东北大学大学物理上附加题4和14参考答案

1、2021/6/16 1 附加题附加题 2021/6/16 2 附附4-1 质量分别为质量分别为m 和和2m，半径分别为，半径分别为r 和和2r的两个均的两个均 质圆盘，同轴地粘在一起，可绕通过盘心且垂直于盘面质圆盘，同轴地粘在一起，可绕通过盘心且垂直于盘面 的水平光滑轴转动，在大小盘边缘都绕有细绳，绳下端的水平光滑轴转动，在大小盘边缘都绕有细绳，绳下端 都挂一质量为都挂一质量为m的重物，盘绳无相对滑动，如图所示，的重物，盘绳无相对滑动，如图所示， 求求:(1)圆盘对水平光滑轴的转动惯量圆盘对水平光滑轴的转动惯量; (2)圆盘的角加速度。圆盘的角加速度。 m m 解解: (1)和在一起的两个圆盘

2、的转动惯量和在一起的两个圆盘的转动惯量 是两个圆盘单独存在时转动惯量的和。是两个圆盘单独存在时转动惯量的和。 首先要求出每一个圆盘的转动惯量。首先要求出每一个圆盘的转动惯量。 2021/6/16 3 mrJJdd 2 222 21 2 9 2 8 2 1 mrmrmrJJJ rrS R m d2d 2 ， z rdrR 2 1 2 1 mrJ 单个圆盘的转动惯量为：单个圆盘的转动惯量为： rrSmd2dd 2 0 3 2 1 d2mRrr R 2 2 2 2 8 22 2 1 mrrmJ 2021/6/16 4 (2)为了求圆盘的角加速度，必为了求圆盘的角加速度，必 须对圆盘和两个重物进行受力

3、须对圆盘和两个重物进行受力 分析，如图所示：对重物进行分析，如图所示：对重物进行 受力分析：受力分析： m mg 1 T 1 a 根据牛顿第二定律可得：根据牛顿第二定律可得： m mg 2 T 2 a 11 maT-mg 1 T 2 T O 22 mamgT (1) 对圆盘进行受力分析可得：对圆盘进行受力分析可得： (2) 2211 TTTT ， 作用力和反作用力。作用力和反作用力。 2021/6/16 5 根据转动定律根据转动定律 M=J 可得：可得： JTrTr 21 2 根据线量和角量的关系可得：根据线量和角量的关系可得： )4(2 21 rara ， 把方程把方程(1)、 (4)、(5

4、)代入代入(3)可得：可得： )5( 2 9 2 mrJ r g 19 2 1 T 2 T O JrTrT (3) 2 21 11 maT-mg 22 mamgT (1) 2021/6/16 6 附附4-2 一根长为一根长为 l，质量为，质量为 M 的均质细杆，其一端挂的均质细杆，其一端挂 在一个光滑的水平轴上，静止在竖直位置。有一质量为在一个光滑的水平轴上，静止在竖直位置。有一质量为 m 的子弹以速度的子弹以速度v0从杆的中点穿过，穿出速度为从杆的中点穿过，穿出速度为v， 求：求：(1)杆开始转动时的角速度；杆开始转动时的角速度； (2)杆的最大摆角。杆的最大摆角。 O Mg h 解：解：(

5、1)选子弹和细杆为研究对象选子弹和细杆为研究对象,应应 用角动量守恒定律用角动量守恒定律: J l m l m 22 0 vv lM m 2 3 0 vv 2 3 1 MlJ 2021/6/16 7 (2)杆的最大摆角杆的最大摆角 选细杆和地球为研究对象选细杆和地球为研究对象,应用机械能应用机械能 守恒定律守恒定律:(势能零点如图势能零点如图) cos1 2 1 2 1 2 lMgMghJ O Mg h 0 P E 2 0 2 2 4 3 1cosvv lgM m 2 0 2 2 4 3 1arccosvv lgM m 2021/6/16 8 附附4-3 一半圆形均质细杆，半径为一半圆形均质细

6、杆，半径为R，质量为，质量为M，求，求 半圆形均质细杆对过细杆二端半圆形均质细杆对过细杆二端AA轴的转动惯量轴的转动惯量 A A R r sd d R M dddd M R R M sm ddRs sinRr mrJd 2 0 2 dsin M R 0 2 d2cos1 2 MR 2 2 MR 2021/6/16 9 附附4-4 一绕中心轴转动的圆盘一绕中心轴转动的圆盘,角速度为角速度为若将它放在若将它放在 摩擦系数为摩擦系数为水平桌面上水平桌面上,问经过多长时间停下来？问经过多长时间停下来？(已知已知 圆盘质量为圆盘质量为m半径为半径为R) 解：解： rrS R m d2d 2 ， z rd

