1[1]13导数的几何意义 (2)

1、旧知回顾旧知回顾 函数函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的瞬时变化率处的瞬时变化率 称为函数称为函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的处的导数导数, 记作记作 0 0 f (x )f (x )或或 , 即即 0 0 x=xx=x y |y | 0 0 000000 0 0 x x0 x0 xx x 0 0 f(x +f(x + x)-f(x ) f(x)-f(x ) x)-f(x ) f(x)-f(x ) f (x )= lim= limf (x )= lim= lim xx- x xx- x 在高台跳水运动中，运动员在不同在高台跳水运动中，运动员在不同 时刻的速度是

2、不同的时刻的速度是不同的.我们把物体在某一我们把物体在某一 时刻的速度称为时刻的速度称为瞬时速度瞬时速度（instaneous velociy）. （1）求函数的增量）求函数的增量 00 y = f(x +x)-f(x ). 00 f(x +x)-f(x )y =. xx （2）求平均变化率）求平均变化率 0 x0 y f (x ) = lim. x （3）取极限，求得导数）取极限，求得导数 0 l 1 l 2 l t h O 0 t 1 t 2 t 311 .图图 新课导入新课导入 y=f(x) P Q M x y O x y P y=f(x) Q M x y O x y 请请问问： y y

3、 是是割割线线P PQ Q的的什什么么? ? x x 我们知道，导数我们知道，导数 表示函表示函 数数f(x)在在 处的瞬时变化，反处的瞬时变化，反 映了函数映了函数f(x)在在 附近的变化附近的变化 情况情况.那么导数那么导数 的几何意义是的几何意义是 什么呢？什么呢？ 0 fx 0 fx 0 x = x 0 x = x 3.1.3 导数的几何意义导数的几何意义 教学目标教学目标 知识与能力知识与能力 （1）理解导数的几何意义）理解导数的几何意义. （2）根据导数意义解决实际问题）根据导数意义解决实际问题. 过程与方法过程与方法 （1 1）通过分析实例，了解导数的几）通过分析实例，了解导数的

4、几 何意义何意义. . （2 2）掌握用数形结合的思想方法来）掌握用数形结合的思想方法来 认识问题认识问题. . 情感态度与价值观情感态度与价值观 能够利用导数的几何意义解决能够利用导数的几何意义解决 实际问题，更好的学习导数等概念实际问题，更好的学习导数等概念. 教学重难点教学重难点 重点重点 体会导数的思想及其内涵，体会导数的思想及其内涵， 理解导数的几何意义理解导数的几何意义. 难点难点 导数的概念及其意义导数的概念及其意义. ， nnnnnn 00n00n 如如图图1.1-2 ,1.1-2 ,当当点点Px ,f xPx ,f x n =1,2,3,4n =1,2,3,4 沿沿着着曲曲线

5、线f xf x 趋趋近近于于点点 P x ,f xP x ,f x时时割割线线PPPP 的的变变 化化趋趋势势 是是什什么么? ? P 1 P 2 P 3 P 4 P T T TT PP xfy xfy xfy xfy O y x O y x O y x O y x 211 .图图 1 2 3 4 开动脑筋，想象一下开动脑筋，想象一下 的的 动态变化效果吧？动态变化效果吧？ n n PPPP ox y y=f(x) P Q 割割 线线 T 切线切线 我们发现我们发现,当点当点Q沿着曲线无限接沿着曲线无限接 近点近点P即即x0时时,割线割线PQ有一个极限有一个极限 位置位置PT.则我们把直线则我

6、们把直线PT称为曲线在称为曲线在 点点P处的处的切线切线（tan gent)line 此处的切线定义与以前学此处的切线定义与以前学 过的切线定义有什么不同？过的切线定义有什么不同？ . n n0 n n0 PP f x-f x k = x -x 割线的斜率是 00 0 x0 f x +x -f x k = lim= fx. x 当点当点 无限趋近于点无限趋近于点p时，时， 无限趋近于切线无限趋近于切线PT的斜率的斜率. 因此，因此， 函数函数f(x)在在 处的导数就是切线处的导数就是切线 PT的斜率的斜率k. 即即 n P n k 0 x = x 这个概念这个概念:提供了求曲线上某点提供了求曲

7、线上某点 切线的斜率的一切线的斜率的一种方法；种方法；切线斜率切线斜率 的本质的本质函数在函数在x=x0处的导数处的导数. 知识拓展知识拓展 已知已知 , 求曲线求曲线 在在 处的切线的斜率处的切线的斜率. 2 ( )f xx ( )yf x2x 分析分析: :为求得过点（为求得过点（2，4）的）的 切线的斜率切线的斜率, , 可从经过点（可从经过点（2，4） 的任意一条直线的任意一条直线( (割线割线) )入手入手. . 2 2 P PQ Q ( (2 2+ + x x) ) - -4 4 k k= = =4 4+ + x x x x 解解: 设设 , 则割线则割线PQ的的 斜率斜率 2 2

