椭圆的几何性质（1）1

1、 复习：复习： 1.椭圆的定义: 到两定点到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的）的 动点的轨迹叫做椭圆。动点的轨迹叫做椭圆。 2.椭圆的标准方程是： 3.椭圆中a,b,c的关系是: a2=b2+c2 |)|2(2| 2121 FFaaPFPF 当焦点在当焦点在X轴上时轴上时 当焦点在当焦点在Y轴上时轴上时 )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x )0( 1 2 2 2 2 ba b x a y 二、二、椭圆椭圆 简单的几何性质简单的几何性质1 2 2 2 2 b y a x -axa, -byb 知知 椭圆落在椭圆落在x=a,y= b组成的

2、矩形中组成的矩形中 , 1 2 2 a x 得：得：1 2 2 b y o y B2 B1 A1 A2 F1F2c a b 1、范围：、范围： 椭圆的对称性椭圆的对称性 Y XO P（x，y） P1（-x，y） P2（-x，-y） 2、对称性、对称性： o y B2 B1 A1 A2 F1F2c a b 从图形上看，从图形上看，椭圆关于椭圆关于x轴、轴、y轴、原点对称。轴、原点对称。 从方程上看：从方程上看： （1）把）把x换成换成-x方程不变，图象关于方程不变，图象关于y轴对称；轴对称； （2）把）把y换成换成-y方程不变，图象关于方程不变，图象关于x轴对称；轴对称； （3）把）把x换成换成

3、-x，同时把，同时把y换成换成-y方程不变，图象关于原点成中方程不变，图象关于原点成中 心对称。心对称。 3、椭圆的顶点、椭圆的顶点 )0(1 2 2 2 2 ba b y a x 令令 x=0，得，得 y=？，说明椭圆与？，说明椭圆与 y轴的交点？轴的交点？ 令令 y=0，得，得 x=？说明椭圆与？说明椭圆与 x轴的交点？轴的交点？ *顶点：椭圆与它的对称轴顶点：椭圆与它的对称轴 的四个交点，叫做椭圆的的四个交点，叫做椭圆的 顶点。顶点。 *长轴、短轴：线段长轴、短轴：线段A1A2、 B1B2分别叫做椭圆的长轴分别叫做椭圆的长轴 和短轴。和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半分别叫做椭圆的长半

4、轴长和短半轴长。轴长和短半轴长。 o y B2 B1 A1 A2 F1F2c a b (0,b) (a，0) (0,-b) (-a，0) 1 2 3 -1 -2 -3 -4 4 y 1 2 3 -1 -2 -3 -4 4 y 1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x 根据前面所学有关知识画出下列图形根据前面所学有关知识画出下列图形 1 1625 22 yx 1 425 22 yx （1） （2） A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 4、椭圆的离心率椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量刻画椭圆扁平程度的量) a c e 离心率：椭圆的焦距与长轴

5、长的比：离心率：椭圆的焦距与长轴长的比： 叫做椭圆的离心率。叫做椭圆的离心率。 1离心率的取值范围：离心率的取值范围： 2离心率对椭圆形状的影响：离心率对椭圆形状的影响： 0ebab c e a a2=b2+c2 标准方程标准方程 范围范围 对称性对称性 顶点坐标顶点坐标 焦点坐标焦点坐标 半轴长半轴长 离心率离心率 a a、b b、c c的关的关 系系 22 22 1(0) xy ab ab |x| a,|y| b 关于关于x x轴、轴、y y轴成轴对称；轴成轴对称； 关于原点成中心对称关于原点成中心对称 (a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴

6、长为长半轴长为a a, ,短短 半轴长为半轴长为b. b. abab c e a a2=b2+c2 22 22 1(0) xy ab ba |x| b,|y| a 同前同前 (b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 同前同前 同前同前 同前同前 例例1 1已知椭圆方程为已知椭圆方程为9 9x x2 2+25y+25y2 2=225,=225, 它的长轴长是它的长轴长是： 。短轴长是短轴长是： 。 焦距是焦距是： 。 离心率等于离心率等于： 。 焦点坐标是焦点坐标是： 。顶点坐标是顶点坐标是： 。 外切矩形的面积等于外切矩形的面积等于： 。 10 6

