工学信号检测与估计理论PPT学习教案

1、会计学1 工学信号检测与估计理论工学信号检测与估计理论 2 第二次世界大战期间，开始了创建控制论 的工作。1948年出版了他的名著控制论：或 关于在动物或机器中通讯的科学，对科学界 产生了巨大的影响。几十年来，控制论得到了 迅速发展，广泛应用于自动理论、计算机程序 、决策过程等各个方面。 第1页/共86页 3 1948年，美国科学家维纳发表控制 论，遭到科学界的冷遇，37岁的钱学森 却敏锐把握到这一理论的普遍意义，将这 一新理论运用到自己的喷气技术研究。 1954年，钱学森发表工程控制论一书 ，开创了一门新的技术科学。多年来，这 本著作为世界各国科学家广为引证、参考 ，成为自动控制领域引用率最

2、高的经典著 作。 第2页/共86页 4 断 章 卞之琳 你站在桥上看风景 看风景的人在楼上看你 明月装饰了你的窗子 你装饰了别人的梦 因此引用杨振宁博士的话： “应该多对新的，活的东西，与现 象有直接有关的东西感兴趣。” 第3页/共86页 5 6.2连续过程的维纳滤波 维纳滤波也称为最小平方滤波或者最佳滤 波，其基本思想是要设计一个滤波器。一般是 根据信号s(t)与噪声n(t)的时域或频域特性， 选择适当的脉冲响应函数或系统函数，使得其 滤波输出与期望输出之间的误差平方和最小（ 均方误差最小）。 第4页/共86页 6 被噪声污染的信号波形恢复称为滤波。 大家熟悉的滤波器是采用电感、电容等分 立

3、元件构成，它对于滤去某些干扰谱线有较好 的效果。对于混在随机信号中的噪声滤波，这 种简单的滤波器就不是最佳的滤波电路，这是 因为信号与噪声均可能具有连续的功率谱。 第5页/共86页 7 如下图所示。不管滤波器具有什么样的频率响应如下图所示。不管滤波器具有什么样的频率响应 K(jK(j ) )，均不可能做到噪声完全滤掉，使信号波形，均不可能做到噪声完全滤掉，使信号波形 的不失真恢复。因此，需要寻找一种使误差最小的的不失真恢复。因此，需要寻找一种使误差最小的 最佳滤波方法，又称为最佳滤波准则。最佳滤波方法，又称为最佳滤波准则。 第6页/共86页 8 维纳线性滤波理论是一种在最小均方误差准则维纳线性

4、滤波理论是一种在最小均方误差准则 下的最佳线性滤波方法。下的最佳线性滤波方法。（维纳滤波发展的两个方向（维纳滤波发展的两个方向 ） 由于维纳滤波器电路实现上的困难，在维纳滤波由于维纳滤波器电路实现上的困难，在维纳滤波 基础上发展了一种基于状态空间方法的最佳线性递推基础上发展了一种基于状态空间方法的最佳线性递推 滤波方法，称为卡尔曼滤波。这种滤波器特别适用于滤波方法，称为卡尔曼滤波。这种滤波器特别适用于 对离散时间序列的实时滤波，可以很方便用计算机处对离散时间序列的实时滤波，可以很方便用计算机处 理，因而是近代滤波理论的重要发展，在自动控制领理，因而是近代滤波理论的重要发展，在自动控制领 域起到

5、了重要作用。域起到了重要作用。 第7页/共86页 9 维纳滤波理论的另一发展方向是自适应滤维纳滤波理论的另一发展方向是自适应滤 波，它可以自动地调节其自身参数，在设计时波，它可以自动地调节其自身参数，在设计时 ，只需要很少的，或根本不需要任何关于信号只需要很少的，或根本不需要任何关于信号 和噪声的先验统计知识。和噪声的先验统计知识。因此，目前在模型识因此，目前在模型识 别、通信信道的自适应均衡、生物医学信号中别、通信信道的自适应均衡、生物医学信号中 周期干扰消除等方面均有重要应用。周期干扰消除等方面均有重要应用。 第8页/共86页 10 x t s t n （ t） 真实信号 观测信号 加性噪