8、 P P( (2 2, ,4 4) ), ,Q Q( (2 2+ + x x, ,( (2 2+ + x x) ) ) ) 当当 无限趋近于无限趋近于0时时, 无限趋近于常数无限趋近于常数4, 即即 x x PQ k x x0 0 f f( (2 2) )= = l li im m( (4 4+ + x x) )= =4 4, , 从而曲线从而曲线 在点在点P（2，4）处的切线斜率为处的切线斜率为4.( )yf x 求曲线求曲线 y=f(x)=x2+1在在 点点P（1，2） 处的切线方程处的切线方程. Q P y=x 2 +1 x y -1 1 1 O j M Dy Dx 00 x0 2 x0

9、 2 x0 f(x +x)-f(x ) :k= lim x (1+x) +1-(1+1) = lim x 2x+(x) = lim=2. x 解解 因此因此, ,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),即即y=2x. 知识拓展知识拓展 2 2 0 0 1212 如如图图1.1-3,1.1-3,它它表表 示示跳跳水水运运动动中中高高度度随随 时时间间变变化化的的函函数数h th t =-4.9t +6.5t+10=-4.9t +6.5t+10的的 图图象象. .根根 据据图图象象, ,请请描描 述述、比比较较曲曲线线h th t 在在t ,t , t ,tt ,t 附附近近的的变变化化情情况况

10、. . 0 l 1 l 2 l t h O 0 t 1 t 2 t 311 .图图 0 l 1 l 2 l t h O 0 t 1 t 2 t 311 .图图 （1）当）当 时，曲线时，曲线h(t)在在 处的处的 切线切线 平行于平行于x轴轴. 所以，在所以，在 附近曲线比较平坦，几乎没有升降附近曲线比较平坦，几乎没有升降. 0 0 t =tt =t 0 t 0 0 l l 0 0 t =tt =t 0 l 1 l 2 l t h O 0 t 1 t 2 t 311 .图图 （2） 当当 时，曲线时，曲线h(t)在在 处处 的切线的切线 的斜率的斜率 . 所以，所以， 在在 附近曲线下降，即函

11、数附近曲线下降，即函数 h(t) 在在 附近单调递减附近单调递减. 1 1 t =tt =t 1 t 1 l 1 1 t =tt =t 1 1 h t0h t0 1 tt 0 l 1 l 2 l t h O 0 t 1 t 2 t 311 .图图 （3） 当当 时，曲线时，曲线h(t)在在 处处 的切线的切线 的斜率的斜率 . 所以，所以， 在在 附近曲线下降，即函数附近曲线下降，即函数 h(t) 在在 附近单调递减附近单调递减. 2 tt 2 t 2 l 2 tt 2 2 h t0h t0 2 tt 从函数从函数f(x)在在 处的导数的过程处的导数的过程 可以看到，当可以看到，当 时，时，

12、是一个确是一个确 定的数定的数.这样，当这样，当x变化时，变化时， 便是便是x 的一个函数，我们称它为的一个函数，我们称它为f(x)的的导函数导函数 （derivative function）. 简称简称导数导数. 0 xx 0 xx 0 fx 0 fx 课堂小结课堂小结 0 00 0 0 0 x x0 0 f f( (x x + +x x) )- - f f( (x x ) ) k k = = f f ( (x x ) )= = l li im m x x 几何意义几何意义 f (x)在在 处的导数处的导数 即为即为 f(x)所表示曲线在所表示曲线在 处切线的斜处切线的斜 率，即率，即 0

13、0 x = xx = x 0 0 f (x )f (x ) 0 0 x = xx = x 000000 y -f(x )=f (x )(x- x ) y -f(x )=f (x )(x- x ) 0 0 确确定定x= xx= x 处处切切线线的的斜斜率率，从从而而确确 定定切切线线的的方方程程. . 切线方程：切线方程： 作用：作用： （2007浙江文）浙江文）曲线曲线 3232 y = x -2x -4x+2y = x -2x -4x+2 在点在点(1，一，一3)处的切线方程是处的切线方程是_. 高考链接高考链接 y=-5x+2 若若f (x0)=2,则则 0 00 0 k ko o f f

14、( (x x - -k k) )- -f f( (x x ) ) l li im m= =_ _ _ _ _ _. . 3 3k k 随堂练习随堂练习 1. 2 - 3 设函数设函数 f(x)可导可导 ，则，则 )(xf x x0 0 f(1+f(1+ x)-f(1)x)-f(1) limlim 3 3 x x =（ ） A. f f ( (1 1) ) B. 1 1 f f ( (1 1) ) 3 3 C. 不存在不存在 D. 以上都不对以上都不对 B 2. 3. 已已知知y y = =x x，求求y y . . Vx y =x+x -x = x+x +x 解： y1 = xx + x +x

15、 x0 x0 y11 y = lim= lim=. xx+x +x2 x 4. 如图已知曲线如图已知曲线 , 求求: （1）点）点P处的切线的斜率处的切线的斜率. （2）点）点P处的切线方程处的切线方程. 3 18 y =xP(2,) 33 上上一一点点 y x -2 -1 12 -2 -1 1 2 3 4 O P 3 1 y =x 3 33 3 x0 x0 223 x0 222 x0 11 (x+x) -x 1y 33 (1)y =x ,y = lim= lim 3xx 13x x+3x(x) +(x) =lim 3x 1 =lim3x +3xx+(x) = x . 3 解解： （2）在点在点P处的切线方