多尺度方法在力学中的应用-Read.doc

1、多尺度方法在力学中的应用作者杨陶令张鹏指导老师苏先樾背景概述多尺度科学是一门研究各种不同长度或者时间尺度相互耦合现象的一门科学。 多尺度科学的研究领域十分宽广， 涵盖的学科之多难以一一罗列。在诸如流体动力学、复合材料力学、生物力学、环境科学、化学、地质学、气象学和高能物理之类的各门科学中，多尺度科学及其相应的方法发挥着相当重要的作用。 正如同随机现象和非线性科学受到了广泛的重视一样， 多尺度科学因其处于当代科学的许多极富挑战性问题的核心地位，未来的发展前途不可限量。在材料科学领域中， 材料的动态特性就是多尺度的问题。 金属的塑性变形问题是从位错流动着手研究的， 但是位错理论本身并不能预测塑性流

2、动率和屈服强度位错与晶界、 点缺陷以及原子振动之间的相互作用才是导致诸如应变强化和材料强度特性动态变化等现象的主导因素。所以将固体的微观结构与原子层次的组成成分相结合来预测固体材料的宏观特性， 就是材料科学的宏伟理想， 并可期望达到人工设计材料的终极目标。在气象学领域中，在大气环流模拟中计算尺度的典型数量级为100km，但是局部降水量、水汽含量以及某些风暴系统的数量级则要小得多，因而必须在较小尺度层次上进行模拟， 这也是典型的多尺度问题，应该用多尺度方法来处理。必须说明的是， 正是因为多尺度科学广泛的应用背景，多尺度方法作为一种研究的手段和方法， 在各种截然不同的研究领域的应用过程中，往往与该

3、研究领域的具体背景相结合，具有一定的特殊性。从算法的角度来说， 与线性方程组的解法等常规算法不同的是，目前多尺度方法本身没有固定的算法格式，它所体现的更多的是一种研究的需求和应用的思想， 在程序上的实现必须结合具体的研究模型，这将在下文中得到充分的体现。多尺度的力学分析方法在多尺度的分析方法中已经发展了若干力学分析的方法，目前比较典型算法有： 宏观细观平均化计算方法、材料强度的统计计算方法等。下面将详细介绍这两种方法。 .宏观细观平均化计算方法典型的宏观细观平均化算法是：利用材料的细观周期性的胞元模型和强调宏观与细观之间相连接的广义自洽模型相结合所进行的计算。首先讨论胞元模型。 胞元是材料的一

4、个基本结构，它嵌含材料的细观几何和相结构的要素。 就复合材料来说，胞元应嵌含颗粒形状、颗粒百分比、颗粒分布几何、基本结构、界面状况等要素。自洽方法是考虑宏观和细观交互作用的研究方法。广义自洽方法则是将平均化的小尺度的胞元与大尺度的宏观等效介质进行自洽连接。把宏观细观平均化计算方法在多尺度思想上作一定的推广，即并不要求达到细观尺度， 而是相对于宏观大尺度来说， 胞元尺寸构成相对的小尺度。一个典型的例子就是复合材料等效模量计算中常用的复合圆柱模型。下面就以复合圆柱模型（图）为例，给出一个多尺度计算的具体算例。132图 .复合圆柱模型（坐标图）我们的问题是计算横向剪切模量 23 。在图中我们为了视觉

5、上的清晰起见，夸大了胞元的尺寸。实际上，我们只取出宏观等效均匀介质中周期性分布的一个微小胞元， 虽然胞元本身并没有达到细观尺度，但是可以肯定的是， 胞元的尺寸与周围的宏观等效均匀介质相比起来，在尺度上已经相差很大的数量级。而在计算的过程中，我们将分别考虑较小尺度的胞元内的物理量和胞元周围较大尺度的等效均匀介质中的物理量， 然后再通过广义自洽方法将平均化的小尺度的胞元与大尺度的宏观等效均匀介质进行自洽连接。宏观等效均匀介质胞元内的纤维束胞元基体2b2a图 .复合圆柱模型（横截面图）在无限远场的剪切变形条件下，根据力学知识， 我们可以计算出在大尺度的宏观等效均匀介质中，位移场是：ureb2r(1)

