第五章稳定性定义

1、1841年年Liouville证明了证明了Riccati方程方程: 2 ( )( )( ) dy r x yp x yq x dx 解的存在，但不能用公式求解，所以解的存在，但不能用公式求解，所以 微分方程研究的主流发生了变化，不微分方程研究的主流发生了变化，不 解方程去判断解的形式，即定性理论解方程去判断解的形式，即定性理论 和稳定性理论。尽管是很古老的学科，和稳定性理论。尽管是很古老的学科， 但 这 里 还 有 很 多 问 题 需 要 研 究但 这 里 还 有 很 多 问 题 需 要 研 究 . . 非线性微分方程非线性微分方程 实际问题中所研究的对象往往是非常复杂的，需要 非线性微分方程

2、(组)来描述，非线性方程能求出解 析解的很少，需要进行数值计算或理论分析。 微分方程的研究内容微分方程的研究内容 求解：解析解、近似解、数值解求解：解析解、近似解、数值解 基本理论：解的存在惟一性、连续性基本理论：解的存在惟一性、连续性 定性稳定性：时间趋于无穷时解的性态定性稳定性：时间趋于无穷时解的性态 分支理论：解性态发生改变的一些参数值分支理论：解性态发生改变的一些参数值 本章介绍非线性微分方程的基本研究办法，其出发本章介绍非线性微分方程的基本研究办法，其出发 点是在无法求出解析解的情况下通过方程本身的形点是在无法求出解析解的情况下通过方程本身的形 式来分析时间趋于无穷时解的性态。式来分

3、析时间趋于无穷时解的性态。 不求解微分方程而通过方程右端函数的不求解微分方程而通过方程右端函数的 信息探讨时间趋于无穷时解的性态信息探讨时间趋于无穷时解的性态 2 228 0 (1) (1)(1sin () (0)( ),lim ( )? t dx x dt dx xx dt dx xxxxt dt xxxx tx t 例 满足的解为 00 0 0 22 22 (0), 1,(0), 1 ( /1) 0,0,0 (),lim( )? (),lim( )? rt rt t t dx rxxxxx e dt dxxk rxxxx dtkk xe xkxxkx dx yy xyx t dt dy x

4、x xyy t dt 几个例子：， 利用极坐利用极坐 标将方程标将方程 组组 22 22 (1) (1) dx yx xy dt dy xy xy dt 化为化为 2 (1) 1 dr rr dt d dt ),;( ),;( ),;( );(, ) 1 ();( 21 212 211 2 1 nn n n n yyytg yyytg yyytg ytg y y y y ytg dt dy 其其中中 ),( ),( ),( );(, )2()( 21 212 211 2 1 nn n n n yyyg yyyg yyyg ytg y y y y yg dt dy 其其中中 非自治系统 或非定常

5、系 统 自治系统或 定常系统 2121 );();(yyLytgytg 0 h 00 )( );( yty ytg dt dy htt | 0 );(max),min( ),( ytgM M b ah Ryt . );(ytg dt dy );(ytg byyattR 00 ,|:|（1）在）在n+1维空间的区域维空间的区域 上连续；上连续； （2）在）在R上关于上关于 满足李普希兹条件，即存在满足李普希兹条件，即存在L 0,使对使对 y ),( 2 yt，有，有R上任意两点上任意两点, ),( 1 yt );(ytg dt dy )(ty 思思 路路 )(tyx );( dt d xtf x

6、 0)0;(, )(;()(;( )( );();( tf ttgtxtg dt td ytgxtf 显显然然有有 );(ytg dt dy )(ty );( xtf dt dx 0 x 1892 () 年，李雅普诺夫就如何判断系统稳定性的问题， 归纳成两种方法简称第一法和第二法。第一法是通过求 解系统的微分方程，然后根据解的性质来判断系统的稳 定性，同时，他还指出非线性系统在工作点附近的一定 范围内可以用线性化了的微分方程来近似地加以描述。 如果线性化的特征方程式的根全部是负实数根，或者是 具有负实数部分的复根，则该系统在工作点附近周围是 稳定的，否则便是不稳定的。 t 李氏第二法（亦称直接

