2010年考研数学冲刺试卷.doc

1、2010 年考研数学冲刺试卷数学一 ( 卷二)一 . 选择题： 18 小题，每小题 4 分，共 32 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. x (1) 设 x 表示不超过 x 的最大整数，则 x0是 f ( x)e x 的()间断点 .(A)跳跃(B)可去(C)无穷(D)振荡(2) 设 f ( x) 在 xa 处连续，且 limsin( xa)1, 则x af (x)(A)x a 是 f ( x) 的极小值点；(B)xa 是 f (x) 的极大值点；(C)(a, f ( a) 是曲线 y f (x) 的拐点； (D) f( x) 在 xa 的邻

2、域内单调。 (3) 设 yy( x) 满足方程 y4 y 4y0 及初始条件 y(0) 2, y (0)4.则广义积分y( x)dx0(A)发散；(B)等于 1；(C)等于 1；(D)等于 3。(4) 下列命题正确的是(A)若 lim an, 则级数an 发散可推得bn 发散；nbnn 1n 1(B)若 lim an0, 则级数bn 收敛可推得an 收敛；nbnn 1n 1(C) 若 lim a b0, 则级数an和bn至少有一个收敛；nn nn 1n 1(D) 若 lim a b1, 则级数an和bn至少有一个发散；nn nn 1n 1（ 5） 设 n 阶矩阵 A, B 均非 n 阶单位矩阵

3、 E ，且满足 ABEAB ，则必有（A）AE0,BE0（B）AE0,BE0（C）AE0,BE0（D）AE0,BE0（ 6）二次型 f ( x1,x2 , x3)2x12x224x324x1x22x2x3 的标准形为（A）222（ ）2y1y23y3B（C）22（ ）2y1y2D2 y2y23y21232 y12y223y32（7）设随机变量 X与Y 相互独立，且 XN(0,1)，Y 的概率分布为P(Y0)P(Y 1)1 ，则 P(XY12)（ ）121(C) 21(A)(B)(D)2334（ 8）设随机变量 X 的分布函数为 F ( x)0.7G( x)0.3G (2 x 1) ，其中 G

4、( x) 是服从参数为 1 的指数分布的随机变量的分布函数，则 EX（ ）（A）0（B） 0.3（C） 0.7（D）1二、填空题 ；914 小题，每小题4 分，共 24 分，把答案填在题中的横线上 .(9)已知 lim xsin ln(1a )sin ln(11 )3. 则 a_ .xxx(10)微分方程 dy2x1的通解为。dxy 2（ 11） 设 z x yf ( x1).若当 y1时， z 2 x则1d x=.f ( x)（ 12）设曲线 C 为圆 x2y2R2 ，则 ( x2 y) 2ds_ .C101（ 13）在向量空间3 到基 的过渡矩阵为 C 012，R中，从基 1, 2, 31

5、,2,3112而 向 量 在 基 , , 下 的 坐 标 为 (1.1.1)T， 则在 基, ,1 2 312 3下的坐标为.（ 14）设总体 X 服从参数为 p(0p 1) 的 01分布， X1, X2, X n 为总体 X 的样本， X 和 S2 分别为样本均值和样本方差，若X 2kS2 为 p2的无偏估计量，则k。三、解答题 : 1523 小题，共 94 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分 10 分)设 f ( x) 连续 , 且 lim f (x)1cot x1, 求极限 lim 12t )dtln(1 x) .f (xx 0xx 00(16) ( 本题

6、满分 10 分)设 a01, a2, a27 , an 1(11 )a ,( n 2)12nn（1）证明：当 x1时，幂级数an xn 收敛；n 0（2）求该幂级数的和函数S( x)（ 17）( 本题满分 10 分)计算曲面积分x3 dydz y3dzdx(z51) dxdy ，其中为下半球面x2y2z2zR2x2y2 的上侧。（ 18）（本题满分10 分）设一礼堂的顶部是一个半椭球面，其方程为 z 4 1x2y2，求下雨时过1636房顶上点 P(1,3, 11) 处的雨水留下的路线方程（不计摩擦力）。（ 19）（本题满分 10 分）设在上连续,在bb0f ( x)a,b(a,b)内可导，且(

7、 )( )f x dxxf x dx,aa试证：（ 1）函数 f ( x) 在 (a,b)内至少两个零点；（ 2）存在( a, b) ，使 f 2b( ) f ( ) f ( x)dx 。（ 20）（本题满分 11 分）已知 1(1, 2,1,0,0)T ,2(1, 2,0,1,0) T ,3( 0,0,1, 1,0) T ,4(1, 2,3, 2,0)T 是齐次线性方程组：x1x2x3x4x503x12x2x3x43x50x22x32x46x5(*)05x14 x23x33x4x50的解向量，问 , , 是否构成 (*) 的一个基础解系？如果不能，请设法在1234, , , 的基础上给出 (*) 的一个基础解系 .1234（ 21）（本题满分 11 分）设 n 阶矩阵 A, B 的乘积可交换，即 AB BA，又已知 A 有 n 个互不相同的特征值，证明：（）A的特征向量必为 B 的特征向量；（）B 相似于对角矩阵 .（ 22）（本题满分 11 分）设袋中有 4 只球，其中 2 只白球， 2 只黑球，现从袋中取球两次，每次取一只，取出的球不再放回，若记0,第一次取出白球0, 第二次取出白球X,Y1,第一次取出黑球1,第二次取出黑球试求（I）求 P(Y 1 X0) ；（ II ） X 和 Y 的联合分布律；（III ）