数学向量数乘及几何意义新人教A必修PPT学习教案

1、会计学1 数学向量数乘及几何意义新人教数学向量数乘及几何意义新人教A必修必修 问题提出问题提出 1.1.如何求作两个非零向量的和向量、差如何求作两个非零向量的和向量、差 向量？向量？ 2.2.相同的几个数相加可以转化为数乘运相同的几个数相加可以转化为数乘运 算，如算，如3 33 33 33 33=53=53=15.3=15.那么相那么相 等的几个向量相加是否也能转化为数乘等的几个向量相加是否也能转化为数乘 运算呢？这需要从理论上进行探究运算呢？这需要从理论上进行探究. . a b a a b b a + b a- - b 第1页/共17页 探究一：向量的数乘运算及其几何意义探究一：向量的数乘运

2、算及其几何意义 思考思考1 1：已知非零向量已知非零向量a，如何求作向，如何求作向 量量aaa和（和（a）（）（a） （ a）？）？ a a O O aa A AB BC C aaa O O M MN NP P aaa O C= uuu r （a）（a）（a）O P= uuu r 第2页/共17页 思考思考2 2：向量向量aaa和（和（a） （a）（）（a）分别如何简化其表示）分别如何简化其表示 形式？形式？ aaa记为记为3a， （a）（a）（a）记为记为3a. 思考思考3 3：向量向量3 3a和和3 3a与向量与向量a的大小的大小 和方向有什么关系？和方向有什么关系？ 2- a a O O

3、 aa A AB BC C aaa O O M MN NP P 第3页/共17页 思考思考4 4：设设a为非零向量，那么为非零向量，那么 a和和 a 还是向量吗？它们分别与向量还是向量吗？它们分别与向量a有什么有什么 关系？关系？ 2 3 2- a 2 3 a 2- a 第4页/共17页 思考思考5 5： 一般地，我们规定：实数一般地，我们规定：实数与与 向量向量a的积是一个向量，这种运算叫做的积是一个向量，这种运算叫做 向量的数乘向量的数乘. .记作记作a，该向量的长度与，该向量的长度与 方向与向量方向与向量a有什么关系？有什么关系？ （1 1）|a|=|=|a| |； （2 2）0 0时时

4、,a与与a方向相同；方向相同； 0 0时时,a与与a方向相反；方向相反； =0=0时时,a =0.=0. 第5页/共17页 思考思考6 6：如图，设点如图，设点M M为为ABCABC的重心，的重心， D D为为BCBC的中点，那么向量的中点，那么向量 与与 ， 与与 分别有什么关系？分别有什么关系？ B D uuu r B C uuu r A D uuu r D M uuuu r A B C D M 1 2 B DB C= uuu ruuu r 3A DD M= - uuu ruuuu r 第6页/共17页 探究二探究二: :向量的数乘运算性质向量的数乘运算性质 思考思考1 1：你认为你认为2

5、 2（5 5a），），2 2a2 2b ， a可分别转化为什么运算？可分别转化为什么运算？ (32)+ -2-2 (5(5a)= -10)= -10a ； 2 2a 2 2b = b = 2(2(a+ +b) )； (3(3 ) )a =3 =3a a. .22 第7页/共17页 思考思考2 2：一般地，设一般地，设，为实数，为实数， 则则(a) )，() a，(ab) ) 分别等于什么？分别等于什么？ (a)=()=() a ； () a = =a a； (a b)=)=ab. . 第8页/共17页 思考思考3 3：对于向量对于向量a（a00）和）和b，若，若 存在实数存在实数，使，使b=a

6、，则向量，则向量a与与b 的方向有什么关系？的方向有什么关系？ 思考思考4 4：若向量若向量a（a00）与）与b共线，则共线，则 一定存在实数一定存在实数，使，使b=a成立吗？成立吗？ 思考思考5 5：综上可得向量共线定理：综上可得向量共线定理：向量向量a （a00）与）与b共线，当且仅当有唯一一共线，当且仅当有唯一一 个实数个实数，使，使b=a. . 若若a0 0，上述定，上述定 理成立吗？理成立吗？ 第9页/共17页 思考思考6 6：若存在实数若存在实数，使，使 ， 则则A A、B B、C C三点的位置关系如何？三点的位置关系如何？ A BBCl= uuu ruuu r 思考思考7 7：如

7、图，若如图，若P P为为ABAB的中点，则的中点，则 与与 、 的关系如何？的关系如何？ O P uuu r O A uuu r O B uuu r A AB BP P O O A BB CABCl=? uuu ruuu r 、 、共线 1 () 2 O PO AO B=+ uuu ruuu ruuu r 第10页/共17页 思考思考8 8：向量的加、减、数乘运算统称向量的加、减、数乘运算统称 为为向量的线性运算向量的线性运算，对于任意向量，对于任意向量a、b ，以及任意实数，以及任意实数、x x、y y，(x(xay yb ）可转化为什么运算？）可转化为什么运算？ (x(xay yb b）

8、=x=xayyb b. . 第11页/共17页 理论迁移理论迁移 例例1 1 计算计算 （1 1）（）（3 3）4 4a； （2 2）3 3（ab b）2 2（ab b）a； （3 3）（）（2 2a3 3b bc）（）（3 3a2 2b bc c） . . 第12页/共17页 2b 3b a b O O 例例2 2 如图，已知任意两个非零向量如图，已知任意两个非零向量a ， b b，试作试作 = =ab b， = =a2 2b b， = =a3 3b b. .你能判断你能判断A A、B B、C C三点之三点之 间的位置关系吗？为什么？间的位置关系吗？为什么？ OAOB OC a b A A

9、B B C C 2A CA BABC=? uuu ruuu r 、 、共线 第13页/共17页 例例3 3 如图，平行四边形如图，平行四边形ABCDABCD的两条对的两条对 角线相交于点角线相交于点M M，且，且 = =a， = =b b， 试用试用a, ,b b表示向量表示向量 、 、 、 A B uuu r A D uuu r M A uuu r M B uuur M C uuur M D uuur M M A B A B D CD C a b 第14页/共17页 小结作业小结作业 1.1.实数与向量可以相乘，其积仍是向量实数与向量可以相乘，其积仍是向量 ，但实数与向量不能相加、相减，但实数与向量不能相加、相减. .实数实数 除以向量没有意义，向量除以非零实数除以向量没有意义，向量除以非零实数 就是数乘向量就是数乘向量. . 2.2.若若a=0=0，则可能有，则可能有=0=0，也可能有，也可能有 a=0.=0. 3.3.向量的数乘运算律，不是规定，而是向量的数乘运算律，不是规定，而是