6、ba3b3c3 cos2423brr 3u e4b2r(1) b a3b3c3 sin 223brr3在平均化的小尺度的胞元中，基体和纤维内的位移场分别是：urmb(4mu m4b(mr3a2r(m3)3d 2bbm3) r3a2r d 2(b 3bbb3b2 cos2m1) c3r3rm1) b c2b3b2 s i 2nrr 3和urfb(4fu fb(4f3) r3r d1f3a1 cos2bbf3) r3a1r d1 sin 2b3b其中3 4 23m34 mf 34 f连接小尺度的胞元和大尺度的宏观等效均匀介质的条件在不同的问题中可能不尽相同， 在我们以上考虑的这个问题中，这一条件就

7、是连续性条件，即r ,ur ,u 在界面 ra, b 上连续。这样就得到了一系列方程， 另外再补充其他一些方程， 例如应用能量原理得到的方程，可以想见， 以上问题就归结为解一个非线性方程组，而我们所要求的23 只是其中的一个未知量。以上这个具体问题的求解比较特殊，消去不相关的未知元a1 、 a2 等，只留下23 ，我们得到一个二次方程：A(23)2B(23)C0mm其中 A，B，C 是材料常数的函数，可以由给定的具体材料来决定，其形式不是本文所要讨论的重点，故不再赘述。通过复合圆柱模型， 我们可以总结出宏观细观平均化算法的流程图，如图所示。细观（或相对较小尺宏观（或较大尺度度下）周期性的胞元下

8、）的力学模型模型连接宏观尺度与细观尺度（或相对较小尺度）的广义自洽模型将具体的力学问题数学化，给出程序并计算图 . 宏观细观平均化算法的流程图2 2 材料强度的统计计算方法在材料强度的统计计算方法中， 应用比较成熟的是有关带有强相互作用共线裂纹的脆性材料强度的统计计算。这个算法与宏观细观平均化算法有所不同， 宏观细观平均化算法连接了宏观尺度和细观尺度，换句话说，我们可以很明确地看到在尺度上的大幅度的跳跃。而带有强相互作用共线裂纹的脆性材料强度的统计计算这一算法，它注重的则是裂纹或者间距在尺度上小幅度的涨落，所以我们用统计理论来处理这种涨落。这个算法的核心思想是： 用微裂纹长度和间距的统计分布来

9、描述它们在尺度上的涨落， 进而来确定材料的统计强度。 下面将通过一个具体的脆性材料强度统计计算的例子来介绍这个算法。含有共线裂纹的无限大平板的破坏几率的统计分析算例：问题描述：无限大平板，包含 N 个共线裂纹，无穷远处作用有均匀拉应力 a：半裂纹长c：裂纹间距a 和 c 都是统计变量 见图 4(a)，它们的统计分布用函数f(a)、p(c)来表示，都是正态分布，c-,c+,a-,a+是 c 和 a 的下届和上届。求解应力强度因子非常繁琐，为简化问题， 我们主要考虑相邻的两个微裂纹之间的强相互作用，这两个相邻的微裂纹的长度用 a以及 a 表示，其它裂纹用周期性分布的裂纹代替（裂纹长度及间距分别是2

10、a0 以及 c0），如图 4 (b)所示。图 4 (a) 裂纹长度不同，间距不同(b) 只考虑临近的两裂纹之间的强相互作用，简化成远场裂纹为周期性分布A 点的 SIF（stress intensify factor）：K Aa0 Fc , a , a , c0a0 a0 a0 a0F 是无量纲函数为分析简便起见，下面具体计算一个特例： N 个长度相同的裂纹，间距不同（即 a=a=a0）则 f(a)是 Dirac delta 函数 (a-a当 时，c 的分布函数 p(c)是0)a =a =a0一个正态分布， c 的取值范围为（c-,c+），平均间距为 c0cccp(c)dc 。c考虑到当 a=a

11、=a 时， K是一个 c/a 单调递减函数，见图50A0图 5 应力强度因子 K曲线（N100，a=a=a 时）A0的临界值 th可被给定为K ICcc0)th/ F (,1,1,a0a0a0KIC 是基体断裂刚度， 对给定的 ，有一个与之对应的临界裂纹间距ccr1，满足ccr1c0KICF (,1,1,)a0a0a0由以上两式可知：1如果 th，应力小于使基体断裂的最小应力，裂纹不会扩展。2如果 th，则间距小于 ccr1 的相邻裂纹将连通。裂纹连通后，裂纹长度和间距的分布函数p(c)和 f(a)将改变p1 (c)p(c) H (cccr1 )1f1 (a)12(aa0 )p(2 a 4a0

