变化的电磁场-习题课

1、第第1717章章 变化的电磁场变化的电磁场 磁通量变化磁通量变化磁场能量磁场能量 感应电动势感应电动势 动生电动势动生电动势感生电动势感生电动势 自感电动势自感电动势互感电动势互感电动势 自感磁能自感磁能互感磁能互感磁能 1 d 2 m WB H V 21I IM 2 2 1 LI t I M d d 2 1 t I L L d d sL S t B lE dd 感感 t d d L lBv d)( 电磁感应电磁感应 磁场能量密度磁场能量密度 BHH B w m 2 1 2 1 2 1 2 2 d D j t D d I t d d 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 电磁场理论电磁场理论 SL S

2、 SL S S t D jlH SB S t B lE qSD d)(d 0d dd d 0 0 位移电流密度位移电流密度 位移电流位移电流 一、基本概念一、基本概念 1、 感应电动势感应电动势 动生电动势（洛伦兹力）动生电动势（洛伦兹力） 感生电动势（感应电场）感生电动势（感应电场） 2、感应电场；、感应电场； 3、自感；、自感； 4、互感；、互感； 5、位移电流、位移电流 二、基本规律二、基本规律 1、法拉第电磁感应定律、法拉第电磁感应定律 t N t t d d d d d d , 2、 楞次定律（判定感应电流和感应电动势的方向）楞次定律（判定感应电流和感应电动势的方向） 三、计算类型三

3、、计算类型 1、 感应电动势的计算：感应电动势的计算： ）。线线部部分分的的）式式求求。（此此时时需需辅辅助助再再用用（ 辅辅助助线线构构成成（闭闭合合），）中中的的（一一段段）也也可可加加）（ 闭闭合合）： （一一段段）： 感感生生）（ ）：闭闭合合 （一一段段）： 动动生生）（ 闭闭合合）：法法拉拉第第电电磁磁感感应应定定律律（）（ 方方法法小小结结：求求 感感 感感 01 32 ( 3 )( )( 2 1 SL b a ab b a ab Sd t B ldE ldE ldBv ldBv dt d （4）自感电动势的计算：）自感电动势的计算： （5）互感电动势的计算：）互感电动势的计算：

4、 L I L t d d 2 1 I M t d d 2、自感和互感的计算：、自感和互感的计算： 2 2 m W L II 3、 磁场能量的计算：磁场能量的计算： 21 2 22 2 11 2 1 2 1 IMIILILWm 2 2 1 LIWm HBBHH B w m 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 VHBW V m d 2 1 2112 12 M II 四、几个特殊的结论四、几个特殊的结论 无限长螺线管的自感无限长螺线管的自感 VnL 2 同轴电缆的自感同轴电缆的自感 1 2 ln 2R Rl L t Br E 2 感感内内 t B r R E 2 2 感外感外 圆柱形空间内均匀变

5、化的均匀磁场产生的感应电场：圆柱形空间内均匀变化的均匀磁场产生的感应电场： 典型选择题典型选择题: 1、 在一自感线圈中通过的电流在一自感线圈中通过的电流I 随时间随时间 t 的变化规律如图的变化规律如图(a) 所示，若以所示，若以I 的正方向作为的正方向作为的正方向，则代表线圈内的正方向，则代表线圈内自感自感 电动势电动势 随时间变化规律的曲线为下图中的哪一个随时间变化规律的曲线为下图中的哪一个? (a) O I t I L t d d O )(A t t O )(C t O )(D t O )(B 2.2.在感应电场中电磁感应定律可写成在感应电场中电磁感应定律可写成 , , 式中式中 为为

