常微分方程数值解法PPT学习教案

1、会计学1 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 2 第1页/共45页 3 在解决科技领域的实际应用问题时，常微分方程求解 是常见的。本章着重讨论一阶方程初值问题 的数值解法。对高阶方程和微分方程组的数值解， 其基本思想是完全一样的解初值问题有多种解 析方法，但解析法只能对一些特殊类型的方程才 能求出其准确解，多数情况只能用近似方法求解。 初值问题的数值解法，就是寻求方程的解 ( )y x 在自变量x的一系列离散节点上的近似值。 00 (,), (), dy fxy dx y xy 第2页/共45页 4 , )( )( ),( 321 21 00 / n n yyyy xxx xy yxy yx

2、fy 近似解： ，处的 在节点求：精确解 初值问题 第3页/共45页 5 1nnn hxx n hh 0n xxnh0,1,2,n 01 , n yyy1n y 第4页/共45页 6 将微分方程两端从 n x 到 1n x 积分，得 1 1 ()( )( , ( ) n n x nn x y xy xf x y x dx (0,1,2,)n 这样，求原初值问题式的解，转化为求问题式 的解,利用各种求积公式就可以得到一些求 () n y x 的近似公式。 第5页/共45页 7 00 1 00 1 / )( ),( )( )()( ),( yxy yxhfyy yxy h xyxy yxfy nn

3、nn nn 第6页/共45页 8 )(,()(,( )(,()()( )(,()()( ,)(,( / nn hx x hx x nn n hx x xyxhfdttytf dttytfxyhxy xx dttytfxyhxy hxxxyxfy n n n n 时，有当 得 上积分，在 第7页/共45页 9 1 00 ()()( , ( ) (, () (,) () n n xh nn x nn nnnn y xhy xf t y t dt hf xy x yyhf xy yy x （看成矩形） 第8页/共45页 10 00 111 00 1 / )( ),( )( )()( ),( yxy

4、yxhfyy yxy h xyxy yxfy nnnn nn 第9页/共45页 11 00 11 00 11 / )( ),( )( 2 )()( ),( yxy yxhfyy yxy h xyxy yxfy nnnn nn 第10页/共45页 12 )( ),(),( 2 )(,()(,( 2 )(,()()( 00 111 11 xyy yxfyxf h yy xyxfxyxf h dttytfxyhxy nnnnnn nnnn hx x nn n n 第11页/共45页 13 ).01. 0(01. 0yx上的值 1)0(,yy dx dy 第12页/共45页 14 )( ),(),(

5、2 ),( 00 111 1 xyy yxfyxf h yy yxhfyy nnnnnn nnnn 第13页/共45页 15 ),(,(),( 2 11nnnnnnnn yxhfyxfyxf h yy 1n y 第14页/共45页 16 ),( ),(,(),( ),( )( 2 11 1112 1 211 hkyxf yxhfyxfyxfk yxfk kk h yy nn nnnnnn nn nn 平均化形式 第15页/共45页 17 )( 1p hO 第16页/共45页 18 ),( ),( 22 12 1 21 1 kyhxhfk yxhfk kk yy nn nn nn 第17页/共4

6、5页 19 ),( ),( 12122 1 22111 kbyhaxhfk yxhfk kckcyy nn nn nn 第18页/共45页 20 1; 2 1 ;1 2 21 22 21 a b ac cc )( 3 hO 第19页/共45页 21 21221 112 1 21 1 1;1 2 11 22 (,) (,) nn nn nn accb yykk khfxy khfxhyk 令， 则 这 就 是 前 面 讲 的 改 进 的 尤 拉 法 。 第20页/共45页 22 称为变形的尤拉法。 该式称为中点方法，也 ，令 ) 2 1 , 2 1 ( ),( 2 1 ; 2 1 1,0 12

