数学与应用数学-三次函数的性质及若干应用论文

1、摘 要本文主要探讨三次函数的性质及其应用，通过文献研究法，对三次函数的单调性、极值、三次方程的实根以及三次函数的图像特征等相关性质进行归纳，并对相关定理给予证明，在此基础上结合近年来江苏省理科高考试卷及模拟题等将以上性质应用于若干问题的解决，重点对涉及三次函数的最值问题、零点问题及对称性等问题进行解析.关键词：三次函数；单调性；对称性；零点；极值AbstractThispapermainlydiscussesthepropertiesofthethreefunctionanditsapplication,throughliteratureresearch,thethreefunctionsof

2、monotonicity,extremevalue,therealrootofcubicequationandtheimagecharacteristicsandrelevantpropertiesofthethreefunctionsaresummarized,andtherelatedtheoremtoprovethat,onthebasisofthecombinationofscienceofJiangsuprovincecollegeentranceexaminationexaminationpaperinrecentyearsandsim-ulatethetopicabovenatu

3、rewasappliedtosolveseveralproblems,mainlyinvolvingthreefu-nctionmostvalueproblem,thezeropointproblemisparsedandtheproblemofsymmetry.Key words:Cubic function;Monotonicity;Symmetry Zero;Extremevalue目 录1 引 言2 三次函数的性质2.1 三次函数的单调性2.2 三次方程实根的性质2.3三次函数的图象特征3 若干三次函数问题的解决3.1单调性、极值与最值问题3.2零点问题3.3对称性问题4 小结致 谢参

4、 考 文 献三次函数的性质及若干应用1 引 言自从导数纳入高考考试范围之日起，三次函数就在高考题中频繁出现，但是高中课本也只是对一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、三角函数等的图象与性质进行研究，而对三次函数的相关内容只是粗略的提及，并没有专门的板块进行研究，通过阅读前人的文献，知道对于研究三次函数切线和零点等三次函数图像特征的文章较少,对于三次函数的对称性的相关性质研究的比较深入，但是三次函数的对称性的相关应用却较少涉及，并且文章大多是给出一个定理再列出相对应的题目，对于三次函数的应用仅仅只是研究一类三次函数问题，基本都没有对于三次函数的应用进行专门的研究，纵使有列出三次函数相关问题，

5、大多分类也不是很明确，所以前人对于三次函数的研究不太全面.近年来三次函数在一张试卷中分值占了较大的比重，三次函数题目基本都在试卷的压轴题中出现.三次函数的单调性，对称性和图象特征对于三次函数相关问题的解决有很大的帮助并且也是大多数三次函数问题考查的对象.且三次函数也可以融入到各种类型的题目中，由于题目灵活多变，则它的涉及的范围就相对比较广，从而考查的范围也就变广.本文探讨了三次函数的单调性、三次方程实根的性质以及三次函数的图象特征，并且对相应的定理和性质进行了相关的证明.除此之外，对三次函数的单调性、极值和最值，零点，对称性问题进行专门的研究，并且利用导数和三次函数的相关定理与性质对问题进行解

6、答.对比前人的研究，本文将三次函数的性质进行了规整，将三次函数的问题单独进行了分类，而不是将性质与应用结合在同一个内容中进行研究.先对题目进行分析，然后运用三次函数的相关性质进行解答，将三次函数的相关性质与问题紧密结合在一起.2 三次函数的性质及其图象特征形如的函数叫做三次函数，其导函数，为的判别式.以下若无特别说明，本文中以及均如上定义.2.1 三次函数的单调性函数的单调性为求解函数的极值与最值问题提供了有力的工具，以下就是对三次函数的单调性进行探讨.性质2.1.1 若，则时，在上单调递减；时，在区间,上单调递减；在区间单调递增李云杰. 三次函数的单调性与极值J. 福建中学数学,2004(0

7、9):22-23.证明：当，时，二次函数图象开口向下且与轴至多有一个交点，由此可得对于任意的,都有，即在上单调递增. 当，时，二次函数的图象开口向下且与轴有两个不同的交点.令，解得，.因此与轴的两个不同交点分别为，.当时，所以在区间，上单调递减；当时，所以在区间上单调递增.综上可得，在区间,上单调递减；在区间上单调递增.性质2.1.2 若，则时，在上单调递增；时，在区间，上单调递增；在区间上单调递减1.证明：根据性质2.1.1，同理可证，性质2.1.2.通过上述的性质2.1.1以及性质2.1.2，可以得出，在一定取值范围下，三次函数函数的单调性，根据三次函数的单调性可以求得该三次函数的极值，并

