讲义分析力学-正则方程

1、6 哈密顿正则方程一、教学目标：1. 了解哈密顿函数的建立过程及意义；2. 了解哈密顿正则方程的建立及意义；3. 了解哈密顿正则方程的应用。二、教学重点和难点：重点：哈密顿正则方程。难点：能量积分和广义能量积分。三、教学方法：多媒体辅助教学四、教学过程引言：哈密顿正则方程是与拉氏方程等价的动力学方程。山6么6么这组拉氏方程是s个关于广义坐标的二阶常微分方程。在这组拉氏方程中的拉氏函数L 它是广义坐标彳，广义速度。以及时间（的函数：L = L（q、q、t）。如果我们把拉氏函数中的广义速度变换成-广义动量a，即L = L（q,p,f）那么就可以将上而的s个拉氏方程化成2s个一阶常微分方程，而且这2

2、s个一阶常微分方程 还具有一左的很漂亮的对称性。要想把拉氏函数：L=Uqt）变成是广义坐标、广义动 量P及时间/的函数-L = L（g,p、t）,以及将s个拉氏方程化成2s个一阶常微分方程。将 会用到勒毀特变换这一数学工具。1. 勒襄特变换现在先讨论两个变量的勒襄徳变换，假设所给的函数是两个变疑X】和X2的函数，即：f = f（xlfx2）则由高等数学的知识可得此函数的全微分df =-dxA+dx2dx dx2在此我们令oxx ox2oxi并以心和“2为新的变疑立义一个新函数：2 g 三 兀“,一 / = XxllA + x2u2 - f如果我们从变换方程（1）解出七,使“是的函数，即兀=兀（

3、山），再代入上式中去，那么，g就是只含新变量冷的函数了，即g = g（|，“2）（2）我们先对式两边进行微分，则得：22 芳 $df I 2dg =工gdUj=E % +（% 一日仏i =Xxi（h,ij=i;=i QX （=i |_/=!又因为将旧变量呂换成新变疑之后，新函数g就是新变量心的函数：g = g（,“2）那么对它微分就有：dg =空-d“ + 上兰-“，*du, 1 du2 -将这个等式与上一等式进行比较就可得到变换关系：%! =, x2 = du1（3）du du2前面我们利用变换方程（1）把旧的变M X1A2及旧的函数/（“，心）变为新的变量”“2及新的函数g = g（“|,

4、“2）的方法，就称为勒让徳变换。我们从方程（1）结合方程（3）又可看出，勒让徳变换具有完全的对称性：新变量就是 旧函数对旧变量的偏导数，而旧变量又恰好是新函数对新变量的偏导数。所以说勒让徳变换 具有很好的对称性。虽然，我们在前而是以两个变量的情况推出勒让徳变换的，但是，由上而的推导结果,我们很容易把勒让徳变换推广到n个变量的情形，即兀=，(i=l,2,3 n)OUj除此之外，还可以对它再加以推广。如果在已知函数f中除了含有旺之外还含有与兀(i=l,2,3n)无关的独立变量儿(戸123k)也就是假立f = f (“心，儿儿)那么，当进行勒让徳变换时，只须将儿看作为参数，而不参与变换，则上述的推导

5、过程完 全照旧，当然此时函数g中含有儿，那么不难得到此情形下的变换方程为：= , A； =- (i=l, 2, n)Ox,两以及网一/由于此时的g函数通过f而含有儿，因此，由上面的*和卿式可以直接得到附加关系：兽=_譽(j=l，2,k)ON, dyj下而我们就通过这种推广后的勒让徳变换来建立哈密顿正则方程。2. 正则方程：2.1.广义动量：上次课我们在讨论循环积分的时候提到过广义动量的槪念，在分析力学中通常左义广义动量a等于拉氏函数L对广义速度的偏导数：Pa三oL在开始的时候我就讲过，如果将拉氏函数中的广义速爲换成广义动量厂 亦即将L = L(q.QJ) T 厶=Uq、p、t) 那么就可将完整

6、、保守系的拉氏方程化成2s个一阶常微分方程，如此化得的2s个一阶常 微分方程就是与拉氏方程等价的哈密顿正则方程，所以现在我们先对拉氏函数作勒让徳变在这里将爲作为进行变换的独立变量，相当于上面一般情形中的儿而爲及/视为不参与变换的参量,它们相当于前而的”于是就可引入作为新的变量,dL(qyqJ)2飞厂这里的q=1,2so那么，我们由这s个变换方程就可解得s个广义速度将它代入拉氏函数L = L(qqt)中去就可得到L = g o例如在有心力场中有一质点，英拉氏函数:L = T-V = -m(r2 +r202)-V(r)2则根据变换方程可得:dLp =mrr dr可见它是一径向动量。同理又可以得到吩