6、声 s n x nh nh i x n i ts ts t 线性估计问题 最小均方误差(MMSE)估计 (minimum mean-square error) 估计误差 2 minEth t 维纳滤波问题描述 维纳滤波对真实信号的最小均方误差估计. h t tntstx s t 第9页/共86页 11 Tttntstx0， ts tn ts tsts ts tg tg 第10页/共86页 12 tx tg tg 0 1 lim, 6.2.2 N kk u k N u T g th t uux u k ux k t txuu , th k tg k ux t g 0 1 lim, 00 6.2.

7、3 N kk u K N u T Eg th t uux uxT ， uu , th k tg 第11页/共86页 13 tg uuxu , thtg T d 0 tx u , th tg tg u , th tntstx tg 6.1Fig线性时变滤波器 第12页/共86页 14 方误差最小 0d 0 xuuxu , thtgE T u , th 0 ,d0 6.2.6 T xgx rth t u r uuu ， 第13页/共86页 15 u , th tguuxu , thtgEtgVar T 0 d 0 ,d 6.2.7 T gxg rt th t u rt uu 第14页/共86页 1

8、6 g egg g 注：正交原理中各矢量应该理解为相应量的统计 ； 从能量的角度来看，在滤波器处于最佳状态的时候， 估计值的能量 平均或者数学期望 小于总是期望信等于号的能量。 第15页/共86页 17 u , th tx tg t t tg uuxuthtg t d 第16页/共86页 18 th tntstx tg 6.2 Fig线性时不变滤波器 tuuruthtr t xxg ，d t ut 第17页/共86页 19 10260d.rhr t xxg ， th tg 第18页/共86页 20 0 0 6.2.11 gxg Var g trhrd 第19页/共86页 21 0 00 0 ，

9、 ， h h 第20页/共86页 22 1226d.rhr xxg ， 此时，维纳霍夫方程6.2.10变为 6.2.12 . 是一个线性卷积形式，因此在求域解 该方程 频 1226d.rhr xxg ， 第21页/共86页 23 6.2.12 6.2.13 xgx PHP 对两端进行傅立叶变换，得 1226d.rhr xxg ， 故最佳滤波器的系统函数为 6.2.14 xg x P H P 第22页/共86页 24 6.2.14 xg x P H P tstg ts tn 0 sn P 6.2.21 s sn P H PP 第23页/共86页 25 6.2.21 s sn P H PP 当噪声

10、为0时，信号全部通过； 当信号为0时，噪声全部被抑制； 因此维纳滤波确有滤除噪声的能力。 第24页/共86页 26 H HVarg(t)=0 sn s PP P 如果信号的功率谱密度与噪声的功率谱密度 互不重叠，则在的非零区间，1，则在 的 其他区域，0。两者不重叠时候， 第25页/共86页 27 1223 3 H H0H sn PP 如果信号的功率谱密度与噪声的功率谱密度 部分重叠。则时，1，当时， 逐渐变为 ，在时，0 第26页/共86页 28 （1 1）对）对 1 1 3 3的频率范围内，由于的频率范围内，由于P Ps s( ( )=0)=0，一定有，一定有H(H( )=0)=0，表示由

11、于没有信号，故滤波器增益为零，从而完全阻止噪声通过。同样在这段频率内，均方误差的积分值也为零。，表示由于没有信号，故滤波器增益为零，从而完全阻止噪声通过。同样在这段频率内，均方误差的积分值也为零。 第28页/共86页 30 （3 3）对）对 2 2 3 3的频率范围内，由于的频率范围内，由于P Ps s( ( ) )及及P Pn n( ( ) )均不为零，则均不为零，则|H(|H( )|1)|1，这一方面要防止噪声通过，又要保证信号通过。因此随着，这一方面要防止噪声通过，又要保证信号通过。因此随着 增加，增加，P Pn n( ( ) )逐渐加大，逐渐加大，|H(|H( )|)|逐渐减小，直至为