7、1 21 21221 kyhxhfk yxhfk kyy bacc nn nn nn 第21页/共45页 23 1123 1 21 312 3 (4) 6 (,) (,) 22 (,2) nn nn nn nn p RK RK h yyKKK Kf xy hh Kf xyK Kf xh yhKhK 类似地，对，即三个点，通过更复杂的计算， 可导出三阶公式。 常用的三阶公式为： 三阶龙格库塔方法三阶龙格库塔方法 第22页/共45页 24 四阶龙格库塔方法四阶龙格库塔方法 11234 1 21 32 43 4 (22) 6 (,) (,) 22 (,) 22 (,) nn nn nn nn nn

8、pRK RK h yyKKKK Kf xy hh Kf xyK hh Kf xyK Kf xh yhK 对，即四个点，可导出四阶公式。 常用的四阶公式为： 第23页/共45页 25 11234 1 21 1 32 2 43 3 h = 0 .2 ,x = 0 x = 1 2 ( 01); ( 0 )1 . (22); 6 2 ; 2 ; 2 2 2 ; 2 2 2 () . nn n n n n n n n n n n n n x yyx y y h yyKKKK x Ky y xhh KyK h yK xhh KyK h yK xh Kyh K yh K 例 ： 设 取 步 长从直 到用 四

9、 阶 龙 格 库 塔 方 法 求 解 初 值 问 题 解 ： 由 经 典 的 四 阶 龙 格 库 塔 公 式 得 第24页/共45页 26 1RK RK 46RK5 2RK RK RK RK 两 点 说 明 ： ） 当 p=1,2,3,4时 ，公 式 的 最 高 阶 数 恰 好 是 p, 当 p4时 ，公 式 的 最 高 阶 数 不 是 p， 如 p=5时 仍 为 ， p= 时公 式 的 最 高 阶 数 为 。 ）方 法 的 导 出 基 于 Taylor展 开 ， 故 要 求 所 求 问 题 的 解 具 有 较 高 的 光 滑 度 。 当 解 充 分 光 滑 时 ， 四 阶方 法 确 实 优

10、于 改 进 Euler法 。 对 一 般 实 际 问 题 ， 四 阶方 法 一 般 可 达 到 精 度 要 求 。 如 果 解 的 光 滑 性 差 ， 则 用 四 阶方 法 解 的 效 果 不 如 改 进 Euler法 。 第25页/共45页 27 () 1 ()5 11 1 5 (2 ) 1 5 (2 ) 11 (2 ) 11 () 11 , (), 2 , 2 ()2, 2 ()1 . ()1 6 h n h nn nn h n h nn h nn h nn h y yxyc h h xx h yc h yxyc yxy yxy n 以 经 典 四 阶 龙 格 库 塔 公 式 为 例 。

11、从 节 点 x 出 发 ， 以为 步 长 求 一 近 似 值 将 步 长 折 半 ， 即 取为 步 长 从跨 两 步 到， 求 一 近 似 值每 跨 一 步 的 截 断 误 差 是因 此 有 由 上 两 式 (2 )(2 )() 1111 1 (). 1 5 hhh nnnn yxyyy 变步长的龙格变步长的龙格库塔方库塔方 法法 第26页/共45页 28 1 1 1 1 1 R K (,) (,)(2 , 3,) (,) () p nnii i nn i ininijj j nn n yyhc K Kfxy Kfxa hyhb Kip xyT a y lo r yxxT a y lo r 一

12、 般 地 ，方 法 设 近 似 公 式 为 确 定 原 则 是 使 近 似 公 式 在处 的展 开 式 与 在处 的展 开 式 的 前 面 项 尽 可 能 多 地 重 合 。 11 1 112 1 21 (,) 11 () 22 (,) (,) nn nn nn nn nn yyh K E u le r Kfxy yyhKK E u le r Kfxy Kfxhyh K 公 式 改 进公 式 第27页/共45页 29 1 1-r 1 RK , nn nnn n yy yyy y 单步法在计算时，只用到前一步的信息 。为提高精度， 需重新计算多个点处的函数值，如方法，计算量较大。 如何通过较多地

