拉普拉斯变换重点PPT学习教案

1、会计学1 拉普拉斯变换重点拉普拉斯变换重点 拉普拉斯（Laplace）变换在电学、光学、力学等工程技术 与科学领域中有着广泛的应用由于它的像原函数 ( )f x 要求 的条件比傅里叶变换的条件要弱，因此在某些问题上，它比傅里叶变换的适用面要广本部分首先从傅里叶变换的定义出发，导出拉普拉斯变换的定义，并研究它的一些基本性质，然后给出其逆变换的积分表达式复反演积分公式，并得出像原函数的求法，最后介绍拉普拉斯变换的应用 第1页/共51页 本节介绍拉普拉斯变换的定义、拉普拉斯变换的存在定理、 常用函数的拉普拉斯变换，以及拉普拉斯变换的性质 8.1.1 拉普拉斯变换的定义 傅里叶变换要求进行变换的函数在

2、无穷区间 , 有定义，在任一有限区间上满足狄利克雷条件，并要求 第2页/共51页 ( ) df tt 存在这是一个比较苛刻的要求，一些常用的 函数，如阶跃函数 )(tH ，以及 tttcos,sin, 些要求另外， 等均不满足这 为自变量的函数，往往当 在物理、线性控制等实际应用中，许多以时间 0t 时没有意义，或者不需要知道 0t 就限制了傅里叶变换应用的范围 的情况因此傅里叶变换要求的函数条件比较强，这 第3页/共51页 为了解决上述问题而拓宽应用范围，人们发现对于任意一 个实函数 ( ) t ，可以经过适当地改造以满足傅氏变换的基本 条件 首先将函数 ( ) t ( ) t 乘以单位阶跃

3、函数： 0 0 ( ) 1 0 t u t t 得到 ( )( ) ( )f tt u t ，则根据傅氏变换理论有 第4页/共51页 ii 0 ( ) ( ) ( )( ) ( )d( )d tt f tt u tt u t etf t et FF 很显然通过这样的处理，当 0t 时， ( ) t 在没有定 义的情况下问题得到了解决但是仍然不能回避 ( )f t 在 0,) 上绝对可积的限制为此，我们考虑到当 t 时，衰减速度很快的函数，那就是指数函数 , (0) t e 于是有 第5页/共51页 i(i ) 00 0 ( ) ( ) ( )( )d( )d ( )d , ( i ) tttt

4、t pt f t et u t ef t eetf t et f t etp FF 上式即可简写为 0 ( )( )d pt F pf t et 这是由实函数 ( )f t 通过一种新的变换得到的复变函数， 这种变换就是我们要定义的拉普拉斯变换 第6页/共51页 定义8.1.1 设 实函数 ( )f t 在 0t 上有定义，且积分 0 ( )( )d pt F pf t et （ p 为复参变量） 上某一范围 对复平面 p 收敛，则由这个积分所确定的函数 0 ( )( )d pt F pf t et （8.1.1） 称为函数 ( )f t 的拉普拉斯变换，简称拉氏变换（或称为 像函数），记为

5、( ) ( )F pf tL 第7页/共51页 （说明：有的书籍记： ( )f p ( )f tL ，即 ( )f p 为函数 ( )f t 的拉氏变换） 综合傅氏变换和拉氏变换可见，傅氏变换的像函数是一个 实自变量为 的复值函数，而拉氏变换的像函数则是一个复 变数 p 的复值函数，由式（8.1.1）式可以看出， ( ) (0)f tt 第8页/共51页 的拉氏变换实际上就是 ( ) ( ),(0) t f t u t e 的傅氏变换 （其中 ( )u t 为单位阶跃函数），因此拉氏变换实质上就是 一种单边的广义傅氏变换，单边是指积分区间从0到 广义是指函数 ( )f t 要乘上 ( ) (0

