量子力学试题库-QM10-1.doc

1、量子力学试题库-QM10-1安徽大学 2004-2005 学年度第 1 学期期终考试 (A) 卷课程试题 系 专业 级 姓名 , 答案及评分标准 , 学号 得分一、 简答题 ( 每小题 5 分，共 40 分) 1( 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。r, 答 : 束缚态 : 粒子在一定范围内运动，时，。能级分立。,0r, 非束缚态 : 粒子的运动范围没有限制，时，不趋于 0。能级分立。 , 2( 简并、简并度。答 : 量子力学中，把处于不同状态、具有相同能量、对应同一能级的现象称为简并。把对应于能级的不同状态数称为简并度。, ， ,r,x,y,zxx ，dx3. 一粒子的波函数为，写出粒子位于

2、间的几率。， , ， ,2 解 : ， P,dxdydz,x,y,z,4( 给出如下对易关系 :,y,p,?z,p,?L,L,?yxyz2,L,L,?S,S,?xxy解 :,y,p,i,z,p,0L,L,i,Lyxyzx2,L,L,0s,s,i,sxxyzQMA答案及评分标准 -1,5( 写出在表象中的泡利矩阵。zi010,10,解: ,xyz,i1000,1,0,0,x,2a,6(一质量为的粒子在一维无限深方势阱V(x),x,0,x,2a,中运动，写出其状态波函数和能级表达式。,1nx,sin,02,x,a,()x,解: ,2aa,n,0,0,2x,x,a,222,n E,n,1,2,3,？

3、n2,8a,r,/2,， ,r,S,7(完全描述电子运动的旋量波函数为 ， ， ,z,， ,r,/2,2,2,3 ， dr,r,/2试述 ，及 分别表示什么样的物理意,r,/2,义。,2s,2解 : ，表示电子自旋向上 () 、位置在处的几率密 ,r,/2rz度;2,3 ， dr,r,/2s,2表示电子自旋向下 () 的几率。 z,2S,s，s8( 二电子体系中，总自旋，写出 () 的归一化本征态S,S12z( 即自旋单态与三重态 ) 。解 : 两个电子的自旋单态与三重态QMA答案及评分标准-2,S,SM()的共同本征函数SSMzSS,(,)(,),(,)(,)，(,)(,) (三重态 ) ,

4、(,),(,),(,),(,),(,),(,) 0 0 (单态) ,二、计算证明题 ( 共 60 分。 9-11 题各 10 分 ;12 14 题各 15 分, 但 13 和14 题只要选做一题。 )9( 计算下列对易式 :， dd2(1) (2) x,?,x,?,dxdx，解 : 设,(x) 是任意波函数。， ,ddd,(1) ,x,(x)xx,(x),dxdxdx， ,dd,x,(x),x,(x),(x),(x)，dxdx， d,(x)因任意，所以。x,1,dx， ddd222(2) ,x,(x),x,(x),x,(x),dxdxdx，dd22,x,(x)，2,x(x),x,(x),2x,

5、(x) dxdx， d2,(x)因任意，所以。 ,x,2x,dx，-14-31 ， 10( 一电子局限在 10 米的区域中运动。已知电子质量m=9.1110 千克，-14 试计算该电子的基态能量( 提示 : 可按长、宽、高均为10 米的三维无限深势QMA答案及评分标准-3阱计算)。解 : 在三维无限深势阱中运动的电子的能量为:22222,nnn,yxz,E,，nnn222xyz,2mabc,14-31n,n,n,1a,b,c,10m,m,9.11，10kg，基态，基态能量依题意， xyz22,3,8E,1.8，10J 11122ma22,1,x/2,i,t/222,(x,t),e,11.一个谐

6、振子处于基态 : 求势能的 V,m,x1/2,2， , ， 22x,T,p/2m 积分公式 : edx, 平均值及动能的平均值。 , ， , ， ,*,x,解: x,(x,t)x(x,t)dx,xedx,1, ,322,2,2m,11,22V,mx,24， ,222,2222,p,d,x,x/2/2,Teedx,2,22mmdx,，,2,22,x422,(,)xedx,2m,222,1,244m2m,12. 对于氢原子基态 , 求电子处于经典禁区的几率 ( 已知氢原子能级,e,e,ra,E,e,a,e,基态波函数为 n,a,nna,QMA答案及评分标准 -4,e,Bohr半径 ,势能 V )

7、r解 : 氢原子基态波函数为,/,r/a,e,a,e,为玻尔半径。 ,a,422E,e2,e2a相应的能量 122eeT(r),E,V,，动能 12ar是经典禁区。由上式解出。 T,E,V,0r,2a因此，电子处于经典禁区的几率为,r/a,P,erdrsin,d,d,(令 ,r/a) ,a,a,a, ,e,d,e,.,a,Lm,和 n,13(为的二本征态，本征值分别为。证明: m 和 nz(1) 矩阵元 之间的关系为 ， L 和 Lyxmnmn， iL,m,nLyxmnmnL(2) 在的任何本征态 ( 比如 ) 下，恒有。 L,L,0nzxy证 :(1) 由题意，要求与之 Lm,m,m,Ln,

8、n,nmLnmLnzzxy L、L、L 关系，由于三者构成封闭的对易关系，故 xyz1,mL,Ln,i(m,n)mLn mLnzxxyi,即 ， iL,m,nLyxmnmn11L,nL,Ln,nLL,LLn(2) xyzyzzyi,i,1,nLLn,nLLn yzzyi,QMA答案及评分标准 -5n ,nLn,nLn,0,yyi。 同理， L,0y1,r/a,(r),e,14(氢原子处于基态 : 求: 3,a2,er(1)势能的平均值 ; (2)最可几半径。222,eee1*,2r/a2,解:(1) V,d,e,rdrd,3,rr,ra,22ee42r/a, redr,3,aa0(2) 氢原子基态径向波函数为4,raR(r),e 103a