迭代法 三、机械结构固有频率与振三、机械结构固有频率与振 型型 在计算过程中，引入参数在计算过程中，引入参数 2 1 将其代入无阻尼自由振动运动方程，则有将其代入无阻尼自由振动运动方程，则有 1 K T MKT 1 令 第21页/共48页 三、机械结构固有频率与振三、机械结构固有频率与振 型型 2.2.矩阵迭代法矩阵迭代法 依次类推依次类推 采用前述的迭代步骤，用采用前述的迭代步骤，用 代替代替 ，即可得到，即可得到 值值 T S ) 1 ( ) 1 ( )0( T ) 1( 1 )( i i i T ）（ 直直 到到 ）（1)( - kk 停止迭代停止迭代 ）（

18、1 2 1 i 得得 到到 ) 1( i 此时为低阶特性此时为低阶特性 第22页/共48页 三、机械结构固有频率与振三、机械结构固有频率与振 型型 2.2.矩阵迭代法矩阵迭代法 330 352 023 300 020 001 KM 例题：已知一振动系统的质量矩阵、刚度矩阵用迭例题：已知一振动系统的质量矩阵、刚度矩阵用迭 代法计算其最高阶固有频率和振型。代法计算其最高阶固有频率和振型。 6/115 . 11 5 . 15 . 11 111 1 K 解解 ： 第23页/共48页 三、机械结构固有频率与振三、机械结构固有频率与振 型型 2.2.矩阵迭代法矩阵迭代法 5 . 531 5 . 431 3

19、21 1 MKT 于于 是是 6 . 1 4 . 1 1 6 1 1 1 5 . 531 5 . 431 321 )0( T 仍仍 选选 T 111 )0( 第24页/共48页 三、机械结构固有频率与振三、机械结构固有频率与振 型型 2.2.矩阵迭代法矩阵迭代法 6287. 1 4433. 1 1 773. 8 629. 1 443. 1 1 768. 8 628. 1 442. 1 1 6 . 8 继续迭代继续迭代 从而得到从而得到 T 629. 1443. 11114. 0 1 )4( 4 2 ）（ 第25页/共48页 三、机械结构固有频率与振三、机械结构固有频率与振 型型 3.3.用滤波

20、法计算最低用滤波法计算最低n n阶特征对阶特征对 工程中关心的不仅是最低阶特征对，而是最低阶工程中关心的不仅是最低阶特征对，而是最低阶 的的n n阶特征对，这是仅用迭代法不行，可用滤波法阶特征对，这是仅用迭代法不行，可用滤波法 。 4.4.行列式搜索法行列式搜索法 这一方法利用特征值分离定理，通过对称矩阵的这一方法利用特征值分离定理，通过对称矩阵的 三角分解计算矩阵的行列式值，用加速割线法求出三角分解计算矩阵的行列式值，用加速割线法求出 靠近下一个未知特征值的移动，然后用移位逆迭代靠近下一个未知特征值的移动，然后用移位逆迭代 求特征向量。求特征向量。 第26页/共48页 三、机械结构固有频率与

21、振三、机械结构固有频率与振 型型 5.5.广义雅克比法广义雅克比法 广义雅克比法通过广义雅克比旋转矩阵把刚度广义雅克比法通过广义雅克比旋转矩阵把刚度 矩阵和质量矩阵同时变换成对角矩阵，然后求得矩阵和质量矩阵同时变换成对角矩阵，然后求得 特征值和特征向量，当矩阵阶数不高时，求解速特征值和特征向量，当矩阵阶数不高时，求解速 度较快。度较快。 6.6.子空间迭代法法子空间迭代法法 子空间迭代法是瑞利子空间迭代法是瑞利- -李兹法和同时逆迭代法结李兹法和同时逆迭代法结 合的产物，用于仅求解工程问题的低阶固有特征合的产物，用于仅求解工程问题的低阶固有特征 对，求解速度非常快。对，求解速度非常快。 第27

22、页/共48页 三、机械结构固有频率与振三、机械结构固有频率与振 型型 7.7.兰索斯法兰索斯法 兰索斯法也是迭代法的一种，这是目前求解低兰索斯法也是迭代法的一种，这是目前求解低 阶特征值和特征向量速度最快的一种，有兴趣的阶特征值和特征向量速度最快的一种，有兴趣的 同学可以参阅同学可以参阅振动与冲击振动与冲击杂志杂志19871987年第年第3 3期期 上吴立系老师的文章上吴立系老师的文章“求解大型稀疏对称矩阵广求解大型稀疏对称矩阵广 义特征值问题的义特征值问题的LanczosLanczos方法及通用程序方法及通用程序”。 8.8.奇异刚度矩阵的处理奇异刚度矩阵的处理 采用移轴技术，在弹性位能中加