8、且由极值可以知道，该三次函数在一定区间上的最值.令，解得，.由性质2.1.1与性质2.1.2列表如下 表2-10+0极小值极大值表2-2+00+极大值极小值由此可得性质2.1.3三次函数，在时，该三次函数没有极值，在时，该三次函数有两个极值且极大值为，极小值为.2.2 三次方程实根的性质若三次函数有极值，设它的两个极值点分别为，所对应的极值为，其中，. 由，得.性质2.2.1 对于三次方程.若，则该方程恰有一个实根；若，且，则该方程恰有一个实根；若，且，则该方程有两个不相等的实根且其中一个为二重根；若，且，则该方程有三个不相等的实根李忠发. 浅析三次函数零点的判断J. 数学学习与研究,2011

9、(17):82.证明：由性质2.1.1和性质2.1.2可知，当时，三次函数在上是单调的，所以该三次函数与轴有且仅有一个交点，则其所对应的三次方程恰有一个实根.当，且，则三次函数的两个极值同号，所以该三次函数与轴有且仅有一个交点，则其所对应的三次方程恰有一个实根.当，且，则或且.所以三次函数与轴有两个交点且其中一个交点为该函数的极值点，则其所对应的三次方程有两个不相等的实根且其中一个为二重根.当，且，则三次函数的两个极值异号，所以该三次函数与轴有三个交点，则其所对应的三次方程有三个实根.2.3 三次函数的图象特征（1）三次函数的对称性根据以往所学的知识我们可知三次函数是中心对称图形，所以三次函数

10、是具有对称性的，三次函数的对称中心有较多的特性，利用这些性质，可以对很多问题进行简单的求解.接下来对三次函数的对称性进行研究.定理2.3.1 三次函数的对称中心为，且在其导函数的对称轴上罗碎海,蔡文灵. 原函数与其导函数“三性”联系与三次函数对称性J. 中学数学研究(华南师范大学版),2017(19):33-35.证明：先证，三次函数三次函数的对称中心为，设为三次函数的图象上的任意一点，将代入可得 .点关于点对称的点为,下证是该函数图象上的一点，因为 所以，点是该函数图象上的一点，则三次函数的对称中心为.再证，在导函数的对称轴上，导函数的对称轴为，根据上述可知在的对称轴上.定理2.3.2若三次

11、函数有极值，则其对称中心即为这两个极值点的中点3.证明：根据定理2.1.3，可知若三次函数有极值，则该函数的两个极值点分别为，其中，.由此可得，.因为， 即，由定理2.3.3,可知三次函数的对称中心为，所以若三次函数有极值，则其对称中心即为这两个极值点的中点.（2）三次函数的图象由性质2.1.1，性质2.1.2，得出三次函数，根据，的不同情况，三次函数图象有以下四种当，时 ，如图2-1所示；当，时 ，如图2-2所示；当，时 ，如图2-3所示；当，时，如图2-4所示. 图2-1图2-3图2-2图2-43 若干三次函数问题的解决 由于三次函数的导数为二次函数，而二次函数在初中就已经经常出现并且也是

12、我们比较熟悉的函数，所以三次函数处理起来就会比较容易.以下列出二次函数的相关性质二次函数，将其化为顶点式为，顶点坐标为，当为该二次函数的极值点，为其极值.若二次函数的，则该二次函数所对应的二次方程有实根，设其为，有，.3.1 单调性、极值与最值问题三次函数的极值与最值问题，通过导数和3.2三次函数的单调性内的性质2.1.1,性质2.1.2,性质2.1.3以及其它相关内容进行求解，以下就是一些求解三次函数极值和最值的题目.例1【2015年江苏卷理】已知函数.试讨论的单调性.分析：本题考查三次函数的单调性问题，首先对函数进行求导，可以得出，然后再通过的取值范围来讨论三次函数的单调性，当时，由的函数

