平面向量线性运算的坐标表示

1、.2 平面向量线性运算的平面向量线性运算的 坐标表示坐标表示 这就是说，向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标 的和与差。的和与差。 已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j a+b=(x1+x2,y1+y2)即 同理可得 a-b=(x1-x2,y1-y2) 设R，则 a= (x1i+y1j)= x1i+ y1j 这就是说，实数与向量的积的坐实数与向量的积的坐 标分别等于实数与向量标分别等于实数与向量 的相应坐标的乘积的相应坐标的乘积。 a=(x1 , y1)即

2、x y O A(x1,y1) y1 B(x2,y2) y2 x2x1 如图,给定点A(x1,y1), B(x2,y2),则 ),( ),(),( 1212 1121 yyxx yxyxOAOBAB 这就是说，一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始 点的相应坐标。点的相应坐标。 例2 已知a(3,4)，b(-1,4)，求a+b，a-b， 2a-3b的坐标. 解：a+b= (3,4)+(-1,4)=(2,8)， a-b = (3,4)-(-1,4)=(4,0)， 2a-3b =2 (3,4)-3(-1,4)=(6,8)+(3,-12)=( 9,-4) 例3

3、 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为 (1,0),(0,2),(-1,-2),求顶点D的坐标. x y OA B C D 解 设D点的坐标为(x,y).由图知AB=DC,所以 (0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y) 即 (-1,-2)=(-1-x,-2-y), 所以 -1-x=-1 -2-y=2 所以 x=0 y=-4 顶点D的坐标为(0.-4). 1 已知点A、B的坐标分别为(-1,2),(2,8), 1 , 3 ACAB 1 , 3 DABA CD 求向量 的坐标. 解：依题意，得(3,6)AB CDADAC 11 33 BAAB 2 3 AB 2 (3,6

4、) 3 ( 2, 4) 解： (0,0), (1,2), ( 1,3)OAB (1,2)OA ( 1,3)OB 2 若点 O(0,0),A(1,2),B(-1,3)，且2,OAOA 求点 的坐标，以及向量 的坐标. 3,OBOB ,A BA B 2 (1,2)(2,4)OA 3 ( 1,3)( 3,9)OB (2,4),( 3,9),AB ( 32,94),( 5,5)A B 解： (1,3),(2,4),( 3,5),ABACAD ( 4,2),( 5,1)BDCD 3 已知 A(1,-2),B(2,1),C(3,2)和D(-2,3)，,AB AC 以为一组基底来表示 ADBD CD + ( 3,5)( 4,2)( 5,1)ADBD CD +( 12,8) 根据平面向量基本定理，一定存在实数m,n,使得 ADBD CDmABnAC + ( 12,8)(1,3)(2,4)mn ( 12,8)(2 ,34 )mnmn即 212mn 348mn 所以 32m 22n 解得 3222ADBD CDABAC + （1）向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的和与差。向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的和与差。 （2）实数与向量的积的坐实数与向量的积的坐 标分别等于实数与向量的相应坐标分别等于实数与