(完整word版)幂级数概念.doc

1、11 1 常数项级数的概念和性质11 3幂级数一、函数项级数的概念函数项级数给定一个定义在区间I 上的函数列 un(x)由这函数列构成的表达式u1 (x) u2(x)u3(x)un(x)称为定义在区间I 上的 ( 函数项 )级数记为un (x)n 1收敛点与发散点对于区间 I 内的一定点 x0若常数项级数un( x0 ) 收敛则称n 1点 x0 是级数u (x) 的收敛点若常数项级数u ( x ) 发散则称n 1nn0n 1点 x0 是级数u (x) 的发散点n 1n收敛域与发散域函数项级数un (x) 的所有收敛点的全体称为它的收敛域所n 1有发散点的全体称为它的发散域和函数在收敛域上函数项

2、级数un( x) 的和是 x 的函数 s(x)n 1s(x)称为函数项级数un (x) 的和函数并写成 s(x)un (x)n 1n 1 un(x)是un (x) 的简便记法以下不再重述n 1在收敛域上函数项级数 un(x)的和是 x 的函数 s(x)s(x)称为函数项级数un(x)的和函数并写成 s(x) un(x)这函数的定义就是级数的收敛域部分和函数项级数un (x) 的前 n 项的部分和记作sn(x)n 1函数项级数 un(x)的前 n 项的部分和记作sn(x)即sn(x)u1(x)u2(x) u3( x)un(x)111 1 常数项级数的概念和性质在收敛域上有lim s (x) s(

3、x) 或 sn (x) s(x)(n)nn余项函数项级数un (x) 的和函数 s(x)与部分和 sn(x)的差n 1r n (x) s(x) sn(x)叫做函数项级数un( x) 的余项n 1函数项级数 un(x)的余项记为 rn (x) 它是和函数 s(x)与部分和 sn(x)的差 r n (x) s(x) sn( x)在收敛域上有lim rn (x) 0n二、幂级数及其收敛性幂级数函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数项级数这种形式的级数称为幂级数它的形式是a0 a1x a2x2anxn其中常数 a0 a1a2an叫做幂级数的系数幂级数的例子1 x x2 x3xn1x1

4、x21 xn2!n!注幂级数的一般形式是a0 a1(x x0 ) a2 (x x0)2an(x x0) n经变换 txx0 就得 a0 a1ta2t2antn幂级数123nx xxx可以看成是公比为x 的几何级数当 |x| 1 时它是收敛的当 |x| 1时 它是发散的因此它的收敛域为( 11)在收敛域内有11xx2x3xn1x定理 1 (阿贝尔定理 )如果级数a xn 当 xx0 (x00)时收敛则适合不等式nn 0211 1 常数项级数的概念和性质|x| |x0 |的一切 x 使这幂级数绝对收敛反之如果级数an xn 当n 0x x0 时发散 则适合不等式 |x| |x0|的一切 x 使这幂

5、级数发散定理 1 (阿贝尔定理 ) 如果级数 anxn 当 x x0 (x0 0)时收敛则适合不等式|x| |x0 |的一切 x 使这幂级数绝对收敛反之 如果级数 anxn 当x x0 时发散 则适合不等式 |x| |x0|的一切 x 使这幂级数发散提示 anxn 是a xn 的简记形式nn0证 先设 x0 是幂级数a xn的收敛点即级数a xn收敛根据级数收敛的必要条件有nnn 0n 0lim an x0n0 于是存在一个常数M使n| anx0n | M(n0,1,2, )这样级数a xn的的一般项的绝对值nn0nn xnnxnxn|an x| |an x0 x0n | |an x0 | |

6、x0| M |x0|因为当 |x| |x0|时等比级数M | x |n 收敛所以级数|a xn | 收敛也就是级数a xn 绝对0x0nnnn 0n 0收敛简要证明n在点 x0 收敛n) 于是数列n即存在一个常设 anx则有 anx0 0(n anx0 有界nM(n 0, 1, 2,)数 M 使 | anx0 |因为 |a xn | |a xnxn| |a xn| | x |nM | x |nnn 0xnn 0x0x00而当 |x| |x0 |时等比级数M | x |n 收敛所以级数 |anxn|收敛 也就是级数 anxn 绝对收敛n 0x0定理的第二部分可用反证法证明倘若幂级数当x x0 时

7、发散而有一点x1 适合 |x1|x0|使级数收敛则根据本定理的第一部分级数当 x x0 时应收敛这与所设矛盾定理得证311 1 常数项级数的概念和性质推论 如果级数a xn不是仅在点x 0 一点收敛也不是在整个数轴上都收敛则必有一n 0n个完全确定的正数 R 存在使得当 |x| R 时 幂级数绝对收敛当 |x| R 时 幂级数发散当 x R 与 x R 时 幂级数可能收敛也可能发散收敛半径与收敛区间正数 R 通常叫做幂级数anxn 的收敛半径开区间( RR)叫做幂级n 0数an xn 的收敛区间再由幂级数在 xR 处的收敛性就可以决定它的收敛域幂级数 an xnn0n 0的收敛域是 ( R,

8、R)( 或 R, R)、 ( R, R、 R, R之一规定 若幂级数a xn只在 x 0 收敛则规定收敛半径 R 0 若幂级数a xn对一切 x 都nnn 0n 0收敛则规定收敛半径R这时收敛域为 ( ,)定理 2如果 lim | an 1 |其中 an、 an 1是幂级数a xn 的相邻两项的系数则这幂级数的收敛nannn 0半径10R00定理 2如果幂级数a xn 系数满足 lim | an1 |则这幂级数的收敛半径nnann 010R00定理 2411 1 常数项级数的概念和性质如果 lim |an 1 |则幂级数a xn 的收敛半径 R 为nann0n当0时R1当 0时R当时 R 0简