13、关系式，可以得出，三次函数的单调性；当时或当时，结合性质2.1.2，可以得出该三次函数相应的单调性.解：由，得，令，解得，.当时，由此可知，函数在上单调递增；当时，根据性质2.1.2，得函数在，单调递增，在上单调递减；当时，根据性质2.1.2，得函数在，上单调递增，在上单调递减.综上可知，当时，在上单调递增；当时，在，单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减.例2【2017年江苏卷理】已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点，（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（I）求关于的函数关系式，并写出定义域；（II）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围.分析：本题利

14、用导数研究三次函数的极值及零点问题，（I）首先要求关于的函数关系式，即先要求三次函数的导函数的极值点，再由题目中的导函数的极值点是的零点这一条件，可以得出关于的函数关系式，然后再求的取值范围，要求的取值范围，根据该三次函数有极值这一条件，可得出有实根，可知导函数的，再对该取值进行检验，即可得出关于的函数关系式的定义域；（II）先求出的极值之和，要求的极值之和，先设有两个极值点为，根据韦达定理求出，再列出的式子，并且对其进行相应的变形，将未知转化为已知，再求出函数的极值，即可求出和这两个函数的所有极值之和（含有未知数），然后根据第（I）小题的关系式得出一个含有未知数的式子，按照题意，即可得出的取

15、值范围.解：（I）由，得，则的极值点为.因为的极值点是的零点，所以，又，故.因为有极值，故有实根，则，即.当时，故在上是增函数.因此关于的函数关系式为，且定义域为.（II）由性质2.1.3可得，有两个极值点，若设这两个极值点分别为，则，可得.记和这两个函数的所有极值之和为，因为的极值为，所以，.因为，所以在单调递减.因为，所以，则.因此的取值范围为.例3【2019全国III卷】已知函数.（I）讨论的单调性；（II）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出，的所有值；若不存在，说明理由.分析：本题考查三次函数的单调性和最值问题，（I）要求的单调性，首先要对三次函数进行求导，得出，

16、再求出的两个极值点，然后根据的取值范围及性质2.1.2，对的单调性进行分类讨论；（II）要求，且知在区间的最小值为且最大值为1，由于的取值范围不同，的一定区间的单调性不同，则可根据的取值范围，结合的单调性求出，的所有值.解：（I）由，得，令，解得或.当时，根据性质2.1.2,可得 在上单调递减，上单调递增.当时，则在上单调递增.当时，则，根据性质2.1.2，可得在上单调递减，上单调递增.（II）满足题目条件的，存在.（i）当时，在上单调递增，所以在区间上，解得，.（ii）当时，在上单调递减，上单调递增，所以在区间上，或.当，时，解得，所以与矛盾；当，时，解得或或，所以与矛盾.所以，可知当，不存

17、在，使得在区间的最小值为且最大值为1.（iii）当时，在上单调递减，所以在区间上，解得，.综上所述，当且仅当，或，在区间的最小值为且最大值为1.例4【江苏盐城模拟】有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边长为6分米，另一边足够长.现从中截取矩形（如图3-1（a）所示，其中长为6分米），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图3-1（b）所示，重叠部分忽略不计），其中是以为圆心、的扇形，且弧，分别与边，相切于点，.当的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？ （a） （b）图3-1分析：本题考查三次函数的最值问题.结合题意求出改包装盒的容积(容积是关于的函数

18、关系式)，在利用导数结合三次函数的单调性，求出该包装盒容积的最大值.解：设，则,所以所得柱体的底面积. 又因柱体的高，所以，其中.令，则由，解得（舍去）或.列表如下：表3-12+0-极大值由上述的讨论，可知当时，取得最大值.例5函数，若在区间上的最大值为，求的值.分析：本题考查三次函数在闭区间上的最值问题，先对该三次函数进行求导，得，然后再求导函数的最值点，导函数在闭区间的端点处的值，再根据，得出端点处的值的范围，从而可以得出三次函数的极值点与闭区间的位置关系.然后求出在的最大值（关于的式子），再根据在区间上的最大值为，即可求出的值.证明：由，可得.由于，所以有两个实根，令这两个实根分别为，且