23、入部分给定的采用移轴技术，在弹性位能中加入部分给定的 动能，以便使刚度矩阵成为正定矩阵，关键在移动能，以便使刚度矩阵成为正定矩阵，关键在移 轴系数的确定。轴系数的确定。 第28页/共48页 四、机械结构动力响应的计四、机械结构动力响应的计 算算 机械结构的动力响应计算是结构动力学的另一个主机械结构的动力响应计算是结构动力学的另一个主 要问题，最常用的方法有振型叠加法和直接积分法要问题，最常用的方法有振型叠加法和直接积分法 。 1.1.振型叠加法振型叠加法 设结构的运动方程为设结构的运动方程为 )(tPKCM 并设已求得其无阻尼自由振动的频率和振型，记并设已求得其无阻尼自由振动的频率和振型，记

24、为第为第i i阶固有振型，则有振型的线性叠加来表示运动阶固有振型，则有振型的线性叠加来表示运动 状态的结构位移为状态的结构位移为 i0 )()()( 0220110 tztztz nn 第29页/共48页 四、机械结构动力响应的计四、机械结构动力响应的计 算算 1.1.振型叠加法振型叠加法 令令 n020100 )()()( 21 tztztzz n 则则 z 0 z 0 z& & & 0 )( 000 tPzKzCzM )( 0000000 tPzKzCzM TTTT IM T 00 22 2 2 100n T diagK nn T diagC222 221100 第30页/共48页 四、机

25、械结构动力响应的计四、机械结构动力响应的计 算算 1.1.振型叠加法振型叠加法 于是，振动方程解耦为于是，振动方程解耦为 )(2 )(2 )(2 0 2 202 2 22222 101 2 11111 tpzzz tpzzz tpzzz T nnnnnnn T T & M & & )()()( 21 tztztz n ， 依次用求解常微分方程的方法可以得到解：依次用求解常微分方程的方法可以得到解： 再代回再代回 z 0 可以得到问题的解可以得到问题的解 。 第31页/共48页 四、机械结构动力响应的计四、机械结构动力响应的计 算算 1.1.振型叠加法振型叠加法 通常情况下，高阶振型对动力响应影

26、响较小，通常情况下，高阶振型对动力响应影响较小， 因此，只取最低的因此，只取最低的3 35 5阶（阶（1010）阶振型就可以）阶振型就可以 得到满意精度的动力响应。得到满意精度的动力响应。 2.2.直接积分法直接积分法 对于动力学方程对于动力学方程 )(tPKCM 假设已知其初始条假设已知其初始条 件件 000 如果将求解时间如果将求解时间T T等分成等分成n nT T个时间区间个时间区间 ，并能，并能 通过前若干个时刻的解来确定下一时刻的解，就通过前若干个时刻的解来确定下一时刻的解，就 可获得问题的解，直接积分法可以解决这一问题可获得问题的解，直接积分法可以解决这一问题 。 t 第32页/共

27、48页 四、机械结构动力响应的计四、机械结构动力响应的计 算算 2.2.直接积分法直接积分法 直接积分中对动力学方程是逐步地进行数值积分的直接积分中对动力学方程是逐步地进行数值积分的 ，“直接直接”的意思是指：进行数值积分前没有进行把的意思是指：进行数值积分前没有进行把 方程变为另一种形式的变换。方程变为另一种形式的变换。 直接积分有两个假设，一个是动力学方程的解只在直接积分有两个假设，一个是动力学方程的解只在 相隔相隔 的一些离散时间区间上满足方程，而不要求的一些离散时间区间上满足方程，而不要求 在任意时刻都满足方程；另一个是假设位移速度和加在任意时刻都满足方程；另一个是假设位移速度和加 速

28、度在每一个时间区间速度在每一个时间区间 内按一定的规律变化。内按一定的规律变化。 t t 直接积分法有中心差分法、直接积分法有中心差分法、HouboltHoubolt法、法、Wilson- Wilson- 法、法、NewmarkNewmark和龙格和龙格- -库塔法。库塔法。 第33页/共48页 四、机械结构动力响应的计四、机械结构动力响应的计 算算 2.2.直接积分法直接积分法 中心差分法中心差分法 对于加速度对于加速度 tttttt t 2 1 2 上式的误差为上式的误差为 高阶小量高阶小量2t 对于速度对于速度 ttttt t 2 1 方程在方程在t t时刻时刻 为为 tttt PKCM

