一元函数与二元函数求极限方法异同

1、一元函数与二元函数求极限方法异同一元函数与二元函数求极限方法异同 指导教师：王继红指导教师：王继红 姓姓 名：名：玉素甫江玉素甫江吾买尔吾买尔 专专 业：数学与应业：数学与应用数学用数学 学学 号：号：20080102102008010210 一、 引言 作为研究函数最基本的方法极限思想， 早在古代就有比较清楚的描述，我国魏晋时期 杰出的数学家刘徽于公元263年创立了“割圆 术”，正是使用了极限思想。 近年来许多专家学者对函数极限的计算方法作 了研究，并取得了一定的突破。众所周知常见 的求极限的方法包含无穷小量、重要极限公式、 洛必达法则等，但实际在求极限时并不是依靠 单一方法，而是把多种方法

2、加以综合运用。 本文主要讨论了一元函数与二元函数求极限的 各种方法，并对二者的异同做了比较。 二、预备知识 1、一元函数极限的相关知识、一元函数极限的相关知识 1洛必达(L Hopital)法则是分子分母在一定 条件下通过分别求导再求极限来确定未定 式值的方法。 2Stolz定理: 数列收敛于,则其前项的算术平 均数收敛，并且也收敛于。若数列的每一 项都是正的，则还有其前项的几何平均数 也也收敛于。 3积分法：积分法是通过磁异常的积分运算 求得磁性体产状的定量解释推断方法 2.二二元函数极限的元函数极限的相关知识相关知识 1 二元函数极限的二元函数极限的定义定义:0，0，使当 0 0 xx时，

3、恒有 Axf)(，或 0，0，当),( 0 0 xUx，恒有),()(AUxf 2 海涅定理：海涅(Heine-Borel)定理 （有限覆盖定理）：设 是 中有界闭区间，则 的任何开覆盖存在有限子覆盖。 3 极坐标变换极坐标变换:对于平面内任何一点M， 用 表示线段OM的长度，表示从Ox到OM的角度， 叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序 数对),(就叫点M的极坐标， 这样建立的坐标 系叫做极坐标系。 三、一元与二元函数求极限方法之三、一元与二元函数求极限方法之 异同异同 1.一元函数极限的若干求法一元函数极限的若干求法 求一元函数极限的方法一般选择洛必塔 法则，也可以选择Stolz定理、积分

4、法或其 他方法。 洛必洛必达达法则法则 例： 求极限 2 ) 1 1 ( lim xx x x e 解：令 2 ) 2 1 1 ( xx ey ，取对数x x xy) 1 1ln(ln 2 用洛必塔法则 1 ln(1)1 1 lim lnlimln(1)1lim 1 xxx x x yx x x x 令 2 0 1 ln(1) 1ln(1)1 limlim 2 tt tt tt t t xtt 1 2 2 1 l i m(1) x x ee x 2 . 求 二 元 函 数 极 限 的 一 些 方 法求 二 元 函 数 极 限 的 一 些 方 法 求二元函数极限的方法一般选择极坐标变 换，也可以

5、选择洛必达法则,二元函数极限的 定义、海因定理。 利用极坐标变换利用极坐标变换 例：求 yx yxyx y x 22 0 0 lim 解： 设kxy 则 yx yxyx y x 22 0 0 lim k k kxx xkxkxx x 1 1 222 0 lim ， 极限与k有关。或设 sin cos y x （为变量，为 参数） yx yxyx y x 22 0 0 lim )sin(cos )sin(cos 2 0 lim sincos sincos 与有关 原式不存在极限 四、总结 本文主要讨论了一元函数与二元函数求 极限常用的几种方法，发现在二者之间有 些方法在一定条件下，二者都适用，譬如， 洛比塔法则。洛必塔法则是求一元函数极 限的主要方法，要把该法则在多元函数中 推广，是需要一些技巧辅助方法的； 二元函数极限的求法要比一元函数极限求 法复杂得多，极坐标变换法是求二元函数 极限的主要方法之一，虽然利用定义法求 二重极限使计算过程较复杂化，但它也是