（北师大版）必修四：221《向量的加法》课件

1、2 从位移的合成到向量的加法 2.1 向量的加法 北京北京 广州广州 上海上海 1.1.飞机从广州飞往上海飞机从广州飞往上海, ,再从上海再从上海 飞往北京飞往北京, ,这两次位移的结果与飞这两次位移的结果与飞 机从广州直接飞往北京的位移相同机从广州直接飞往北京的位移相同 吗？吗？ 我们把后面这样一次位移叫作我们把后面这样一次位移叫作 前面两次位移的合位移前面两次位移的合位移. . 相同相同 A A B B C C D D 2.2.在大型生产车间里在大型生产车间里, ,一重物被天车从一重物被天车从A A处搬运到处搬运到B B处处. . 它的实际位移它的实际位移AB,AB,可以看作水平可以看作水

2、平 运动的分位移运动的分位移ACAC与竖直运动的分与竖直运动的分 位移位移ADAD的合位移的合位移. . 由分位移求合位移由分位移求合位移, ,称为位移的合成称为位移的合成. . 在上一节课中我们知道位移是向量，因此位移合在上一节课中我们知道位移是向量，因此位移合 成就是向量的加法，那么向量的加法怎么体现？成就是向量的加法，那么向量的加法怎么体现？ 符合哪些规律呢？这就是我们今天要探究的内容符合哪些规律呢？这就是我们今天要探究的内容. . 1.1.掌握向量加法的概念；能熟练运用三角形法则和掌握向量加法的概念；能熟练运用三角形法则和 平行四边形法则求几个向量的和向量平行四边形法则求几个向量的和向

3、量. .（重点（重点) ) 2.2.能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练 运用它们进行向量计算运用它们进行向量计算. . （重点）（重点） 3.3.向量加法的概念和向量加法的法则及运算律向量加法的概念和向量加法的法则及运算律. .（难点）（难点） 既然向量的加法可以类比位移的合成，想一想，求既然向量的加法可以类比位移的合成，想一想，求 两个向量的和是否也可以类比前面位移的合成呢？两个向量的和是否也可以类比前面位移的合成呢？ 探究点探究点1 1 向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则 b b a a a,b, 如下图，已知向量如下图，已知向量

4、 如何求这两向量的和？如何求这两向量的和？ 这种作法叫作向量求和的这种作法叫作向量求和的三角形法则三角形法则. . A A C C 作法作法：1.1.在平面内任取一点在平面内任取一点A.A. 讨论：讨论：作图的关键点在哪？作图的关键点在哪？ 首尾顺次相连首尾顺次相连. . B B a b a b ab a, b 类比前面的广类比前面的广 州至北京的飞州至北京的飞 机位移的合成机位移的合成 再作向量再作向量AC uuu r . (1)(1)同向同向(2)(2)反向反向 a b a b 思考：思考：当向量当向量a a，b b是共线向量时，是共线向量时，a+ba+b又如何作？又如何作？ abABBC

5、=AC (3)(3)规定：规定： a00aa. AB C BA a C b abABBC=AC A A 探究点探究点2 2 向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则 思考：思考：类比位移的合成方法，作两向量的和还有类比位移的合成方法，作两向量的和还有 没有其他的方法呢？没有其他的方法呢？ B B D D C C b b a a 作法：作法： 作作 以以ABAB，ADAD为邻边为邻边 作平行四边形，则作平行四边形，则 ABa,ADb, ACab + 上述这种方法叫作向量求和的上述这种方法叫作向量求和的平行四边形法则平行四边形法则. . 思考：思考：这种方法的作图关键点是什么呢？这种方法的

6、作图关键点是什么呢？ 提示：提示：共起点共起点. . 提升总结：提升总结：三角形法则和平行四边形法则的使用范三角形法则和平行四边形法则的使用范 围围. . （1 1）三角形法则适用于任意两个向量的加法）三角形法则适用于任意两个向量的加法; ; （2 2）平行四边形法则适用于不共线的两个向量的加）平行四边形法则适用于不共线的两个向量的加 法法. . 例例 轮船从港沿东偏北轮船从港沿东偏北 3030方向行驶了方向行驶了40 n mile40 n mile （海里）到达（海里）到达 B B 处处, ,再由再由B B处沿正北方向行驶处沿正北方向行驶40 n mile40 n mile 到达到达 C C

7、 处处. .求此时轮船与求此时轮船与A A港的相对位置港的相对位置. . 北北 A A B B 30 D D 东东 C C AB B AC ACABB ：如如图图，设设, ,分分别别 表表示示轮轮船船的的两两次次位位移移, , 则则表表示示轮轮船船的的合合位位移移, , 解解 . . C C 东东 北北 A B 30 C Rt ADB , ADB 90 , DAB 30 ,|AB| 40 n mile |DB| 20 n mile,|AD| 20 3 n mile 在 中， 所以 22 22 RtADC ,ADC90 ,|DC| 60 n mile |AC|AD|DC| (20 3)6040