7、rR rrSmd2dd rrgmgfd2dd rrgfrMd2dd 2 2021/6/16 10 R rrgMM 0 2 d2d 3 3 2 Rg 3 2 3 2 R R m g gmR 3 2 2021/6/16 11 R g mR gmR J M 3 4 2 1 3 2 2 g R t 4 30 00 gmRM 3 2 2 2 1 mRJ 2021/6/16 12 附附4-5 一长为一长为l 质量为质量为m 匀质细杆竖直放置匀质细杆竖直放置,其下端与一其下端与一 固定铰链固定铰链O相接相接,并可绕其转动。由于此竖直放置的细杆并可绕其转动。由于此竖直放置的细杆 处于非稳定平衡状态处于非稳定平

8、衡状态,当其受到微小扰动时，细杆将在重当其受到微小扰动时，细杆将在重 力作用下由静止开始绕铰链力作用下由静止开始绕铰链O转动。试计算细杆转动到转动。试计算细杆转动到 与竖直线成与竖直线成角时的角加速度和角速度。角时的角加速度和角速度。 解：解：细杆受重力和铰链对细杆的细杆受重力和铰链对细杆的 约束力约束力FN作用，由转动定律得：作用，由转动定律得： m,l O mg N F Jmgl sin 2 1 2 3 1 mlJ sin 2 3 l g 13 m,l O mg N F t t d d d d d d 由角加速度的定义由角加速度的定义 d d l g dsin 2 3 d 00 dsin

9、2 3 d l g )cos1 ( 3 l g 2021/6/16 14 附附14-1 已知已知 介子在其静止系中的半衰期为介子在其静止系中的半衰期为1.810-8s。 今有一束今有一束 介子以的速度介子以的速度v=0.8c离开加速器，试问，从实离开加速器，试问，从实 验室参考系看来验室参考系看来,当当 介子衰变一半时飞越了多长的距离介子衰变一半时飞越了多长的距离? 8 0 1.8 10ts 解：在解：在 介子的静止系中，半衰期为是本征时间：介子的静止系中，半衰期为是本征时间： 由时间膨胀效应，实验室由时间膨胀效应，实验室 参系中的观察者测得的同参系中的观察者测得的同 一过程所经历的时间为：一

10、过程所经历的时间为： 8 0 2 2 3 10 ( ) 1 t ts v c 7.2dv tm 因而飞行距离为因而飞行距离为 2021/6/16 15 附附14-2 一静止体积为一静止体积为V0，静止质量为，静止质量为m0的立方体沿其的立方体沿其 一棱的方向相对于观察者一棱的方向相对于观察者A以速度以速度v 运动，则观察者运动，则观察者A测测 得立方体的体积、质量和质量密度为多少？得立方体的体积、质量和质量密度为多少？ 2 2 0 2 2 000 11 c -V c -LLLV vv 3 00 LV 立方体静止时的边长。立方体静止时的边长。 0 L 2 2 0 0 1 c - m mm v 2

11、021/6/16 16 2 2 0 2 2 0 1 1 c -V c - m V m v v 2 2 0 1 c -VV v 2 2 0 1 c - m m v 22 2 0 v c c 0 0 0 V m 2021/6/16 17 解解: 0 2EE 2 cc 2 3 v 2 0 2 1cmmcEK 0 2mm 00 EEE 2 3 附附14-3 已知一粒子的静止质量为已知一粒子的静止质量为m0，当其动能等于，当其动能等于 其静止能量时，求粒子的质量、速率和动量。其静止能量时，求粒子的质量、速率和动量。 0 mm cmmp 0 3 v 2021/6/16 18 附附14-4 两个静止质量都是两个静止质量都是m0的小球，其中一个静止，的小球，其中一个静止， 另一个以另一个以v=0.8c运动，在它们做对心碰撞后粘在一起，运动，在它们做对心碰撞后粘在一起， 求：碰后合成小球的静止质量。求：碰后合成小球的静止质量。 解：设碰撞前运动的小球的质量为解：设碰撞前运动的小球的质量为m1，碰撞后合成的小，碰撞后合成的小 球的质量和速度分别为球的质量和速度分别为M和和V。 0 2 2 0 1 3 5 1 m c - m m v 碰撞前