6、) t u t e 之后再 作傅氏变换 例8.1.1 求拉氏变换 1L 第9页/共51页 Re0p ip 0 【解】 在 ,(按照假设 ) 即为 的半平面， 0 1 1d, pt et p 例8.1.2 求拉氏变换 .tL 【解】 在 Re0p 的半平面, 第10页/共51页 00 0 0 2 0 2 1 dd() 11 =d 11 =d, 1 = (Re0) ptpt ptpt pt tette p teet pp et pp tp p L 同理有 第11页/共51页 1 ! = n n n t p L 例8.1.3 求单位阶跃函数 0, 0 ( ) 1, 0 t u t t 的拉氏变换 【

7、解】 由拉氏变换的定义，有 0 0 1 ( )d ptpt u tete p L 设 ip ，由于 第12页/共51页 (i) | | pttt eee ，所以，当且仅当 Re0p 时， lim0 p t t e ，从而有 1 ( ) (Re0)u tp p L 例8.1.4 求拉氏变换 , st esL 为常数. 【解】 在 ReReps 的半平面上 第13页/共51页 ()() 0 00 11 dd 1 (ReRe ) stptp s tp s t st e etete p sp s eps p s L 请记住这个积分以后会经常用到 例8.1.5 若 ( )sinf tt 或 cos (t

8、 拉氏变换 为实数），求 ( )f tL 第14页/共51页 【解】 (i )(i ) 00 1 sinsindd 2i ptptpt tteteet L 22 111 , Re0 2iii p ppp 同理 22 cos, Re0 p tp p L 第15页/共51页 例8.1.6 求拉氏变换 , st tesL 为常数. 【解】 在 ReReps 的半平面上， () 00 ()() 0 0 2 2 1 dd 1 d 1 = () 1 (ReRe ) () stptp s t p s tp s t st te ette ps teet ps ps teps ps L 第16页/共51页 同理

9、 1 ! () nst n n t e ps L 例8.1.7 若 at cetf)(a ( )f tL （为复数），求拉氏变换 【解】 () 0 0 d, ReRe p a t atatpt cec cece etpa p ap a L 第17页/共51页 8.1.2 拉氏变换的存在定理 定理 8.1.1 拉氏变换存在定理 若函数 )(tf 满足下述条件： （1）当 0t)(tf0t )(tf 时， =0；当时， 在任一有限区间上分段连续； （2）当 t 时， )(tf 的增长速度不超过某一 第18页/共51页 指数函数，即存在常数 M 及 0 0 ，使得 tMetf t 0,)( 0 则

10、( )( )f tF pL 在半平面 0 Rep 上存 在且解析 【证明】：证明 0 ( )( )d pt F pf t et 存在由 第19页/共51页 0 0 00 0 ( )dd, t pt M f t etMet 所以上述积分绝对收敛，且 )(pF 在右半平面 0 Rep 存在 然后证明 )(pF 解析为此，在积分号内对 p 导数，并取 求偏 101 ( 为任意实常数），则有 第20页/共51页 10 2 000 10 ()d()dd t ptpt M f t etf t etMtet pp 故积分 0 ( )d pt f t et p 在半平面 0 Rep 上一致收敛，可交换积分与微

11、商的次序，即 2 00 10 dd ( )( )d( )d dd ptpt M F pf t etf t et ppp 第21页/共51页 )(pF 0 Rep )(pF 0 Rep 故的导数在 且有限，可见 在半平面 内解析 上处处存在 8.2 拉普拉斯逆变换概念 定义8.2.1 拉氏逆变换 若满足式： 0 ( )( )d pt F pf t et ，我们称 ( )f t 第22页/共51页 为 ( )F p 的拉普拉斯逆变换，简称拉氏逆变换（或称为 原函数），记为 1 ( ) ( )f tF p L 为了计算拉氏逆 变换的方便，下面给出拉氏逆变换的具体表达式 实际上 ( )f t 的拉氏变