12、零。逐渐减小，直至为零。 第29页/共86页 31 0d6.2.15 gxg Var g trhr 另外，为了获得用功率谱密度 均方 形式表示的 误差，令 第30页/共86页 32 对6.2.16式两边进行傅立叶变换，得 第31页/共86页 33 将6.2.16与6.2.15式相比较，可以得到 第32页/共86页 34 将6.2.17式代入6.2.19，再利用6.2.14式得 6.2.14 xg x P H P 第33页/共86页 35 式6.2.22为相对应的均方误差，它也是 维纳滤波器均方误差的下界。 6.2.21 s sn P H PP 重叠部分的影响 第34页/共86页 36 第35页

13、/共86页 37 例例 s s( (t t) )为马尔科夫过程，其功率谱密度为为马尔科夫过程，其功率谱密度为 2 2 ( ) 1 s P 观测噪声观测噪声n n( (t t) )为白噪声，其为白噪声，其P Pn n( ( )=1)=1，求维纳滤波器的求维纳滤波器的H(H( ) )及及h(t)h(t)。 第36页/共86页 38 解解 已知已知 2 2 3 ( )( )( ) 1 xsn PPP 因此有因此有 2 ( )2 ( ) ( )( )3 S Sn P H PP 其最小均方误差为式其最小均方误差为式 2 min 2 ( )( )1 2( )( ) 121 0.577 233 sn sn

14、PP d PP d 第37页/共86页 39 下面，计算冲激响应h (t)，对H（)作傅里叶变换得 3 3 1 ,0 3 ( ) 1 ,0 3 t t et h t et 第38页/共86页 40 10260d 0 .rhr xxg ， 第39页/共86页 41 求解。求解。 h0 x r xg rh tx x r xg rh 第40页/共86页 42 tx tx sHw tw tw sH2 2 6.2.23 w H sHs Hs 第41页/共86页 43 sHw sH2 tx tw tg 6.4Fig维纳滤波器 sHw sH2 第42页/共86页 44 sHw tx sPx 2426 .PP

15、P xxx sPx sPx 2426 .PPP xxx 第43页/共86页 45 2 1 6.2.26 wx HP s tw www HHH 2 sPsPsPsPsP xxxxx 第44页/共86页 46 xx ww PsP sHsH 1 1 6.2.27 w x Hs Ps sH2 sH2 28260d 02 .rhr wwg ， w r 第45页/共86页 47 29260 2 .rh wg sH2 3026 2 .sPsH wg sPwgs 0 tgtwErwg tgtxhE w d d xgw rh d xgw rh 第46页/共86页 48 1 6.2.32 xg wgwxgxg x

16、x Ps PsHs PsPs PsPs sH 3326 1 2 . sP sP P sHsHsH x xg x w 0 0d6.2.11 gxg Var g trhr 第47页/共86页 49 22 2 sk k sP x sHw 第48页/共86页 50 22 222 ()() xxx kkk P sPs Ps kssksk k ks sP sH x w 2 1 第49页/共86页 51 ts tn ts tn ns rer 2 1 ts 第50页/共86页 52 tstg s r n r 2 1 d 1 s ss P sre s 1d s nn ersP tntstx 第51页/共86页

17、53 1 2 1 2 1 1 1 2 s s s s s sPsPsP nsx 1 2 s s sPx 1 2 s s sPx 11 1 ss sPsPsPsPsP snssxsxg sH 222 1 222 1 sssPsP sP sP sP sH ns s x xg 0 22 1 0 22 1 2 2 te te th t t ， ， 第52页/共86页 54 3540d0.rhrtsVartgVar ss 2 211 1 211 2 11 sss s sP sP sP sH x xg x 221 1 s 0 21 1 2 teth t ， 4140d0 0 .rhrtsVartgVar