7、务心动量矩由此两式于是就有:可见通过变换方程变换之后就可得到用广义坐标和广义动虽:表示的广义速度。2.2正则方程的推导：另外，由于引入这一变换关系：oL之后，我们前而所立义的哈密顿函数:也就可以写成为：H 二为P&-La那么，将从变换方程解得的广义速度叭代进上式，显然哈密顿函数H也就可以化成是广义坐标、广义动量和时间的函数：H =现在我们就在通过这样变换后的基础上推出正则方程。因为Q如果在这里仍把厶看作q.qj的函数，则对此等式两边微分则有:在此我们要用到保守系的拉氏方程:d dL dL 八=U山叽 dcla由拉氏方程可得dL所以为SMa 一 Pga)一牛力dHadPa-pM-dt如果考虑到经

8、变换以后哈密顿函数H它是G p. f的函数H = H(q、pM那么对H的全微分应该是：+也仇）+dPa6ta比较两式，于是就可得到:dHoH这是2s个对广义坐标“a和广义动量Pa的一阶常微分方程组。可见它们具有非常简洁的对 称性，因此就称它们为正则方程。这一组方程首先是由哈密顿得到的，因此也就将它们称作为哈顿正则方程，有的书上还 将它称作为哈密顿运动方程。由（！）（2）两式的比较我们还可以得到一个附加关系：dH _ dL这一附加关系没有什么重要的用途，它只是给出了哈密顿函数和拉氏函数的关系，指岀了H 是否显含时间t完全处决于拉氏函数L是否显含时间f。下而对给出的哈密顿正则方程作两 点必要的讨论

9、。2.3.讨论：（1）由推出的正则方程可以看出：正则方程是以广义坐标q和广义动量p作为独立变虽 的2s个一阶常微分方程，q和p就称作为正则变呈:。任正则方程中，q和p是等同地位 的自变量，我们知道拉氏方程求解的是广义坐标血=么和广义速度；.而正则方程所要求解的是q = q和p = p;.正则方程是从完整约束、保守系 的拉格朗日方程推出来的，所以完整保守系的拉氏方程运用的条件也就是正则方程成立的条 件，因此正则方程成立的条件也就是：完整约束、主动力都具有势能的情况，即完整约朿、 保守力系。前而我们从拉氏方程推出了正则方程，反过来我们从正则方程中消去广义动量也 可以推出s个拉氏方程，正如此它们在求

10、解力学问题中是等价的，同样在一泄的条件下, 哈密顿正则方程也同拉氏方程一样，存在一次积分，也就是说，在一上条件下，由哈密顿正 则方程可以给岀它的能量积分和循环积分。3. 正则方程的能量积分和循环积分：3.1能量积分.假泄哈密顿函数H = H /?）不显含时间那么H对t的全导数应该是:dHdt利用正则方程于是就可得到:dH oH cH dH 6H=()=0山 a 如见见dqan = 0,它的一次积分：H=LOdt由推导得到的结果说明了，如果H不显含时间r,只要满足这个条件，我们从正则方程 也可以推岀广义能量积分：力这一结论，再次证明了如果H不显含f,那么H是守恒的， 这与用拉氏方程推出的结果是一

11、致的，因此说明哈密顿函数也是力学体系的特性函数，如果 系统所受的约束为 稳左约束，H就是系统机械能，即乐动能和势能之和：H=T+V. 如果是不稳立约束，系统的哈密顿函数为广义能量，即H=T2-T()+V a从上而的推导我们还可以看出：由正则方程得岀能量积分，要比由拉氏方程得出能疑积分显 然要简便得多，这正是用哈密顿正则方程解决力学问题优点之一。3.2循环积分下面转到对正则方程的循环积分，由哈密顿的正则方程也比拉氏方程更容易得到它的循 环积分。如果哈密顿函数II中不含有某个与广义动量对应的广义坐标厲，这个厲就叫做 的循环坐标。如果II中存在循环坐标，那么孔0于是由正则方程：6H马上可以推岀p,

12、=0o因此可以得到它的一次积分：门=常数，这就说明了对应循环坐标的广义动量门是守恒的。所以由这个结果也就说明了：利用正则方程同样可以得广义动 量积分也就是循环积分。因此，这也再一次地显示了拉氏方程与正则方程在研究力学问题上 的等价性。在这里还需指出的是：我们不难证明拉氏函数L的循环坐标也必立是II的循环坐标。G6% a % oqi a dqa dq, dqt oq.是厶和H的共同循环坐标。因此今后我们没必要区分厶和的循环坐标。只要是循环坐标, 对应循环坐标的广义动量巴必定是守恒的。4. 正则方程的应用：下而我们举一些具体的例子来应用正则方程解。应用正则方程求解力学问题的一般步 骤是很有规则的：

13、（1）首先确泄研究系统和广义坐标。（2 ）写出L = T-V = L（q,q,t）的表达式，再由广义动量的定义式：dL解出用广义坐标g及卩表示的q = q（pyt）,然后将它代入哈密顿函数定义式中去。（3）H = 2paqa_L求出用q .p表示的哈密顿函数=H（qW 求的方法有a两种，一种是根据的泄义式H =召詈qa-L来讣算，是根据哈密顿函数H的力学 意义：=门-几+匕或 =T+U（稳泄约束），T是广义速度的二次齐次函数。（4）列岀正则方程，解岀g（门、P（/）o这里还要强调两点：一列出正则方程必需是自 由度的2倍，即2s个方程，不要遗漏掉方程：二建立正则方程后求偏导数时，要注意到应 把g

14、，p，/看作等同地位的自变量。（5）解出最终的结果。例1 . （pag.235）设电荷为弋的电子在电荷为Ze的核力场中运动，Z为原子序数。试用正 则方程研究电子的运动。解:解题的步骤就是前而所讲的前三步。题目已经给我们选定了研究对象和广义坐标。即(1) 研究对象是皿 以球坐标为广义坐标。即s=r, q2=0, q5=(p(2) 写出拉氏函数L=T-V, L = 1 m(x2 +y2 +z2)-V(r)2在这里我们得先将拉氏函数化成用表示的函数。在球坐标系中，直角坐标与球坐标的关 系是：x = rsincos : ( x = ,sin&cos0 + r0cos0cossinsin(/)y = /

15、 sin Osin。 y = sin sin + r0 cos sinsin&cos0Z = rcQsO* z = rcosO - rOsnO于是可得：I厂=JC + 乙-=厂 +sin 0对于这个结果我们结合上图的情况还是比较容易记住的，希望大家能记住它，以后用起来就 比较方便，免得花时间去推导它。将此结果代入L中去就可得到用p.qX表示的拉氏函数了。 即L = m(r2 + r232 + r22 sin2 0)- 2 /将厶化成了几q,t的函数之后，还得利用广义动量的泄义式：oLPa =dcla求出用表示的q = qaiM)有三个广义坐标就得三个广义动量即：mdL=,lir = Prdo

16、= mr2sn2O I 600化mrg代mr sin 0(3) 就是将它们都代入H的总义式H = 2卩詡厂LXAmr2空+血+m mr岛召;哼+岛“=_L 3+总+(_)+2nir r2 厂2 血？ R r我们在前而讲过求H的方法有两种，除了由H的立义式来求出H之外，也可以由片的力学 意义来得出，此结果我们根据题意可以分析得出H=T+V.因为有心力场是不随时间改变的 稳泄场.质点在有心力场中运动所具有的势能V=V(r)不显含时间，而耳也不显时间人即斥=和,&0)H = -m(r2 + r2O2 +r2(/2 sin2 O) + v(r) 2=(p+-4-, -2m，r r2 r2 sin2 9

17、r例2.如下图所示，质量为m,半径为r的均质小圆柱，在半径为R的固立大圆柱而上的顶端无初速地滚下。试求小圆柱的哈密顿运动方程和任一瞬时的角速度0 O解:根据题意知小圆柱被约朿在大圆柱上作纯滚动，因此，除了重力之外其它非保守力都不 作功。所以此题可用正则方程求解匚解题的步骤与前二例总是相同的，即(1)选小圆柱为研究系统。由于小圆被约束在大圆柱上运动，它只有一个自由度，它也就只有一个广义坐标，我们就选q=eL = L(q4M T厶=L(q.T = -,n(R + r)202 +-I co22 2 c其中z 1 ,I = mr c 2根据纯滚动条件可得出一条约朿方程为：R + r- (Ri)e = g 3 =or代入7则有：T =丄(R + 厂)2 沪 + 丄(丄”2)(化工&)2 = 2 m(R + r)20222 2/4V = mg(R +广)cos&(以O点为0势点)3T = T-V = m(R + r)202 -mg(R + r)cosO4由广义动量的定义得2心3m(R + r)2（2）求可由其宅义式di .h =eLdo求出，也可由H的力学意义来求。系统为稳泄保守系，厶中不显含/且是广义速度&的二次齐函数H =T + V = m(R + r)2O2 +mg(R +r)cos0 =_ +mg(R +r)cos043m(R + ry（3）列出哈密顿正则方程:2 ，dpe 3