12、换，就是 ( ) ( ) t f t u t e (0) 的傅氏变换.因此，当 ( ) ( ) t f t u t e 满足傅氏 积分定理的条件时，根据傅里叶积分公式， ( )f t 在连续点处 第23页/共51页 ii i(i ) 0 i 1 ( ) ( )( ) ( )d d 2 1 =( )d d 2 1 =(i )d (0) 2 tt t t f t u t efueee efe Fet 等式两端同乘 t e ，并注意到这个因子与积分变量 无关， 故 0t 时 第24页/共51页 (i) 1 ( )(i )d 2 t f tFe 令 ip ，则有 i i 1 ( )( )d (0) 2

13、i pt f tF p ept （8.2.1） 上式为 ( )F p 的拉普拉斯逆变换式，称为拉氏逆变换式 记为 1 ( ) ( )f tF p L 并且 ( )f t 称为 第25页/共51页 ( )F p 的拉普拉斯逆变换，简称拉氏逆变换（或称为像原函 数或原函数） （8.2.1）称为黎曼梅林反演公式，这就是从像函数求原函数 上式右端的积分称为拉氏反演积分公式 的一般公式 注意：公式 0 ( )( )d pt F pf t et 和公式 i i 1 ( )( )d , (0) 2i pt f tF p ept 构成一对互逆的 第26页/共51页 积分变换公式， ( )f t( )F p 也

14、称 和 构成一组拉氏变换对。 8.3 拉氏变换的性质 虽然，由拉氏变换的定义式可以求出一些常用函数的拉氏变换但在实际应用中我们总结出一些规律：即拉氏变换的一些基本性质通过这些性质使得许多复杂计算简单化 我们约定需要取拉氏变换的函数，均满足拉氏变换存在定理的 条件 第27页/共51页 性质1 线性定理 若 , 为任意常数，且 1122 ( )( ),( )( )F pf tFpf tLL ，则 1212 111 1212 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) f tf tf tf t F pF pF pF p LLL LLL (8.3.1) 【证明】 1212 0 ( )(

15、)( )( )d pt f tf tf tf t et L 第28页/共51页 12 00 12 ( )d( )d ( )( ) ptpt f t etf t et f tf t LL 根据逆变换的定义，不难证明第二式具体留给读者去证明 例8.3.1 求 函数 3 ( )cos36 t f tte 的拉氏变换. 【解】 3 22 6 ( )cos3 6 33 t p f tte pp LLL 第29页/共51页 例8.3.2 求函数 1 ( ) (0,0,) ()() F pabab pa p b 的拉氏逆变换 【解】 因为 111 11111 ( ) ()() 1111 ( ) 1 () a

16、tbt atbt F p papbabpabapb F p abpabapb ee ee abbaab LLL 第30页/共51页 例8.3.3求 sh,atLchatL 【解】 22 111 sh 22 atat eea at p apapa LL 22 111 ch 22 atat eep at papapa LL 性质2 延迟定理 第31页/共51页 若设 为非负实数， ( )( )f tF pL ，又当 0t 时， ( )0f t ，则 ()( ) ( ) pp f teF pef t LL (8.3.2) 或 1 ( )() p eF pf t L 【证明】由定义出发，随后令 tu

17、，可得 () 0 ()()d( )d ptp u f tf tetf u eu L 第32页/共51页 u)(uf 利用0时， =0，积分下限可改为零，故得 0 ()( )d ( ) ppup f tef u euef t LL 例8.3.4 已知 0 0 0, (0) ( ), (0) 0, () t f tctt tt ，求 ( )f tL 【解】用阶跃函数表示 )(tf )()()( 0 ttcHtcHtf 第33页/共51页 再利用线性定理及延迟定理，有 00 0 ()()()1 ptpt ccc f tcH tcH t tee ppp LLL 性质3 位移定理 若 ( )( )f t

18、F pL ，则有 0 ( )(), (Re() at e f tF papapL (8.3.3) 0 p ( )f t 其中是的增长指数 证明 根据定义 第34页/共51页 0 () 0 ( )( )d ( )() atatpt p a t e f te f t et f t edtF pa L 例8.3.5 求 t te L 【解】令 )(tft( ) ( ) F pf ttLL =，则由 得 2 1 t p L = )(pF 利用位移定理 ( )() at e f tF paL ，即有 第35页/共51页 2 1 () () t teF p p L 性质4 相似定理 设 ( )( )f t

