讲义_直线与圆的位置关系

1、IfSA： IMliifiXi板块考试要求A级要求B级要求C级要求了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，能判定一条直线是否为圆的切线；能直线与圆的理解切线与过切点的半利用直线和圆的位置关系解决简单问能解决与切线有关的W 方 位置大糸径之间关系；会过圆上题问题一点画圆的切线切线长了解切线长的概念会根据切线长知识解决简单问题一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定1、设OO的半径为r ,圆心O到直线I的距离为d ,则直线和圆的位置关系如下表：宀护方 位置大糸图形定义性质及判定相离d直线与圆没有公共点d r二直线I与OO相离相切e直线与圆有唯一公共点 ，直线叫做 圆的切线，唯一公共点叫做切点d =

2、 r =直线I与OO相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做 圆的割线dr公共点名称交占八、切点无直线名称割线切线无二、切线的性质及判定1. 切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径.推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心2. 切线的判定：定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线3. 切线长和切线长定理： 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线 ，它们的切线长

3、相等，圆心和这一点的连线平分两条 切线的夹角.切线的判定定理设OA为O O的半径，过半径外端 A作I丄OA,则0到I的距离d=r , I与O O相切.因此，我们 得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线注：定理的题设经过半径外端”，垂直于半径”，两个条件缺一不可.结论是直线是圆的切 线” 举例说明：只满足题设的一个条件不是O0的切线.专业word可编辑证明一直线是圆的切线有两个思路（1 ）连接半径，证直线与此半径垂直；（2）作垂线,证垂足在圆上切线的性质定理及其推论:一条直线满足：（1）垂直于切线 （2）过切点（3）过圆心切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径

4、我们分析：这个定理共有三个条件定理：过圆心，过切点 = 垂直于切线OA过圆心，OA过切点A，则0A _ AT 经过圆心，垂直于切线一过切点1 AB过圆心-M为切点2 AB _MT 经过切点，垂直于切线二.过圆心0）AM丄MT L am过圆心4M为切点三、三角形内切圆1 .定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.2.多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形.3 .直角三角形的内切圆半径与三边关系例2巩固图（1）中，设a ,b, c分别为 ABC中.A , B , C的对边，面积为Ss

5、11则内切圆半径 （1） r ，其中p a b c ; 图（2）中，/ C=90，则r abc p2#2四、典例分析：切线的性质及判定【例1】 如图，AB是LI O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作L| O的切线，切点为C，若A0专业word可编辑例2巩固【例2】如图，直线AB与OO相切于点A ,OO的半径为2 ,若乙OBA=30 ,贝y OB的长为（A. 4、3 B. 4C. 2 3 D. 2巩固】如图，AB与OO相切于点B ,线段OA与弦BC垂直于点D , AOB=60 , BC =4cm ,则切线AB =cm .【例3】 如图，若LI O的直径AB与弦AC的夹角为30 ,切线CD与A

6、B的延长线交于点 D ,且LI O的半径为2 ,则CD的长为()OBA. 2.3B. 4 3 C. 2巩固】如图，EB为半圆0的直径，点A在EB的延长线上，AD切半圆0于点D , BC _ AD于点C ,AB =2 ,半圆0的半径为2 ,则BC的长为【例4】 如图，已知以直角梯形 ABCD的腰CD为直径的半圆0与梯形上底 AD、下底BC以及腰AB均例4巩固巩固】如图，已知以直角梯形 ABCD中，以AB为直径的圆与CD相切，求证：以CD为直径的圆与 AB相切【例5】已知：如图，在UABC中,AB=AC ,以BC为直径的半圆 0与边AB相交于点D ,切线(1) ABC是等边三角形；A求证:巩固】如

7、图，MP切O0于点M，直线0P交O0于点A B，弦AC / MP，求证：M0 / BC .【例6】 如图，ABC中，AB二AC , 0是BC的中点，以0为圆心的圆与 AB相切于点D 。求证：AC是LI 0的切线。【例7】如图，已知AB是J O的直径，BC为LI O的切线，切点为B , OC平行于弦 AD , OA=r 。(1) 求证：CD是LI O的切线；(2) 求AD OC的值；(3) 若 AD OC =9 r，求 CD 的长。B【巩固】已知AB是LI O的直径，BC是和LI O相切于点B的切线，过LI O上A点的直线CAD IIOC，若 OA=2 且 AD OC =6，贝U CD =2专业

8、word可编辑【例8】如图，AC为LI O的直径，B是LI O外一点，AB交LI O于E点,DOMCB【巩固】 如图，AB是半圆(圆心为O)的直径，OD是半径，BM切半圆于B, OC与弦AD平行且交BM于Co(1) 求证：CD是半圆的切线；(2) 若AB长为4，点D在半圆上运动，设AD长为x，点A到直线CD的距离 为y，试求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。于D点，DE =DC ,作EF _ AC于F点，交AD于M点。(1)求证：BC是LI O的切线； (2) EM =FM。【例9】 如图，割线ABC与J O相交于B、C两点，D为J O上一点，E为BC的中点，0E交BC于F