7、8 ( 3,0) (0, 4) 60 解题的关键：解题的关键：1、将椭圆方程转化为标、将椭圆方程转化为标 准方程准方程 明确明确a、b 1 925 22 yx 2、确定焦点的位置和长轴的位置、确定焦点的位置和长轴的位置 5 4 练习：已知椭圆练习：已知椭圆 的离心率的离心率 求求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐 标、顶点坐标。标、顶点坐标。 22 (3)(0)xmym m 3 , 2 e 练习练习 求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离 心率。心率。 （1）x2+9y2=81 (2) 25x2+

8、9y2=225 (3) 16x2+y2=25 (4) 4x2+5y2=1 例例2求适合下列条件的椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程 经过点经过点P(3,0)、Q(0,2)； 长轴长等于长轴长等于20，离心率，离心率3/5。 一焦点将长轴分成一焦点将长轴分成：的两部分，且经过点的两部分，且经过点 3 2,4P 22 1 94 xy 解解： 方法一：设方程为方法一：设方程为mx2ny21（m0，n0，mn），），将点的将点的 坐标方程，求出坐标方程，求出m1/9,n1/4。 方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的

9、椭圆与坐标轴的交点就是 椭圆的顶点，于是焦点在椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且点轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点分别是椭圆长轴与短轴的一个端点 ，故，故a3，b2，所以椭圆的标准方程为，所以椭圆的标准方程为 注注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤：待定系数法求椭圆标准方程的步骤： 定位；定位； 定量定量 22 1 3632 xy 22 1 10064 xy 22 1 10064 yx 或或 22 1 145290 49 yx 或或 练习：练习： 1. 根据下列条件，求椭圆的标准方程。根据下列条件，求椭圆的标准方程。 长轴长和短轴长分别为长轴长和短轴长分别为8 8和和6 6，焦点在，

10、焦点在x x轴上轴上 长轴和短轴分别在长轴和短轴分别在y y轴，轴，x x轴上，经过轴上，经过P(-2,0)P(-2,0)， Q(0,-3)Q(0,-3)两点两点. . 一焦点坐标为（一焦点坐标为（3 3，0 0）一顶点坐标为（）一顶点坐标为（0 0，5 5） 两顶点坐标为（两顶点坐标为（0 0，6），且经过点（），且经过点（5，4） 焦距是焦距是1212，离心率是，离心率是0.60.6，焦点在，焦点在x x轴上。轴上。 2. 2. 已知椭圆的一个焦点为已知椭圆的一个焦点为F F（6 6，0 0）点）点B B，C C是短是短 轴的两端点，轴的两端点，FBCFBC是等边三角形，求这个椭圆的是等边

11、三角形，求这个椭圆的 标准方程。标准方程。 例例3：(1)椭圆椭圆 的左焦点的左焦点 是两个顶点，如果到直线是两个顶点，如果到直线AB的距的距 离为离为 ，则椭圆的离心率，则椭圆的离心率e= . (3)设设M为椭圆为椭圆 上一点，上一点， 为椭圆的焦点，为椭圆的焦点， 如果如果 ，求椭圆的离心率。，求椭圆的离心率。 22 22 1(0) xy ab ab 1( ,0),Fc (,0),(0, )AaBb 7 b 22 22 1 xy ab 12 FF、 1221 75 ,15MFFMF F 小结：小结： 本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围

12、、 对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。 了解了研究椭圆的几个了解了研究椭圆的几个基本量基本量a a，b b，c c，e e及顶点、及顶点、 焦点、对称中心及其相互之间的关系焦点、对称中心及其相互之间的关系，这对我们解，这对我们解 决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学 习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几 何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度 来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌 握握数与形数与形的联系