6、 感应电场的电场强度感应电场的电场强度 。此式表明：。此式表明： A A）闭合曲线）闭合曲线 L 上上 处处相等处处相等. . B B）感应电场是保守力场）感应电场是保守力场. . C C）感应电场的电力线不是闭合曲线）感应电场的电力线不是闭合曲线. . D D）在感应电场中不能像对静电场那样引入电势的概念）在感应电场中不能像对静电场那样引入电势的概念. . d d d i L El t i E i E 3.3.用线圈的自感系数用线圈的自感系数L来表示载流线圈磁场能量的公式来表示载流线圈磁场能量的公式 2 1 2 m WLI (A)只适用于无限长密绕螺线管只适用于无限长密绕螺线管. (B)只适

7、用于单匝圆线圈只适用于单匝圆线圈. (C)只适用于一个匝数很多只适用于一个匝数很多,且密绕的螺线管且密绕的螺线管. (D)适用于自感系数适用于自感系数 L 一定的任意线圈一定的任意线圈. 4. 在真空中一个通有电流的线圈在真空中一个通有电流的线圈a 所产生的磁场内有另一个线圈所产生的磁场内有另一个线圈 b，a和和b相对位置固定，若线圈相对位置固定，若线圈b中没有电流通过，则线圈中没有电流通过，则线圈b与与a间间 的互感系数的互感系数: (A)(A)一定为零一定为零 (B)(B)一定不为零一定不为零 (C)(C)可以不为零可以不为零 (D)(D)不可确定不可确定 5、一导体棒、一导体棒ab在均匀

8、磁场中沿金属导轨向右作匀加速运动，磁在均匀磁场中沿金属导轨向右作匀加速运动，磁 场方向垂直导轨所在平面。若导轨电阻忽略不计，并设铁芯磁场方向垂直导轨所在平面。若导轨电阻忽略不计，并设铁芯磁 导率为常数，则达到稳定后在电容器的导率为常数，则达到稳定后在电容器的M 极板上：极板上： A A）带有一定量的正电荷。）带有一定量的正电荷。 B B）带有一定量的负电荷。）带有一定量的负电荷。 C C）带有越来越多的的正电荷。）带有越来越多的的正电荷。D D）带有越来越多的负电荷。）带有越来越多的负电荷。 M N b a v B 铁芯铁芯 H L1 L2 1 d L lH 2 d L lH (B) 1 d

9、L lH 2 d L lH (C) 0d 1 L lH (D) 6. 如图，平板电容器如图，平板电容器(忽略边缘效应忽略边缘效应)充电时，沿环路充电时，沿环路L1的磁场强的磁场强 度度 的环流与沿环路的环流与沿环路L2 的磁场强度的磁场强度 的环流两者，必有：的环流两者，必有： H H (A) 2 d L lH 1 d L lH 7.一闭合正方形线圈放在均匀磁场中，绕通过其中心且与一边平行一闭合正方形线圈放在均匀磁场中，绕通过其中心且与一边平行 的转轴的转轴 OO 转动，转轴与磁场方向垂直，转动角速度为转动，转轴与磁场方向垂直，转动角速度为，如图所如图所 示。用下述哪种方法可以使线圈中感应电流

10、的示。用下述哪种方法可以使线圈中感应电流的幅值幅值增加到原来的增加到原来的 两倍两倍(电阻不可忽略电阻不可忽略)? (A)把线圈匝数增加到原来的两倍把线圈匝数增加到原来的两倍. (B)把线圈的面积增加到原来的两倍把线圈的面积增加到原来的两倍,而形状不变而形状不变. (C)把切割磁力线的两条边增长到原来的两倍把切割磁力线的两条边增长到原来的两倍. (D)把线圈的角速度增大到原来的两倍把线圈的角速度增大到原来的两倍. O O B 8、对位移电流，有下列四种说法，请指出哪一种说法正确、对位移电流，有下列四种说法，请指出哪一种说法正确? A ) 位移电流是由变化的电场产生的。位移电流是由变化的电场产生