12、 ) H (2 a 4a0 c ) H (2a 4a0 ccr1 )11上式中：c1crcp(c)dc 代表连通概率H 代表 Heaviside step方程f1(a)的第一部分代表那些没有连通的裂纹，它们的长度仍然是2a0第二部分代表连通的裂纹部分第一次扩展后的微裂纹长度及间距的期望值分别是2a011c2a 22ccraa f1 (a) da c1c1 cp1 (c)dc10cr这是一个循环的过程第一次扩展后的微裂纹右端点SIF 为K righta1 Fc , a11,1, ca1 a1a1如果 Kright KIC，该裂纹将和临近的期望长度为2a1 的裂纹连通。与 2a1 相关联，我们又可

13、以找到一个临界裂纹间距，用ccr2 表示，满足KICaFccr2, a1,1, c1a1a1a1上式表明，如果裂纹间距c 在 (ccr1, ccr2)范围内，这个长度为2a1 的裂纹将和临近的期望长度为2a1 的裂纹连通，这一扩展过程的概率为ccr2c1crp1(c) dc当这一步骤重复n 次后裂纹长度变为n2an4a02( n1)a1c1ck (c1)k 2第 k 次扩展后的裂纹间距期望值为ccrkc1cp1 (c) dcckcrk 2,3,.ckcrp1(c)dcc1cr其中 ccrk 代表第 k 次扩展的临界裂纹长度，由下式给出KICa1 Fccrk, ak1 ,1, c1k 2,3,.

14、a1a1a1裂纹间的总连接次数M 可用下式求得aM 11 KIC/2aM对于长度为 2a1 的裂纹，如果 M 1，那么它的破坏概率为1；否则等Mccrn于成功链接概率 Pf (c1 )c1 p1 (c) dcncr2进而该裂纹的存活概率为 Ps(c1 ) 1Pf (c1 )根据 WLT，我们又可得到Np ( c1 ) dc1expNPf (c1 ) p( c1 )dc1存活概率 Ps (c1) 1 Pf (c1)累积存活概率为Psurvc1crexp NPf (c) p(c)dcc最终，我们可以得到对于含有N 个微裂纹的脆性材料的破坏概率为（th时）Pfailccr11 exp N Pf (c

15、) p(c)dcc利用直接数值模拟进行校验图 6 统计预测与直接数值模拟的对比（其中 Ng 意义为直接数值模拟中，在同样的s 和 N 下，生成 Ng 个不同裂纹分布状态进行计算，显然Ng 越大越精确）另外， Weibull 提出用如下带三个参数（m,u,0）的分布函数描述脆性材料的强度W ()1exp( (u )m )0W( )是应力为 时的破坏概率（横轴为K IC/a ），u表明累积破坏概率开始增长的位置，0 标示了破坏概率曲线的过渡区的尺度，无量纲的参数 m（称为 Weibull 模量）描述了脆性材料中的裂纹分布特性。上式可化为ln ln(1u ) m ln( 0 ) m ln(1W (

16、)即上式在一个 lnln-ln 的 Weibull 图中为一条斜率为m 的直线如果前面分析的累积破坏概率函数可以用Weibull 分布近似，那么它应该在 lnln-ln 的 Weibull 图中呈直线。我们可以把数据在Weibull 图中标示出测定 Weibull 模量 m，也可以估计 m,u,0 这三个参数与 s 和 N 之间的关联。这就是采用统计方法对材料强度进行多尺度分析的例子， 例子中推算出了材料的破坏概率， 并利用直接数值模拟进行校验， 最后用分布进行拟和。以上详细介绍的是宏观细观平均化计算、 材料强度的统计计算这两种力学上的多尺度分析方法。 最后还需要强调的是， 正如我们前文所说，多尺度方法是迎合研究过程中的具体需要而产生的一种计算思想，它本身没有固定的计算格式，不论是在力学方面，还是在其他领域，多尺度方法的应用都必须结合其具体的研究模型来展开。参考文献1“材