19、F pL ，则对于大于零 的常数 c ，有 1 ()() p f ctF cc L （8.3.4） 【证明】由定义出发，随后作变量代换 ctu ，则 00 ( )( )d( )d u p pt c u f ctf ct etf u e c L 第36页/共51页 0 11 ( )() p u c p f u eduF ccc 性质5 微分定理 设 ( )( )f tF pL ( ) ( ) (1,2,) n ftn 存在且分段连续，则 ( 2 ( )12(1)2) ( ) ( )(0) ( ) ( )(0)(0) ( ) ( )(0)(0)(0)(0) nnnnnn f tpf tf f tp

20、f t pf pff ftpf tpfpff LL LL LL （8.3.5） 第37页/共51页 【证明】 由定义出发，随后用分部积分，可得 0 00 ( )( )d( )( )d ptptpt f tf t etf t epf t et L (0)()( )(0)fpF ppf tf L )(t f )(tf 同理，用取代上述的 ，可得 ( )( )(0)ftpftfLL 2 ( )(0)(0) ( )(0)(0) p pf tff pf tpff L L 第38页/共51页 继续作下去，即得所证 特别地，当 () (0)0 (0,1,2,1) k fkn 则 ( ) ( ) nn ftp

21、f tLL 性质6 像函数的微分定理 d ( )()( ) d n n n F ptf t p L (8.3.6) 【证明】在拉氏变换定义式两边对 p 求导 第39页/共51页 00 dd ( )( )d ( )d dd ptpt f pf t etf t et ppp 0 () ( )d() ( ) pt t f t ett f t L 2 2 00 dd ( )() ( )d() ( )d dd ptpt F pt f t ett f t et ppp 22 0 ()( )d()( ) pt tf t ettf t L 继续作下去，即得所证 第40页/共51页 性质7 积分定理 设 ( )

22、( )f tF pL ，则 0 11 ( )d ( )( ) t ff tF p pp LL (8.3.7) 【证明】设 0 ( )( )d t g tf ，则 0)0(),()(gtftg 由微分定理，有 ( ) ( )(0) ( )g tpg tgpg tLLL 即 1 ( )( )g tg t p LL 第41页/共51页 由 )()(tftg 可得 0 111 ( )d ( )( ) ( )( ) t fg tg tf tF p ppp LLLL 一般地对应n重积分，我们有 000 1 dd( )d ( ) ttt n ttfF p p L 性质8 像函数的积分定理 第42页/共51页

23、 ( ) ()d p f t F pp t L (8.3.8) 【证明】由拉氏变换的定义式出发，随后交换积分次序 00 d()d( )dd( )d p tp t ppp F ppf t etpepf tt 00 ( ) ( )d( )d p tpt pp eef t f ttf tt ttt L 上面交换积分次序的根据是 0 ( ) p t f t edt 在满足 第43页/共51页 0 Re p 条件下是一致收敛的 性质9 拉氏变换的卷积定理 (1) 定义 8.3.1 拉氏变换的卷积 前一章我们学习了傅氏变换的卷积概念和性质，当 12 ( ),( )f tft 是 (,) 上绝对可积函数时，它们的卷积是 1212 ( )*( )( )()df tf tff t 第44页/共51页 0t 12 ( )( )0f tft 如果当 时，有 ，则上式可写为 1212 0 0 1212 ( ) ()* ()( ) ()d( ) ()dd t t ff tf t f tff tff t 1212 0 ( )* ( )( ) ()d (10.3.9) t f tf tff t 因为在拉氏变换中总认为 0t 时，像函数 ( )f t 因此把上式（8.3.9）定义为拉氏变换的卷积 恒为零， 第45页/共51页 （2）拉氏变换的卷积定理 1212 ( )( )( )( )f