11、的。 B ) 位移电流是由线性变化的磁场产生的。位移电流是由线性变化的磁场产生的。 C ) 位移电流的热效应服从焦耳位移电流的热效应服从焦耳楞次定律。楞次定律。 D ) 位移电流的磁效应不服从安培环路定理。位移电流的磁效应不服从安培环路定理。 12.如图如图,一长直导线中通有电流一长直导线中通有电流I，有一与长直导线共面垂直于，有一与长直导线共面垂直于 导线的细金属棒导线的细金属棒AB，以速度，以速度v 平行于长直导线作匀速运动平行于长直导线作匀速运动,问问: I AB v (1)金属棒金属棒A、B两端的电势哪一个高两端的电势哪一个高? (2)若电流反向，则又如何若电流反向，则又如何? (3)

12、若将金属棒与导线平行放置，结若将金属棒与导线平行放置，结 果又如何果又如何? 10.一自感线圈中一自感线圈中, 电流强度在电流强度在0.002s内均匀地由内均匀地由10A增加到增加到12A, 此过程中线圈内自感电动势为此过程中线圈内自感电动势为400V, 则线圈自感系数则线圈自感系数L H 0.4 11.自感系数自感系数L=0.3H的螺线管中通以的螺线管中通以I=8A的电流时，螺线管存的电流时，螺线管存 储的磁场能量储的磁场能量 W= J 9.6 A B A、B电势相等电势相等 9.长为长为L=40cm的直导线，在均匀线圈磁场中以的直导线，在均匀线圈磁场中以v=5 m/s的速度的速度 沿垂直于

13、磁感线的方向运动时，导线两端的电动势为沿垂直于磁感线的方向运动时，导线两端的电动势为0.3V， 则该磁场的磁感应强度则该磁场的磁感应强度B= T0.15 例例11一半径为一半径为r2，电荷线密度为，电荷线密度为的均匀带电圆环，里面有一的均匀带电圆环，里面有一 半径为半径为r1总电阻为总电阻为R的导体环，两环共面同心的导体环，两环共面同心(r2r1)，当大环，当大环 以变角速度以变角速度=(t) 绕垂直于环面的中心轴旋转时，求小环中绕垂直于环面的中心轴旋转时，求小环中 的感应电流，其方向如何的感应电流，其方向如何? 解解:等效电流为等效电流为: 2 )( 2 2 )( 2 rt r T q I

14、t 在圆心处形成的磁场为在圆心处形成的磁场为: 2 )( 2 )( 2 0 2 20 2 0 t r rt r I B 2 1 0 1 0 2 )( 2 )( r t S t BS dt tdr dt d)( 2 2 10 1 r 2 r )(t dt td R r R i )( 2 2 10 OR a E l d B t Br ERr 2 : 感感 t B r R ERr 2 : 2 感感 l dEd 感感 cos 2 2 dl t B r R d t BR rd t B r R 22 22 d t BR d 2/ 2/ 2 2 t BR 2 2 t BR 2 2 例例22在半径为在半径为R

15、的圆柱形空间内的圆柱形空间内, ,充满磁感应强度为充满磁感应强度为B的均匀磁的均匀磁 场场, ,B B 的方向与圆柱的轴线平行的方向与圆柱的轴线平行, ,有一无限长直导线在垂直有一无限长直导线在垂直 于圆柱中心轴线的平面内于圆柱中心轴线的平面内, ,两线相距为两线相距为a，aR，如图所示如图所示, , 已知磁感应强度随时间的变化率为已知磁感应强度随时间的变化率为 , ,求长直导线中的求长直导线中的 感应电动势感应电动势, ,并讨论其方向并讨论其方向. . tB / 解法解法1 1: :设设 为正为正, ,则感应电场的方向为逆时针方向则感应电场的方向为逆时针方向: :tB / 方向从左向右方向从

