平面向量数量积的物理背景及其含义25705PPT学习教案

1、会计学1 平面向量数量积的物理背景及其含义平面向量数量积的物理背景及其含义 25705 )1800( 两个非零向量 和 ，作 ，a b ,OAa OBb 180 与 反向a b OAB a b O A a 0 与 同向a b OA B a b a B b b AOBa b 则 叫做向量 和 的 夹角 记作ab 90 与 垂直，a b O A B a b 注意:在两向量的夹角 定义中,两向量必须是 同起点的 温故知新：两个向量的夹角 第1页/共24页 如图,等边三角形ABC中,求： （1）AB与AC的夹角； （2）AB与BC的夹角_ A B C 通过平移 变成共起点！ 120 60 C D 0

2、120 60 120 第2页/共24页 问: 一个物体在力F 的作用下产生的位移s，那 么力F 所做的功应当怎样计算？ 力做的功：W = |F|s|cos，是F与s的夹角。 位移S O A F 一、向量数量积的物理背景 第3页/共24页 规定:零向量与任一向量的数量积为0。 二、向量与的数量积的概念ab cos cos , ., ab a bab a ba ba b 已知两个非零向量 与 他们的夹角为 ， 我们把数量叫做 与 的数量积 （或内积） 记作即 第4页/共24页 数量积 a b =| a | b |cos baba ，与与实实数数表表示示数数量量而而不不表表示示向向量量 表表示示向向

3、量量；、不不同同，baba 00a 注意公式变形，知三求一. “ ”不能省略不写，也不能写成“” 一种新的运算 第5页/共24页 向量的数量积是一个数量，那么它 什么时候为正，什么时候为负？ 当0 90时ab为正； 当90 180时ab为负。 当 =90时ab为零。 a b =| a | b |cos 第6页/共24页 1.5,4,120.ababa b 例 已知与 的夹角，求 cosa ba b 解： 5 4 cos120 1 5 4 ()10 2 第7页/共24页 变式一 0 45 2 2 44 28 | cos 可得 解：由 ba ba 的夹角与求 ， ba baba284|4| 第8页

4、/共24页 O A B b a cosbaba 的的数数量量即即有有向向线线段段 的的方方向向上上的的投投影影，在在向向量量叫叫做做向向量量 OB ab 1 B cosb 数量积 a b 等于a 的模| a |与 b 在 a 的方向 上的投影| b |cos 的乘积. 三、投影的概念 第9页/共24页 AO A O B | b |cos = b | b |cos 0| b |cos 0 | b |cos b | b |cos 0 OAa B b OAa B b O A a B b B1 B1 B baba | aba ba b 当且仅当 与 同向时： aba ba b 当且仅当 与 反向时：

5、第10页/共24页 五、向量数量积的性质 baba0)1( aaaaaa|特别地 2 或 |)3(baba | |)2( bababa bababa 反向时，与当 ；同向时，与当 是非零向量、设 ba 第11页/共24页 六、平面向量的数量积的运算律： (1) (2)()()() (3)() a bb a aba bab abca cb c 交换律 数乘结合律 分配律 其中， cba 、是任意三个向量， R 注： )()(cbacba 第12页/共24页 ONM 证明运算律(3) a b ab c c a b ab c 向量 、 、 在 上的投影的数量分 别是OM、MN、 ON, 则 = ON

6、 = (OM + MN) = OM + MN = ()abc c c c a cb c 第13页/共24页 例 2：求证： 22 2 (1)()2abaa bb 22 (2)()ababab ） （ 2 1)ababab （ ）证明：（ ()()abaabb a aa bb ab b 22 2aa bb 第14页/共24页 例3、 2 ) (3 )2 ) (3 )abababab 求求（。 |6,|4,|6,|4,abababab 已已知知与与 60 ,60 , o o 的夹角为 解:(2 ) (3 )abab 6a aa bb b 22 6aa bb 22 cos6aa bb 22 66 4

7、 cos606 4 72 第15页/共24页 6,4,60.abababab 已知与 的夹角为，求和 变式二 2 ()abab 解： 22 2aa b b 22 62 6 4 cos604 762 19 2 7ab 同理可得 第16页/共24页 .| 3,| 4,abk akbakb 例4已知当且仅当 为何值时， 向量与互相垂直？ 解：akba kb 与互相垂直的条件是 akbakb （） （）=0 22 2 0.ak b 即 22 22 39,416,ab 2 9 160.k 3 4 k 3 k= 4 akbakb 因此，当时，与互相垂直. 第17页/共24页 夹角的范围 运算律 性 质 数

8、量积 0 (3) (ab) c = acbc aa=|a|2（简写 a2 = |a|2） aaa |或 重点知识回顾: cos|baba (2)()()(bababa (1) a b= b a (交换律 ) (分配律) 0a bab 第18页/共24页 问题 课堂小结 第19页/共24页 检测： 是非零向量与1.已知： ba () ( ) ( ) () () 的结果还是一个向量b a ) 1( ) 2 |)2(aaa | ) 3(baba baba0)4( 0)5(baba |/)6(bababa 第20页/共24页 2、判断下列说法的正误，并说明理由 。是锐角，则中，若在ABC0BCABABC) 1 ( 。是钝角，则中，若在ABC0BCABABC)2( 。是直角，则中，若在ABC0BCABABC)3( 错误 正确 正确 第21页/共24页 同向时，48 反向时，-48 0cos048 180cos18048 a ba ba b a ba ba b 解： 和