9、要证明lim| an 1xn 1|lim | an 1 | |x | x|nan xnnan(1) 如果 0则只当|x| 1 时幂级数收敛故 R1(2) 如果0 则幂级数总是收敛的故 R(3) 如果则只当 x0 时幂级数收敛故 R 0例 1求幂级数( 1)n 1 xnxx2x3( 1)n 1 xnn 1n23n的收敛半径与收敛域例 1求幂级数( 1)n 1 xn 的收敛半径与收敛域n 1nlim | an 1 |1解因为lim n11nann1n所以收敛半径为R11当 x1 时幂级数成为(1)n 1 1是收敛的n 1n当 x1 时 幂级数成为(1)是发散的因此收敛域为 ( 1, 1n 1n例

10、2求幂级数1 xnn0 n!1 x 1 x2 1 x31 xn2!3!n!的收敛域例 2求幂级数1 xn 的收敛域n 0 n!511 1 常数项级数的概念和性质1解 因为an 1|(n1)!n!0lim |lim1lim(n 1)!nannnn!所以收敛半径为R从而收敛域为 (, )例 3 求幂级数n! xn 的收敛半径n0解 因为lim | an1 |lim (n1)!nannn!所以收敛半径为R 0即级数仅在 x0 处收敛例 4 求幂级数(2n)!x2n的收敛半径0(n!) 2n解 级数缺少奇次幂的项定理 2 不能应用可根据比值审敛法来求收敛半径(2n)!2n幂级数的一般项记为un( x)

11、x因为lim |un 1(x)| 4|x|2nun (x)当 4|x|2 1即 | x|1 时级数收敛当 4|x|21 即 |x|1 时级数发散所以收敛半径为 R 12222(n1)!x2(n 1)un 1(x)( n1)! 2(2n 2)(2n 1) x2提示un( x)(2n)!x2n(n 1)2(n! )2例 5求幂级数( x 1)n的收敛域n 12nn解 令 t x 1上述级数变为t nn 1 2n n因为lim |an 1|2n n1an2n2n 1 (n 1)611 1 常数项级数的概念和性质所以收敛半径R 2当 t2 时级数成为1此级数发散当 t2 时级数成为( 1)此级数收敛因

12、此级n 1 nn 1n数t n的收敛域为 2t 2因为 2 x 12 即 1x 3所以原级数的收敛域为 1,3)n 1 2n n三、幂级数的运算设幂级数an xn 及bn xn 分别在区间 ( R, R)及 (R, R)内收敛则在 (R, R)与 (R, R)中n 0n 0较小的区间内有加法nanxnbn xnn(an bn)xn0n 00减法nanxnbn xnn(an bn) xn0n 00设幂级数 anxn 及 bnxn 分别在区间 (R, R)及 (R, R)内收敛 则在 (R, R)与( R , R )中较小的区间内有nnn加法 anx bnx (an bn)x乘法 (an xn )

13、 (bn xn )a0b0 (a0b1 a1b0)x (a0b2 a1b1 a2b0)x2n0n 0(a0bn a1bn 1anb0)xn性质 1幂级数nanxn 的和函数 s( x)在其收敛域I 上连续0如果幂级数在xR (或 x R)也收敛则和函数 s(x)在 ( R, R( 或 R, R)连续性质2幂级数a xn的和函数s(x)在其收敛域I上可积 并且有逐项积分公式n0nxs( x)dxx( an xn )dxxan xndxan xn 1 (x I )00n 00n 0n 0 n 1逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径性质 3幂级数an xn 的和函数 s(x)在其收敛区间

14、 ( R R)内可导并且有逐项求导公式n0s (x) (an xn)(anxn)nanxn 1 (|x| R)n0n 0n 1逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径711 1 常数项级数的概念和性质性质 1n的和函数 s( x)在其收敛域 I 上连续幂级数 anx性质 2幂级数 anxn 的和函数 s( x)在其收敛域 I 上可积并且有逐项积分公式xs( x)dxx( a xn )dxxa xndxan xn 1 (x I )00nn 00nn 0 n 1n 0逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径性质 3幂级数 anxn 的和函数 s( x)在其收敛区间 ( R R) 内

15、可导并且有逐项求导公式s (x) (a xn)(axn)naxn 1(|x| R)nnnnn0n 00逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径例 6 求幂级数1xn 的和函数n 0n 1解 求得幂级数的收敛域为 1 1)设和函数为 s(x)即 s(x)1 xnx 1 1) 显然 s(0) 1n 0 n 1在 xs(x)1xn 1 的两边求导得n 0n 1xs( x)(1xn 1)xn1xn0 n 1n 01对上式从 0 到 x 积分得xs(x)x1dxln(1x)0 1x于是当 x 0 时 有 s(x)1 ln(1x)1 ln(1 x)0|x| 1从而 s(x)xx1x01xn 1x1

16、xn 1 dx因为 xs( x)0 n 0n 1n 0 n1xndxx1dxln(1x)x0 1 x0 n 0所以当 x 0 时有1ln(1)s(x)xx1 ln(1 x) 0 |x| 1从而 s(x)x1x0811 1 常数项级数的概念和性质例 6 求幂级数0n1xn 的和函数n1解 求得幂级数的收敛域为11)设幂级数的和函数为s(x)即 s(x)1 xn x11)n0 n 1显然 S(0) 1 因为xs( x)1xn 1x1xn 1 dxn 0n0 11n0 nxndxx 1dxln(1x) ( 1x1)x10 n 00x所以当 0 | x|1 时有s(x)1ln(1)xx从而 s(x)1 ln(1x)0|x|1xx01由和函数在收敛域上的连续性S(1)limS(x)ln