7、法）的特点是不必 求解系统的微分方程就可以对系统的稳定性进 行分析和判断。它是从能量的观点出发得来的 他指出：若系统有一个平衡点，则当时， 系统运动到平衡点时，则系统积蓄的能量必达 到一个极小值。由此，李雅普诺夫创造了一个 辅助函数，可以用它来衡量系统积蓄的能量， 但它并非是一个真正的能量函数。只要这一 函数符合李雅普诺夫提出的稳定性理论准则 就能用来判断系统的稳定性。因此应用李氏 o 的的。李李雅雅普普诺诺夫夫意意义义下下稳稳定定是是的的零零解解则则称称方方程程组组 均均有有确确定定的的解解的的由由初初始始条条件件方方程程组组 时时满满足足使使当当任任一一给给定定的的若若对对 0(*) ),

8、(t )( )()(*) , 0),(, 0 0 00 000 x ttx txxtx xxt (*) 0)0 ;( );( tf xtf dt dx 1/2 2 1 n i i xx 稳稳定定的的。李李雅雅普普诺诺夫夫意意义义下下渐渐近近是是则则称称零零解解 均均有有确确定定的的解解满满足足初初始始条条件件 时时使使当当且且稳稳定定的的零零解解若若方方程程组组 0 0)(lim )()( , 0,0(*) t 00 000 x tx txxtx xx o 0 渐进稳定渐进稳定 = =稳定稳定+ +吸吸 引引 o 称称为为不不稳稳定定的的。 的的零零解解则则方方程程组组使使得得某某个个 至至少

9、少确确定定的的解解使使由由初初始始条条件件 满满足足总总有有一一个个怎怎样样小小无无论论若若对对某某个个给给定定的的 0(*) , )( , ),()(, ,0 101 000 0 xtxtt txxtxx x . 0 ,. , 0)(lim )( )(, ,0(*) 0 0 t 0000 0 稳稳定定的的 称称全全局局为为全全局局渐渐近近稳稳定定的的或或简简则则称称零零解解 即即若若稳稳定定域域为为全全空空间间定定域域或或吸吸引引域域 称称为为渐渐近近稳稳则则域域均均有有的的解解 满满足足初初始始条条件件时时当当且且仅仅当当 域域且且渐渐近近稳稳定定的的零零解解若若方方程程组组 x Dtxt

10、x xtxDx Dx o . 0(*), 0 ,(*) 围围内内渐渐近近稳稳定定的的 称称为为在在大大范范的的零零解解那那么么方方程程组组于于 都都收收敛敛时时当当的的每每一一个个解解如如果果方方程程组组 xx t 0 0 0 1 ( ,0,) (0) 0 1 0 1 0 0 rt dxx rx k xyx x t xxx yx xdtk k x y xe x yyy 一般解的稳定 例的零解 是渐近 ， 性的定义类似，只需要做一个 平 例的零解 是稳定而不是渐 移变 稳定的 换 近 稳定的 例例 用用Maple命令画出下边捕食被捕食系统的命令画出下边捕食被捕食系统的 方向场及一些轨线图方向场及

11、一些轨线图 20.08, 0.001. dx xxy dt dy yxy dt (图图5.1) 用用Maple命令画出的图形命令画出的图形 从计算机的模拟看出系统有多个周期解。从计算机的模拟看出系统有多个周期解。 取取t t的变化范围的变化范围 -100t100, 100t100, 选取下面选取下面6 6组初始值组初始值 x(0)=1,y(0)=0, x(0)=0,y(0)=4, x(0)=20,y(0)=25,x(0)=1,y(0)=0, x(0)=0,y(0)=4, x(0)=20,y(0)=25, x(0)=40,y(0)=25, x(0)=60,y(0)=25, x(0)=80,y(0)=25.x(0)=40,y(0)=25, x(0)=60,y(0)=25, x(0)=80,y(0)=25. 输入Malpe命令如下 DEtoolsphaseportrait (diff(x(t),t)=2*x(t)-0.08*x(t)*y(t), diff(y(t),t)=-y(t)+0.01*x(t)*y(t), x(t),y(t), t=-100.100, x(0)=1,y(0)=0, x(0)=0,y(0)=4, x(0)=20,y(0)=25, x(0)=40,y(0)=25, x(0)=60,y(0)=25, x(0)=80,