16、左向右 若若 t B 为负，则电动势方向从右到左。为负，则电动势方向从右到左。 法法22 2 2 1 )(R t B BS tdt d 与上述结果一致与上述结果一致 OR a B E 如图，选取过轴线而平行于给定的无限长如图，选取过轴线而平行于给定的无限长 直导线的一条无限长直导线与给定的无限直导线的一条无限长直导线与给定的无限 长直导线构成闭合回路（在无限远处闭合）。长直导线构成闭合回路（在无限远处闭合）。 则则在过轴线的无限长直导线上，因场强处处与之垂直在过轴线的无限长直导线上，因场强处处与之垂直， 所以，电动势为零。而在无限远处所以，电动势为零。而在无限远处 ， 故此回路中的故此回路中的

17、 电动势就是给定的无限长直导线中的电动势。电动势就是给定的无限长直导线中的电动势。 0E 该回路的磁通量：该回路的磁通量： BR 2 2 1 例例3电量电量Q均匀分布在半径为均匀分布在半径为a、长为、长为L（L a ）的绝缘薄壁长）的绝缘薄壁长 圆筒表面上，圆筒以角速度圆筒表面上，圆筒以角速度 绕中心转轴旋转。一半径为绕中心转轴旋转。一半径为 2a、电阻为、电阻为R 的单匝圆形线圈套在圆筒上。若圆筒转速按的单匝圆形线圈套在圆筒上。若圆筒转速按 照照 = 0( 1 t / t0 ) 的规律随时间线性减小，求圆形线圈中的规律随时间线性减小，求圆形线圈中 感应电流的大小和方向。感应电流的大小和方向。

18、 a a2 解：薄壁长圆筒表面的电荷旋转时等效解：薄壁长圆筒表面的电荷旋转时等效 于密绕螺线管：于密绕螺线管： 。 式中式中nI 为单位长度上的圆电流的电流强度。为单位长度上的圆电流的电流强度。 nIB 0 单位长度带电：单位长度带电： L Q 单位长度的电流：单位长度的电流： L Q nI 22 故圆筒内：故圆筒内： L Q B 2 0 单匝圆线圈的磁通量：单匝圆线圈的磁通量： L Qa aBBS 2 2 02 0 2 00 2Lt aQ dt d RLt aQ R I 0 2 00 2 电流方向：与长圆筒电荷运动的绕向一致。电流方向：与长圆筒电荷运动的绕向一致。 例例44半径为半径为R 的

19、长直螺线管单位长度上密绕有的长直螺线管单位长度上密绕有n 匝线圈，在管匝线圈，在管 外有一包围着螺线管、面积为外有一包围着螺线管、面积为S的圆线圈，其平面垂直于螺的圆线圈，其平面垂直于螺 线管轴线。螺线管中电流线管轴线。螺线管中电流i 随时间作周期为随时间作周期为T 的变化的变化. . 求求: : 圆线圈中的感生电动势圆线圈中的感生电动势i 。画出。画出i- t 曲线，注明时间坐标。曲线，注明时间坐标。 R S i in 解：螺线管内磁感应强度为：解：螺线管内磁感应强度为：niB 0 圆线圈的磁通量为：圆线圈的磁通量为： niRRB 2 0 2 感生电动势：感生电动势： dt di nR dt

20、 d 2 0 由图知：由图知： .) 4 7 4 5 , 4 3 4 ( 4 .) 4 5 4 3 , 4 0( 4 TTTT t T I TTT t T I dt di m m O I t m I 4 T m I 4 3T T .) 4 7 4 5 , 4 3 4 ( 4 .) 4 5 4 3 , 4 0( 4 2 0 2 0 TTTT t T IRn TTT t T IRn m m 4 T 4 3T 4 5T t A dx B II x r2 r1 O b a x 解：对这类题目主要类型有：解：对这类题目主要类型有： I不变，线圈以不变，线圈以v运动；运动；I变化，变化， 线圈不动；线圈不