19、设，因为，所以.因为，所以.则，可得=，由于，所以，则.综上所述，若在的最大值为，的值为1.3.2 零点问题三次函数的零点问题可以转化为三次函数的图象与直线的交点问题，也可以转化为三次函数根的个数问题，在解答过程中，基本都是先将交点问题与根的个数问题或者零点问题相互转化，使得题目更加通俗易懂，然后通过性质2.2.1来解决相关问题，以下就是一些关于三次函数零点的问题.例6【2015年江苏卷理】已知函数.若（实数是与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是，求的值.分析：本题考查三次函数的零点问题，根据函数有三个不同的零点时这一条件，再根据性质2.2.1,可以得出一个含参数的不等式

20、，函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是,可以得出方程（含有未知数），然后利用用待定系数法得出的值，将代入该不等式，再解出的取值范围进行验证.解：由，得，令，解得，.函数的两个极值为,.由性质2.2.1得，当时，则只有一个零点，所以不成立，当时，则.因为该不等式的解集为，所，解得. 当时，.因函数有三个零点，则有两个异于的不等实根，所以且，解得.例7设函数,若函数的图象与直线有三个不同的交点，求的取值范围.分析：本题是对三次函数的图象与直线的交点问题进行考察，首先将三次函数将三次函数与直线的交点问题，转化为三次方程的实根问题，函数的图象与直线有三个不同的交点，即三次方程有三个不同的实根，根据

21、题意，再依据性质2.2.1，可以求出的取值范围.解：函数的图象与直线有三个不同的交点，等价于有三个实根.令，可得.令，解得，.由于有三个实根，由性质2.2.1，可得，则的取值范围为.例8设函数，当时，讨论方程根的个数.分析：本题考查三次方程根的个数问题，先对求导，得出，然后求出该三次函数的函数的极值点，的值，再根据性质2.2.1，得出一定取值下，三次方程根的个数.解：因为，所以.得.令，解得，,.由性质2.2.1，可得若，即或，有一个根；若，即或，有两个根；若，即，有三个根.例9【2018天津卷文】设函数，其中，且是公差为的等差数列.若曲线与直线有三个互异的公共点，求的取值范围.分析：本题将三

22、次函数与数列结合，以此来考查三次函数的零点问题，曲线与直线有三个互异的公共点，求的取值范围，即要求出有三个互异的实数根时，的取值范围，这里要利用换元法研究函数的单调性与极值，求出满足条件的的取值范围.解：曲线与直线有三个互异的公共点等价于关于的方程有三个互异的实数根.令，得.设函数，则曲线与直线有三个互异的公共点等价于有三个不同的零点.求得，令，解得，.根据性质2.2.1，得，则得的取值范围为.例10已知函数，过点可以做曲线的三条切线，则的取值范围为 .解析：本题考查三次函数切线的相关问题，由，得，令切点坐标为，则切线方程的斜率为，且.由于切线方程过点，所以，得，因为过点可以做曲线的三条切线，

23、所以有三个零点.由，得或.由于要使得有三个根，根据性质2.2.1,需使，则，即.3.3 对称性问题在解决三次函数对称性问题的时候，先要求出对称中心，然后利用相关性质进行解答，以下就是三次函数对称性的相关问题.例11已知函数，求的值.解析：本题考查三次函数中心对称的相关问题，根据定理2.3.3，可得该函数的对称中心为，由于，所以，则.例12已知直线与曲线有三个不同的交点，,，且，求的值.分析：本题考查三次函数的对称性，由可知点为点和点的中点，再由性质2.2.1可以求出曲线的对称中心,然后即可求出的值.解：由性质2.2.1可得曲线的对称中心为，因为直线与曲线有三个不同的交点，,，且，所以点和点关于

24、点对称，则可以得出，.所以可以求出例13已知，函数，已知曲线在其图象上的两点,处的切线分别为.若直线与平行，试探究点与点的关系，并给予你的结论陈崇荣. 三次函数的对称性试题赏析J. 数理化学习(高一、二),2014（02）:12-145.5曹一洪. 三次函数的图象和性质J. 中学数学月刊,2016,07:57-59.6钱鹏. 感悟三次函数的中心对称性J. 中学数学月刊,2010,08:36-37.7韩尚石. 关于三次函数图象切线问题的探讨J. 延边教育学院报,2015,2901:79-80.分析：本题考查三次函数对称性问题，首先要根据题意提出合理的假设，然后再以直线与平行为突破点，来证明假设成立.解：根据