18、ss 第53页/共86页 55 ts tn /2 75 126 sn rere s t 第54页/共86页 56 H(z) ( ), ( ) ( ), ( ) H sh t H zh k 求在线性最小均方误差准则下线性滤波 器的系统函数或者脉冲响应h(k) 连续过程： 离散过程： 第55页/共86页 57 ( ), 0. k x kx kN kk 在离散情况下，观测区间由一组离散的 时刻t 组成,对应t 的观测信号为 第56页/共86页 58 k x k 对于线性最小均方估计，估计信号g 表 示为观测信号 的线性加权和，即 第57页/共86页 59 和连续过程相似，为使估计的均方误差 最小，根

19、据正交原理，加权系数满足 第58页/共86页 60 类似的，用相关函数的表示方法得到 离散形式 连续形式 第59页/共86页 61 假定离散过程是均值为0的平稳过程，观测区间 也是半无限的，研究的系统也是线性时不变系统， 则6.3.3变为下式 第60页/共86页 62 ,kim kjl 为简明，令 离散过程的维纳-霍夫方程（因果关系） 第61页/共86页 63 第62页/共86页 64 0mm ， 则非因果关系 如果约束条件 的离散维纳- 不 霍 是，改变为 夫方程为 第63页/共86页 65 Z等式两边取 变换 第64页/共86页 66 kkkk sngs如果 与互不相关，并且当时候 第65

20、页/共86页 67 2 min ( ) Z sn C x PP dz E e k Pz 如果用法求逆 变换，则维纳滤波器的 最小均方误差可以 围线积分方 表示成下式 可以看出，维纳滤波的最小均方误差不仅与观测（可以看出，维纳滤波的最小均方误差不仅与观测（ 输入）信号的功率谱有关，而且和噪声和信号功率输入）信号的功率谱有关，而且和噪声和信号功率 谱的乘积有关，也就是说，谱的乘积有关，也就是说，最小均方误差与信号和最小均方误差与信号和 噪声功率谱的重叠部分的大小有关。噪声功率谱的重叠部分的大小有关。 第66页/共86页 68 第67页/共86页 69 对于白色序列，自相关函数可以表示为 第68页/

21、共86页 70 xgxg + Pr (m)Z P xg 表示互相关函数因果部分的 变换 是互功率谱密度中零极点在单位圆内的部分。 相应系统函数为 1 Re jIm 第69页/共86页 71 k k 则需要先把x 序列进行白化处理，使之变为 白色序列，若观测序列x 的功率谱是有理函数 第70页/共86页 72 h(k)是一个无限长的因果序列 第71页/共86页 73 ( ),( ) ,( ) kxxg z xr mrm ZIZTH zh k 在离散维纳滤波器的 域解中，如果已经知道 观测信号 的相关函数互相关函数 求 变换和就可以解得 （ ）和 第72页/共86页 74 N 但是，由于h(k)是

22、一个无限长的因果序列，不具有 实时性，因此，在应用中受到限制，在实际应用中， 在考虑系统因果约束的条件下，通常在时域用逼近 的方法来设计离散维纳滤波器 即用长度为 的有限长序列h(k)（0kN-1）来 逼近离散维纳滤波器的单位脉冲相应h(k)，0k, 即所谓时域解。 第73页/共86页 75 N那么，我们设有限长度序列h(k)长度为 （0kN-1） 是滤波器的单位脉冲响应，即 第74页/共86页 76 6.3.5则，所给出的离散维纳霍夫方程变为6.3.21 第75页/共86页 77 6.3.21其中中的几个相关函数分别为 第76页/共86页 78 6.3.21 6.3.21N 因此，将所示的离散维纳霍夫方程写成矩阵形式， 即将m=0,m=1,.m=N-1分别代入，即获得 个线性 方程 写成矩阵形式为 第77页/共86页 79 x ( ) R h k xxx xxx xxx 式中 h(0) h(1) h= . h(N-1) 其中的每个元素是滤波器单位脉冲响应在 k=0,1,.N-1时的值。 r(0)r(1). r(N-1) r(1)r(0). r(N-2) . r(N-1) r(N-2)