9、, DE 交 AC 于 G , ADG =/AGD。(1) 求证：AD是J 0的切线；(2) 如果 AB =2, AD =4, EG =2，求口 0 的半径。【例10】如图，已知点E在 ABC的边AB上，以AE为直径的OO与BC相切于点D ,且AD平分.BAC .求证：AC _ BC .B巩固】AB是圆的直径，BC是它的弦，过C作圆的切线CD ,过B作BE_CD交CD 于 E，訓ZABC ZEBC .【例11】如图，已知RL ABC中，.ABC =90 ,以AB为直径作 OO交AC于D ,过D作OO的切线DE 交 BC 于 E .求证：BE =CE .DA巩固】如图，已知OO的弦AB垂直于直径

10、CD ,垂足为F，点E在AB上，且EA=EC ,延长EC到点P ,连结PB ,若PB =PE ,试判断PB与OO的位置关系【例12】如图，点P在U O的直径BA的延长线上，AB=2PA , PC切口 O于点C ,连结BC .(1) 求 P的正弦值;(2) 若J O的半径r =2cm，求BC的长度.巩固】在Rt ABC中， ACB=90 , D是AB边上一点，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F .(1)求证：BD =BF ;(2)若 BC =6 , AD =4 ,求 O0 的面积.E ,【例13】如图所示，AB是直径，0D丄弦BC于点F ,且交于点E ,若N AEC=ODB .(1) 判断直

11、线BD和O0的位置关系，并给出证明；(2) 当 AB =10, BC =8时，求 BD 的长.B巩固】已知：如图，O O的直径AB =8cm , P是AB延长线上的一点，过点P作OO的切线，切点为C ,连接AC .(1)若ACP =120 ,求阴影部分的面积;(2 )若点P在AB的延长线上运动 ，艺CPA的平分线交 AC于点PC =4 tan 60= 4_ 3 /S阴影二S.OPC -S扇形boc = 8.3-的大小是否发生变化3?若变化，请说明理由；若不变，求出Z-12的度数.OBP【例14】在平行四边形 ABCD中，AB =10 , AD =m , D =60 ,以AB为直径作 OO ,专

12、业word可编辑(1) 求圆心O到CD的距离(用含m的代数式来表示);(2) 当m取何值时，CD与OO相切.B【例15】已知：如图，OO的直径AB与弦CD相交于E ,BC =BD , O O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F .(1) 求证：CD / BF .(2) 连结BC ,若OO的半径为4 ,3cos/BCD =- ,4求线段AD、CD的长.巩固】如图，在 ABC中，/ C =90 , AC =3, BC=4 . O为BC边上一点，以O为圆心，OB为半径作 半圆与BC边和AB边分别交于点 D ,E ,连结DE .(1)当BD =3时，求线段DE的长；(2)过点E作半圆O的切线，当切线与

13、AC边相交时，设交点为形.典例分析：切线长定理及切线性质的应用【例16】在 Rt ABC 中，.A =90，点 0 在 BC 上,以o为圆心的o分别与若AB =a， AC =b，则J O的半径为(B、abC、型a +bAB、a b2则四CD = 4，【例17】如图，AB_BC， DC_BC， BC与以AD为直径的O相切于点E，AB =9，边形ABCD的面积为专业word可编辑B，连结AB，在AB、PB、PA上分别取一点F，使 AD =BE , BD =AF ,连结 DE、DF、EF，则【例18】如图，过LI O外一点P作LI o的两条切线 PA、PB，切点分别为 A、EDF =()A、 90

14、PB、C、180一/P1D、45 - P2【例19】如图，已知ABC中,AC = BC ,.CAB m (定值)，LI O的圆心O在AB上，并分别与断.DOE的大小是否保持不变，并说明理由。,DE与LI O相切于点AC、BC相切于点P、(1) 求 POQ ;(2) 设D是CA延长线上的一个动点【例20】,则ABC的面积如图，LI O为RL ABC的内切圆为O【例21】正方形ABCD中，AE切以BC为直径的半圆于 E，交CD于F,则CF : FD二（）C、1 4【巩固】如图，以正方形ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为0 , CG切半圆于E ,交AD于F，交BA的延长线于G，GA=8。（1） 求.G的余弦值；（2）求AE的长。D【例22】如图，AB是半0的直径，点M是半径0A的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重 合），点Q在半LI 0上运动，且总保持PQ二P0，过点Q作LI 0的切线交BA的延长线于点C。（1） 当 QPA=60时，请你对 QCP的形状做出猜想，并给予证明；（2） 当QP AB时， QCP的形状是 三角形；（3） 则