8、3 (n mile). 在 中， 所以 D |AC| 2|AD|, CAD60 所以. 因为因为 答答: : 轮船此时位于轮船此时位于A A港东偏北港东偏北 6060，且距，且距A A港港40 n mile 40 n mile 的的 C C处处. . 3 探究点探究点3 3 向量加法的运算律向量加法的运算律 数的加法满足交换律与结合律数的加法满足交换律与结合律 ，即对任意，即对任意a a，bRbR，有，有 a+ba+b= =b+ab+a，（，（a+ba+b）+c=a+c=a+（b+cb+c）. .任意向量任意向量 的加法是的加法是 否也满足交换律和结合律？否也满足交换律和结合律？ a,b 向量

9、的加法满足交换律和结合律向量的加法满足交换律和结合律 D D A A C C B BA A B B C C D D a+b +c= a+ b+c （）（） A A1 1A A2 2+A+A2 2A A3 3+A+A3 3A A4 4+A+A4 4A A5 5+ +A+ +An-2 n-2A An-1n-1+A +An-1 n-1A An n = = 思考：思考：能否将它推广至多个向量的求和？能否将它推广至多个向量的求和？ A A1 1 A A2 2 A A3 3 A A1 1A A2 2+A+A2 2A A3 3+A+A3 3A A4 4=_=_ A A1 1A A2 2+A+A2 2A A3

10、 3= _= _ A A1 1 A A2 2A A3 3 A A4 4 多边形法则：多边形法则：n n个首尾顺次相接的向量的和等于折个首尾顺次相接的向量的和等于折 线起点到终点的向量线起点到终点的向量. . 13 A A 14 A A 1n A A 解：解：如图，如图， 表示表示 ， 表示表示 . .以以OAOA，OBOB为邻边作为邻边作 OACBOACB，则，则 表示合力表示合力 . . 在在RtRtOACOAC中，中， =40N=40N， =30N.=30N.由勾股定理得由勾股定理得 例例2 2 两个力两个力 和和 同时作用在一个物体上同时作用在一个物体上, ,其中其中 的大小的大小 为为

11、40 N,40 N,方向向东方向向东, , 的大小为的大小为30 N,30 N,方向向北方向向北, ,求它们的合力求它们的合力. . 东东 北北 O O C C OA OB OC 1 |OA| |F | 2 |AC| |OB| |F | 2222 |F| |OC|OA|AC|4030 50(N) . 设合力设合力 与力与力 的夹角为的夹角为，则，则 所以所以3737. . 答：合力大小为答：合力大小为50N50N，方向为东偏北，方向为东偏北3737. . 2 1 |F |AC|3 tan0.75. 4|OA|F | 1 F 2 F 1 F 2 F 1 F 2 F ur F F 1 F F 1

12、F 2 F O B B 例例3 3 在小船过河时在小船过河时, ,小船沿垂直河岸方向行驶的速度小船沿垂直河岸方向行驶的速度 为为v v1 1=3.46 km/h,=3.46 km/h,河水流动的速度河水流动的速度v v2 2=2.0 km/h.=2.0 km/h.试求试求 小船过河实际航行速度的大小和方向小船过河实际航行速度的大小和方向. . v v1 1 v v2 2 解：解：如图，设如图，设 表示小船垂直于河表示小船垂直于河 岸行驶的速度岸行驶的速度, , 表示水流的速度，表示水流的速度， 以以OA,OBOA,OB为邻边作为邻边作OABCOABC，则，则 就就 是小船实际航行的速度是小船实

13、际航行的速度. . OA OB OC C C A A 1 2 22 22 1 2 RtOBCBC =v3.46 km/ h OB =v2.0 km/ h OCOBBC3.462.04.0km/ h v tan BOC=1.73,BOC60 . v 60. ： 中， ， （）. 小船实际的航行速度的大小约为， 方向与水流方向约成 在在 所所以以 因因为为以以 答答 所所 角角 4.0 km/h A B C D E F BACDEF . .如图，在正六边形如图，在正六边形ABCDEFABCDEF中，中， （ ） A A B B C C 0 BE AD CF 2.2.下列非零向量的运算结果为零向量的是下列非零向量的运算结果为零向量的是( )( ) A.A. B. B. C.C. D.D. BC AB PM MN MP BC CA AB CD MP GM PQ QG D D 3.试用向量方法证明：对角线互相平分的四试用向量方法证明：对角线互相平分的四 边形必是平行四边形边形必是平行四边形. 证明证明 AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD