(无水印)《工程数学》辅导提纲

1、工程数学辅导提纲军区空军自考办第一部分 线性代数第一章 n阶行列式一、内容提要（一）排列和逆序数1.标准排列：由小到大的排列.2.逆序：左大右小的一对排序.3.逆序数：逆序的总数.4.奇（偶）排列：逆序数为奇（偶）数的排列.（二）行列式1.行列式的定义.2.行列式的性质（1）转置行列式的值不变（）.（2）换行（列）行列式的值变号.（3）两行（列）同比行列式的值为零.（4）单行（列）提取公因子.（5）将某行（列）同乘以加到另一行（列）上，行列式值不变.（6）如果行列式某一行（列）的元素是两数之和，则该行列式等于两个新行列式之和.3.行列式展开定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余

2、子式的乘积之和.即或 .（三）克莱姆法则若方程组的系数行列式.则方程组有唯一解：.其中是将中第列元素换所构成的行列式.注意：使用克莱姆法则有两个前提条件（i） 方程的个数等于未知数的个数；（ii） 系数行列式.二、重点内容1.逆序数的求法.2.行列式的性质及计算.三、典型例题例1 求排列的逆序数.解：.例2 计算对角行列式：.解：例3 求行列式的值.解：.四、思考题及作业题1.思考题排列是奇排列还是偶排列？2.作业题：.第二章 矩阵及其运算一、内容提要（一）矩阵的概念1.矩阵：有个数排成行列的数表.2.方阵：行数和列数相等的矩阵.（二）矩阵的运算1.加法：设，则运算规律：（1）;（2）;（3）

3、.2.减法：设，则.3.数乘：运算规律：（1）（2）（3）4.矩阵与矩阵相乘：设.则与的乘积是一个矩阵，其中：.运算规律：（1）（2）（3）5.矩阵的转置：将矩阵的行列互换，记作.运算规律：（1）; （2）;（3）; （4）.6.方阵的行列式：有方阵的元素构成的行列式.（三）逆阵1.概念：若，则是的逆阵，记作.2.定理：（1）若可逆，则; （2）若，则可逆，且.二、重点内容1.矩阵的运算.2.逆矩阵的求法.三、典型例题例1 已知,，求及.解： 例2 设,求的逆矩阵.解：. 可逆.又 .四、思考题及作业题1.思考题矩阵的乘积是否满足交换律？2.作业题 ,3， 5（2）.第三章 矩阵的秩与初等变换

4、一、内容提要（一）向量组的线性关系1.向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表示.2.含有零向量的向量组一定线性相关.3.线性相关的向量组增加若干新向量后仍相关.4.任意个维向量必相关.（二）矩阵的秩矩阵的秩可以定义为行秩或列秩，也可以定义为矩阵的不等于零的子式的最高阶数.（三）初等变换1.初等变换的形式：（1）对调两行（列）；（2）以数乘以某一行（列）；（3）将某行（列）乘以加到另一行（列）上去.2.结论：（1）矩阵经初等变换后其秩不变；（2）可逆矩阵经初等变换后可化为同阶单位阵E，用同样的初等变换可将单位阵化为的逆阵.二、重点内容1.矩阵的初等变换；2.向量的线性相关

5、性.三、典型例题例1 求矩阵的秩.解：，当时，；当时，.例2 求的秩.解：.例3 求的秩.解： .例4 用初等变换求矩阵的逆阵. 解： .四、 思考题及作业题（一） 思考题若向量组线性相关，那么是否可以用线性表示？（二） 作业题 、，9.第四章 线性方程组一、 内容提要(一) 线性方程组解的判别1对于齐次方程组： 它一定有解(零解)； 它有非零解的充要条件是： ； 它只有零解的充要条件是：.2. 对非齐次方程组 它有解的充要条件是； 当时，有唯一解； 当时，有无数解； 当时，无解.（二）解的性质及结构.解的性质若是齐次方程组的解，则也是方程组的解；若是方程组的解，则也是方程组的解；若是方程组的

6、解，则是方程组的解；若是方程组的解，是方程组的解，则是方程组的解.2解的结构 基础解系：若为方程组的线性无关的解方程组的解可由线性表示，则为方程组的一个基础解系.解的结构：若是方程组的一个基础解系则为方程组的通解，其中为任意常数. 若为方程组的解，则为方程组的通解.（三）求解的方法及步骤1.进行初等变换，得同解方程组；2.判断解的状况；3.求基础解系及特征解；4.根据基础解系及特征解，求出通解.二、 重点内容1 解的性质和结构.2求解方法、步骤.三、 典型例题例 求解方程组：解：由 得同解方程组为： 故基础解系为：，. 此方程组的通解为：，其中为任意常数.四、 思考题及作业题1思考题: 关于齐

7、次方程组解的结论有哪些？2作业题：.第二部分 积分变换一、内容提要(一) 付里叶变换1付氏变换的定义式：；2付氏逆变换的定义式：.(二) 拉氏变换 1. 拉氏变换的定义式：； 2. 拉氏变换的性质：线性性质；微(积)分性质；位移性质；延迟性质；卷积和卷积定理. 3. 拉氏逆变换的求法： (1) 利用部分分式法求原象函数； (2) 利用海维赛方法求象原函数.二、重点内容1付氏变换和付氏逆变换的求法；2拉氏变换的性质；3拉氏逆变换的求法.三、典型例题例 利用海维赛方法求的逆变换. 解 ， 令，得： ，故 .四、思考题及作业题1思考题： 付氏变换定义式与拉氏变换定义式的区别与联系是什么？2作业题：、

8、.第三部分 概率论第一章 随机事件与概率一、内容提要(一) 随机事件1.包含关系:出现必出现,记为2.和的关系:至少有一个出现,记为(或).3.积的关系:同时出现,记为(或).4.互斥关系:不能同时出现,即.5.互逆关系:必然有一个且仅有一个出现,即且,记为注意:互逆则必互斥, 互斥则不一定互逆.(二) 随机事件的概率1.古典概率的定义 2.概率的性质(1) 非负性:；(2) 有限可加性:若两两互斥,则有；(3) ；(4) ；(5) .(三) 条件概率1.定义:；2.乘法公式:；3.全概率公式:(略)；4.贝叶斯公式:(略).(四) 事件的独立性及二项概率公式1.事件的独立性(1) 定义：若，

9、则称相互独立.(2) 定理：若相互独立，则也相互独立.2.二项概率公式 设在每次试验中事件出现的概率为，则次重复独立试验中事件恰好出现次的概率为:二、重点内容1.事件间的关系.2.古典概率的概念、性质及计算.3.独立性与二项概率公式.三、典型例题例1 设弹药箱里有400发子弹,其中有80发夜光弹,现从中任取2发子弹,求这2发子弹都是夜光弹的概率.解： 设:两发均为夜光弹,则例2 甲、乙两架飞机编队向一敌舰各投一弹,已知甲命中的概率为0.6,乙命中的概率为0.5,求敌舰被命中的概率.解： 设甲命中; 乙命中; 敌舰被命中,则故 . 四、思考题及作业题 1.思考题:若事件互斥,那么是否相互独立？

10、2.作业题:第二章 随机变量及其概率分布 一、内容提要 (一) 随机变量及其分布函数 1.随机变量:在试验中根据试验结果能取得不同数值的变量. 2.分布函数:. 3.分布函数的性质: (1) (2) (即单调非减) (3) (4) (即分布函数处处左连续)(二) 离散型和连续型随机变量1.离散型随机变量的分布列(律)且2.连续型随机变量的分布密度(1) (非负性)(2) (归一性)(3) 注意:连续型随机变量的分布函数一定是连续函数.二、重点内容1.分布函数、分布密度的性质.2.分布列的求法.三、典型例题例 袋中有1个白球和4个黑球,每次从中任取一球,直至取得白球为止.若每次取后都不放回,求取球次数的概率分布.解：设取球次数为,则的可能取值为 的分布列为四、思考题及作业题1.思考题分布函数有哪些重要性质?2.作业题:第三章 随机变量的数字特征一、内容提要(一) 数学期望1.离散型随机变量的数学期望设离散型随机变量的分布列为则.2.连续型随机变量的数学期望设连续型随机变量的分布密度为则 .3.期望的性质(1) (2) (为常数);(3) (4) 若相互独立,则(二) 方差1.方差的定义:2.方差的性质 (1) (2) (为常数); (3) 若相互独立,