21、动；I变化，线圈运动。都变化，线圈运动。都 应先求出应先求出B分布，然后求出分布，然后求出(t), 最后求出最后求出d /dt. 选顺时针方向为选顺时针方向为的正方向，取的正方向，取 面元面元dS=adx BadxBdSSdBd )(22 21 00 rrx I x I B )ln(ln 2 ) 11 ( 2 2 2 1 10 21 0 1 1 r br r brIa dx rrxx Ia br r )ln(lncos 2 2 2 1 10 r br r br t Ia dt d 例例55如图，两条平行导线和一个矩形导线框共面，且导线框如图，两条平行导线和一个矩形导线框共面，且导线框 的一个边

22、与长导线平行，到两长导线的距离分别为的一个边与长导线平行，到两长导线的距离分别为r1、 r2， 已已 知两导线中电流都为知两导线中电流都为II0sint。 I0、为常数。导线框长为为常数。导线框长为a， 宽为宽为b。求导线框中电动势。求导线框中电动势。 当当cost0时，时，0, 沿逆时针方向；沿逆时针方向； 当当cost0, 沿顺时针方向沿顺时针方向。 例例66如图，长直导线如图，长直导线AB中的电中的电 流流I沿导线向上，并以沿导线向上，并以dI/dt=2A/s 的变化率均匀增长，导线附近放的变化率均匀增长，导线附近放 一个与之同面的直角三角形线框，一个与之同面的直角三角形线框， 其一边与

23、导线平行，位置及尺寸其一边与导线平行，位置及尺寸 如图，求线框中的感应电动势的如图，求线框中的感应电动势的 大小和方向。大小和方向。 B A b I x y x dx d h h=20cm d=5cm b=10cm 解：与上题类似，只是计算解：与上题类似，只是计算的的 难度要增加。难度要增加。 以三角形直角顶点为原点建立坐标系，规定顺时针以三角形直角顶点为原点建立坐标系，规定顺时针 方向为正。方向为正。 SdBd 而直角三角形斜边的方程为而直角三角形斜边的方程为 y = -2x+h = -2x+0.2 )(2 d d,dd, )(2 00 xd xIy xyS xd I B I x xx xI

24、 x x xI x x xI xd xyI xd xIy bb bbb 8 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1059. 2 d) 05. 0 15. 0 05. 0 05. 0 (d 05. 0 1 . 0 d 05. 0 2 . 02 2 d 2)(2 d V. dt dI . dt d 88 1018510592 其方向为逆时针方向其方向为逆时针方向。 17-4 因因Rr 可将通过小线圈的可将通过小线圈的B视为相等，等于在轴线上的视为相等，等于在轴线上的B 23 22 2 0 2xR IR B 由于由于xR，有，有 3 2 0 2x IR B 所以所以 t x x ISR t d d

25、 3 2d d 4 2 0 而而 v t x d d 因此因此 x=NR 时，时， 24 2 0 2 3 RN vrI 部分课后题解答：部分课后题解答： 17-5 解解 圆盘可看成无数由中心向外的导线构成的，每个导圆盘可看成无数由中心向外的导线构成的，每个导 线切割磁感线运动且并联，因此有线切割磁感线运动且并联，因此有 2 0 2 1 dd)(BRrrBlBv R L 感 因电动势大于零，且积分方向由圆心至边缘，所以边缘处因电动势大于零，且积分方向由圆心至边缘，所以边缘处 电势高电势高(或由右手定则判断或由右手定则判断) 代入数据得：代入数据得： 2 1 30 0 6 0 150 2 2 .V

26、 17-7 解解 由动生电动势公式有由动生电动势公式有 A O lBv d)( OA A O lrBdsin A O LBl sinsind 22 1 2 BL sin 故故A点电势高（或用右手定则判断）点电势高（或用右手定则判断） 0 OA A O lrBdcos 17-11解解 取微元取微元 , 则则dS处的处的B为为 laSdd )(2 0 lx i B la lx i d 2 dd 0 SB x bxai la lx i b ln 2 d 2 0 0 0 )lncos( d d 2 ln d d 2d d 0 00 x bx tI t a x bx i t a t t xbx bv x bx t a