29、 将速度和加速度的差分格式代入方程，可以得到将速度和加速度的差分格式代入方程，可以得到 第34页/共48页 四、机械结构动力响应的计四、机械结构动力响应的计 算算 2.2.直接积分法直接积分法 tt tttt C t M t M t KPC t M t ) 2 11 ( ) 2 () 2 11 ( 2 22 中心差分法中心差分法 显然，求解显然，求解 ，需要，需要2 2个初始条件个初始条件 和和 tt tt t 我们有初始条件我们有初始条件 ，根，根 据据 000 、 tt tt t t -0 0 2 0 2 1 2 1 第35页/共48页 四、机械结构动力响应的计四、机械结构动力响应的计 算

30、算 2.2.直接积分法直接积分法中心差分法中心差分法 可以解得可以解得 0 2 00 2 t t t 注意，有注意，有 0 2 00 2 t t t 于是，可以求得方程的解。归纳起来后，中心差分于是，可以求得方程的解。归纳起来后，中心差分 法的计算步骤为法的计算步骤为2 2大步，大步，9 9小步。小步。 第36页/共48页 四、机械结构动力响应的计四、机械结构动力响应的计 算算 2.2.直接积分法直接积分法中心差分法中心差分法 第一步：初始计算第一步：初始计算 23021 2 0 12211aaaatata 1.1.形成形成 CKM、 2.2.计算初始值计算初始值 000 、 3.3.选取时间

31、步长选取时间步长 , ,并计算积分常数并计算积分常数 cr ttt , 4.4.计算计算 0300- at t 5.5.形成有效质量阵形成有效质量阵: : CaMaM 10 6.6.做三角分解做三角分解: : T LDLM 第37页/共48页 四、机械结构动力响应的计四、机械结构动力响应的计 算算 2.2.直接积分法直接积分法中心差分法中心差分法 第二步：对每一时间步长第二步：对每一时间步长 ttttt CaMaMaKPP )()( 102 7.7.计算在时刻计算在时刻t t的有效载的有效载 荷荷 8.8.求解在时刻求解在时刻 的位移的位移 tt ttt T PLDL 9.9.如果需要，计算时

32、刻如果需要，计算时刻 的速度和加速度的速度和加速度 tt )( )2( 1 0 ttttt tttttt a a 第38页/共48页 四、机械结构动力响应的计四、机械结构动力响应的计 算算 2.2.直接积分法直接积分法中心差分法中心差分法 说明说明 ： 1. 1. 的取的取 值值 t 是结构最高频率对应的周期，是最小周期是结构最高频率对应的周期，是最小周期 。 cr t ncr Ttt 2.2.求解方程是显式差分，对于对角线质量阵和求解方程是显式差分，对于对角线质量阵和 无阻尼振动求解很方便，可以直接求解，不需无阻尼振动求解很方便，可以直接求解，不需 进行三角分解。进行三角分解。 第39页/共

33、48页 四、机械结构动力响应的计四、机械结构动力响应的计 算算 2.2.直接积分法直接积分法中心差分法中心差分法 例题：一个二自由度振动系统，其动力方程为例题：一个二自由度振动系统，其动力方程为 ： 10 0 42 26 10 02 2 1 2 1 & & 已知该系统的自由振动周期为已知该系统的自由振动周期为 ，试用中心差，试用中心差 分法求解步长为分法求解步长为 和和 时，方程的解时，方程的解 。 8 . 2 2 T 10 2 Tt 2 10Tt 解：取解：取1212个步长的系统响应，假设个步长的系统响应，假设 0,0 00 10 0 0 0 42 26 10 02 2 1 计算计算 0 第

34、40页/共48页 四、机械结构动力响应的计四、机械结构动力响应的计 算算 2.2.直接积分法直接积分法中心差分法中心差分法 考虑考虑 ，有，有 0392. 0 1 ,5 .252 79. 1 28. 02 1 ,8 .12 )28. 0( 1 2 302 120 a aaa aa 10 0 0 28. 0t 因而有因而有 392. 0 0 10 0 0392. 0 0 0 28. 0 0 0 t 第41页/共48页 四、机械结构动力响应的计四、机械结构动力响应的计 算算 2.2.直接积分法直接积分法中心差分法中心差分法 8 .120 05 .25 00 00 79. 1 10 02 8 .12 M tttt P 8 .120 05 .25 5 .212 245 10 0 对每个时刻步长求解方程对每个时刻步长求解方程 ttt P 8 .120 05 .25 时间时间 t2t3t4t5t6t7t8t9t10t11t12t 100.030.170.491.021.702.402.913.072.772.041.02 20.391.452.834.145.025.264.904.173.372.782.542.60 第42页/共48页 四、机械结构动力响应的计四、机械结构动力响应的计 算算 2.2.直接积分法直接积分法 HouboltHoubolt法法 )291811( 6 1