13、利用前面的已知信息，如 ，来 构造高精度的算法计算，这就是多步法的基本思想。 111 1 01 11 (,),(,) ,(,) (1, ,) 00 Taylo nnn rnnn rn r rr nin iin i ii iikkk yyyf xyf xy yyhf ff xyknnnr 多步法中最常用的是线性多步法，它的计算公式中只 出现， ，及的一次 项，其一般形式为 其中均为常数，。 若 ，显式；，隐式。 构造线性多步公式常用r展开和数值积分方法。 线性多步法线性多步法 第28页/共45页 30 nn Taylor xTaylor)xTaylor , ii n+1 利 用展 开 导 出 的

14、 基 本 方 法 是 ： 将 线 性 多 步 公 式 在处 进 行展 开 ， 然 后 与 y(x在处 的展 开 式 相 比 较 ， 要 求 它 们 前 面 的 项 重 合 ， 由 此 确 定 参 数。 101111011 1( ) () nnnnnn ry x yyyhfff 以为例：设初值问题的解充分光滑，待定的 两步公式为 ()() () 2 1 () (1, 2,),( ) ( )()()() 2! () kk nnn p p nn nnnnn p n yyxky xxTaylor yy y xyyxxxxxx p Oxx 记则在处 的展 开 为 线性多步公式的导出线性多步公式的导出 第

15、29页/共45页 31 23 1 ( 4 )( 5 ) 45( 6 ) 1111 () , ()(,) () , () 2 !3 ! () 4 !5 ! (,)() ii iii nn nnnn nn nnnnnn nyyx yxfxyin yy yyxhyyhhh yy hhOh ffxyyxyyh 假 设 前步 计 算 结 果 都 是 准 确 的 ， 即 则 有 2 ( 4 )( 5 ) 34( 5 ) 2 1111 ( 4 )( 3 2 ! () 3 !4 ! (,) (,)() 2 ! 3 ! n nn nnnn n nnnnnn nn y h yy hhOh ffxyy y ffxy

16、yxyyhh yy h 5 ) 4( 5 ) () 4 ! hOh 线性多步公式的导出线性多步公式的导出 第30页/共45页 32 2 1 101110111 3(4)4 111111 (5)56 111 ()()() 2 ()() 6222466 ()() 1202424 nnnn nn n yyy hy h y hyh y hO h 将以上各公式代入并整理，得 1 (5 ) 256 1 () ()() 2 !5! p+1 nn nn nnn py xx Taylor yy y xyy hhhO h 为 使 上 式 有阶 精 度 ， 只 须 使 其 与在处 的 展 开 式 的 前项 重 合

17、。 线性多步公式的导出线性多步公式的导出 第31页/共45页 33 01 0101 111 111 111 1 1 11 22 1111 6226 1111 2 4662 4 aa a a a a 5,5 ,1 ii P 个参数 只须 个条件。由推导知，如果选取参数 ，使其满足前个方程（p=1,2,3,4)，则 近似公式为p阶公式。 线性多步公式的导出线性多步公式的导出 第32页/共45页 34 1101 11 1 1,0,0 2 () 2 nnnn h yyff 0 如满 足 方 程 组 前 三 个 方 程 ， 故 公 式 此 为 二 阶 公 式 。 01110 1111 5(5)6 1 1

18、4 0,1, 33 (4) 3 1 () 90 nnnnn nn h yyfff Rh yO h 又如：解上面方程组得 相应的线性二步四阶公式（Simpson公式)为 其截断误差为 由此可知，线性二步公式至多是四阶公式。 线性多步公式的导出线性多步公式的导出 第33页/共45页 35 1 0 1 01 1 1 1 23 () 1 ()()1(1,2,) 1()( (1)! nnn r i i rr kk ii ii p p ni r xTaylory xxTaylor ikikp p h Ri p 一般地，线性多步公式中有个待定参数，如令其 右端在处的展开式与在处的展开式 的前p+1项系数对应

19、相等，可得方程组 其解所对应的公式具有 阶精度，局部截断误差为 (1) 11 2 1)() () rr pp in ii p piy O h 显然，线性多步公式至多可达到2r+2阶精度。 线性多步公式线性多步公式 第34页/共45页 36 1231 0 1 01 00123 1123 (Adam s) r=30, 1 ()()1(1, 2,3 4) 5559379 =1, 24242424 (5559379 24 r i i rr kk ii ii nnnnnn ikik h yyffff （ 一 ） 阿 达 姆 斯公 式 取， 并 令由 方 程 组 ， 可 解 得， 相 应 的 线 性 多

20、步 公 式 为 1 ) =0Adam s 因， 此 式 称 为显 式 公 式 ， 是 四 阶 公 式 . 常用的线性多步公式常用的线性多步公式 第35页/共45页 37 5 33 54(5 )6 1 11 5(5 )6 1()5()() 5! 251 () 720 niin ii n h RiiyO h h yO h 局 部 截 断 误 差 为 1233 01012 1112 5( 5 )6 1 0, 91 951 = 1, 2 42 42 42 4 (91 95) 2 4 A d am s 1 9 () 7 2 0 nnnnnn nn h yyffff RhyOh 如 果 令由 方 程 组

21、可 解 得 ， 相 应 的 线 性 多 步 公 式 为 称 其 为 四 阶隐 式 公 式 ， 其 局 部 截 断 误 差 为 常用的线性多步公式常用的线性多步公式 第36页/共45页 38 11 1 1+11 ()()( ,( )( ) ,( ) ( )( ),1 nn nn xx nn xx nnnrnnnr y xy xf x y xdxF x dx xxxxxxF x xF xr r 基本思想是首先将初值问题化成等价的积分形式 用过节点或的的r 次插值多项式代替求积分 即得阶的 线性多步公式。 123 3 3 0 123 3 0 3,( ) ( )( )() ()()()() ( )(0

22、,1,2,3) ()() nnnn ini i nnnn i nininj j ji rxxxxF x Lxlx F x xxxxxxxx lxi xxxx 例如时，过节点的三次 插值多项式为 其中 利用数值积分方法求线性多步公式利用数值积分方法求线性多步公式 第37页/共45页 39 11 1 1 1 3 13 0 123 3 23 1 3 13 2 3 3 ()()( )( )() ()()() () 6 ()()() () 2 ()()() () 2 ()( () nn nn n n n n n n xx nnini xx i x nnn n x x nnn n x x nnn n x

23、n n y xy xLx dxlx dx F x xxxxxx F xdx h xxxxxx F xdx h xxxxxx F xdx h xxx F x 1 12 3 123 )() 6 55()59()37()9() 24 n n x nn x nnnn xxx dx h h F xF xF xF x 利用数值积分方法求线性多步公式利用数值积分方法求线性多步公式 第38页/共45页 40 11 1123 3 ,(),(),(,) ()(,() (,1,2,3), (5559379) 24 , nnnnkkk kkk nnnnnn nn yyy xy xfxy Fxfxy xkn nnn h

24、 yyffff Adams xxAdams 对 上 式 用代 替用代 替 则 得 这 就 是 四 阶显 式 公 式 。 由 于 积 分 区 间 在 插 值 区 间外 面 ， 又 称 为 四 阶外 插 公 式 。 11 1 (4)(5) 33 1 00 31 (5)3 5(5) 1 0 ()() ()() 4!4! ,), ( )251 ()( ) 4!720 nn nn n n xx xx nnjnj xx jj nn x nnj x j Fy Rxxdxxxdx xx y Rxxdxh y 由插值余项公式可得其局部截断误差为 由积分中值定理，存在（使得 利用数值积分方法求线性多步公式利用数值积分方法求线性多步公式 第39页/共45页 41 112 2 3 1 112 3 1 1 ,( ) ( )( )() ()()()() ( )(1,0,1, 2) ()() ( ) nnnn ini i nnnn i nininj j ji nn xxxxF x Lxlx F x xxxxxxxx lxi xxxx F xAdams yy 同 样 ， 如 果 过 节 点的三 次 插 值 多 项 式 为 其 中 代 替求 积 分 ， 即 得 四 阶隐 式 公 式 112 5(5) 121 21 (91